改進的GM（1，1）模型在新能源汽車銷量預(yù)測中的應(yīng)用

摘" "要：“雙碳”目標的提出是解決資源環(huán)境約束突出問題、實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的必然選擇。新能源汽車是汽車行業(yè)及制造業(yè)的轉(zhuǎn)型與發(fā)展重點，通過優(yōu)化GM（1，1）灰色預(yù)測模型背景值，對新能源汽車銷量進行預(yù)測，并提出促進市場發(fā)展的建議。計算結(jié)果表明，改進背景值后的模型具有更高的預(yù)測精度，對于汽車制造業(yè)精準研判新能源汽車市場發(fā)展趨勢，制定研發(fā)、生產(chǎn)與銷售策略，具有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：新能源汽車銷量；灰色預(yù)測；改進背景值

中圖分類號：U469.72" " " "文獻標志碼：A" " " 文章編號：1673-291X（2023）15-0046-05

一、相關(guān)研究綜述

新能源汽車是人類進入清潔能源時代的一大助力，因其不單純依靠內(nèi)燃機提供動力來源，而是用電力與動力電池代替石油與內(nèi)燃機。與傳統(tǒng)燃油汽車相比，能極大減少排放。新能源汽車從2015年以后開始在我國迅速發(fā)展，其相關(guān)技術(shù)研究與學(xué)術(shù)研究起步較晚，相關(guān)數(shù)據(jù)與可參考資料有限。為準確把握其發(fā)展趨勢，找準發(fā)展市場，為配套產(chǎn)業(yè)、基礎(chǔ)設(shè)施、維修服務(wù)等提供參考依據(jù)，對銷售量的準確把控就顯得尤為重要。針對新能源汽車銷售量預(yù)測的研究較少，因此，建立新能源汽車銷售量預(yù)測模型有利于各行業(yè)及企業(yè)了解新能源汽車未來的需求，也能為相關(guān)學(xué)者的研究和相關(guān)企業(yè)的戰(zhàn)略決策提供參考。

近幾年開始陸續(xù)有學(xué)者對新能源汽車進行研究，馬琪等通過對問卷調(diào)查數(shù)據(jù)進行量化分析后得出，新能源汽車的銷量受到消費者個人理念與政府政策激勵的影響[1]。李創(chuàng)等認為，消費者對于新能源汽車的購買欲望與其家庭收入顯著相關(guān)[2]。Xiao Feng等認為，制造商的投入與新能源汽車銷售量呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)關(guān)系[3]。藍鎵寶利用魯棒性強的支持向量回歸，以及Bagging集成學(xué)習(xí)法，對我國新能源汽車的銷量進行預(yù)測[4]。

針對新能源汽車仍處于發(fā)展起步階段，與其相關(guān)的參考資料有限，可獲取的歷史數(shù)據(jù)也不多。因此，本文采用改進的GM（1，1）灰色預(yù)測模型對其銷售量進行預(yù)測。

灰色系統(tǒng)理論由鄧聚龍教授首次提出[5]。許多學(xué)者對其中的GM（1，1）模型進行了大量研究，改進并引申出許多其他預(yù)測模型，為不確定性預(yù)測理論和方法的發(fā)展提供參考，也解決了大量實際性問題[6]。

背景值與GM（1，1）模型的預(yù)測精度密切相關(guān)，因此許多學(xué)者從背景值角度研究模型的改進方法。Wang等針對白化方程為非齊次指數(shù)函數(shù)對模型初始值進行優(yōu)化，進而構(gòu)造新的背景值表達式減少誤差[7]。蔣詩泉等利用分段低次插值，加上改進梯形面積計算方法來減少誤差[8]。李凱等人提出一種新的構(gòu)建背景值的方法，利用辛普森3/8公式和牛頓插值公式進行組合插值，并讓初始值參與建模，降低模型預(yù)測誤差[9]。張麗潔等針對背景值權(quán)重均等而預(yù)測不準的問題，將黃金分割搜索和拋物線插值法結(jié)合起來，確定新的背景值，并利用優(yōu)化后的灰色模型進行仿真實驗，結(jié)果表明，提高了模型的預(yù)測精度[10]。岳希等人同時優(yōu)化了灰色預(yù)測模型的初值與背景值，將初值用附加因子修正并參與建模，同時變權(quán)構(gòu)造背景值，優(yōu)化后的模型預(yù)測精度有明顯提高[11]。

綜上所述，GM（1，1）模型對數(shù)據(jù)數(shù)量要求不高，并且可以預(yù)測指數(shù)型變化趨勢的數(shù)據(jù)。而新能源汽車銷售數(shù)據(jù)正符合上述要求。因此，針對上述問題，本文對傳統(tǒng)GM（1，1）模型采用變權(quán)構(gòu)造背景值的優(yōu)化方法，旨在提高新能源汽車銷售量的預(yù)測精度。

本文的研究思路是根據(jù)平均擬合相對誤差最小化原則，建立背景值權(quán)重的動態(tài)規(guī)劃模型，利用Matlab對動態(tài)規(guī)劃模型進行求解，通過迭代法進行尋優(yōu)，找出使得目標函數(shù)最小的選擇最佳權(quán)重進行新的背景值構(gòu)造，從而減小建模誤差。然后，利用建立的模型對我國新能源汽車銷售情況進行實證檢驗預(yù)測。擬合結(jié)果表明，改進的GM（1，1）模型具有更高的預(yù)測精度，更接近實際值，對于我國汽車行業(yè)更好地把握新能源汽車的銷售情況、發(fā)展前景具有良好的借鑒意義。

二、傳統(tǒng)GM（1，1）模型

GM（1，1）傳統(tǒng)預(yù)測模型是將數(shù)據(jù)進行累加處理，使得處理后的數(shù)據(jù)具備指數(shù)規(guī)律。然后利用處理后的數(shù)據(jù)建立一階微分方程并對其求解，將求得的結(jié)果再累減還原，即為預(yù)測后的結(jié)果。

（一）原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理

在獲取原始數(shù)據(jù)序列后，要對數(shù)據(jù)進行檢驗，確保所用的數(shù)據(jù)符合GM（1，1）模型的建模要求。將數(shù)據(jù)進行級比檢驗。設(shè)初始數(shù)據(jù)序列如下，其中x（0）≥0。

級比檢驗的公式如下：

若σ（k）∈（e ，e ），數(shù)據(jù)可以用GM（1，1）模型進行建模。否則，采用適當?shù)姆绞竭M行數(shù)據(jù)處理，再檢驗處理后的數(shù)據(jù)是否符合建模要求。例如：

（二）建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型

設(shè)非負數(shù)據(jù)序列為：x（0）={x（0）（1），x（0）（2），L，x（0）（n）}，

x（0）的一階累加序列X（1）（1-AGO）。

為灰色微分方程，也稱為GM（1，1）模型，GM（1，1）模型的背景值為：

一階線性微分方程為灰色微分方程的白化方程

式中：a，b為待定參數(shù)，t為時間序列。

定理1

若u=[a" " b]T為式（6）參數(shù)列，且

則灰色微分方程的最小二乘估計參數(shù)列滿足

其中a主要控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢，被稱為發(fā)展系數(shù)；b的大小反應(yīng)數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，被稱作灰色作用量。

定理2

設(shè)a、b為由定理1求解的估計參數(shù)，則有

（1）在初始條件x（1）（1）=x（0）（1）下，白化方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

（2）令t=k，則灰色微分方程的時間響應(yīng)序列為

經(jīng)過累減，得到還原預(yù)測值

三、改進GM（1，1）模型

（一）灰色背景值改進

傳統(tǒng)GM（1，1）模型精度受a和b影響較大，而a、b的值取決于z（1）（k）。因此，背景值是影響GM（1，1）模型精度的一個重要指標。對式（6）在區(qū)間上進行積分

由式（12）可知，模型中的背景值應(yīng)該是由x（1）（t）在區(qū)間[k-1，k]上與t軸所圍成的曲邊梯形面積。而傳統(tǒng)GM（1，1）模型的背景值z1（k）=■（x1（k）+x1（k-1）），k=2，3，...，n，背景值的系數(shù)用1/2近似代替，即使用梯形面積近似代替了圖形中曲邊梯形的面積，如下圖所示，S1即為模型誤差。

因此，將背景值系數(shù)設(shè)置為可變權(quán)參數(shù)λ，其中，λ∈[-1，1]取合適的步長，利用可變權(quán)參數(shù)λ與參數(shù)a、b之間的關(guān)系作為約束條件建立背景值優(yōu)化模型。以實際值X（0）與模型擬合值X（0）的平均誤差最小作為選擇最佳權(quán)重λ*的依據(jù)，從而自動尋優(yōu)搜索得到權(quán)重參數(shù)λ*，本文選取的步長為0.01，通過1 000次的迭代尋優(yōu)，將其對應(yīng)的參數(shù)用于建立灰色預(yù)測模型，從而降低模型中z（1）（k）的計算誤差。

由定理1可知，u=[a" "b]T =（BTB）-1BTY，計算后可得a與b和λ的關(guān)系：

用相對誤差最小作為目標函數(shù)，將權(quán)重λ與系統(tǒng)參數(shù)a和b之間的關(guān)系作為約束條件，建立式（17）的非線性優(yōu)化模型：

通過計算式（17）求解出使誤差最小的權(quán)重λ*后，再帶入定理1求出系統(tǒng)參數(shù)a和b，進而進行計算，實現(xiàn)背景值權(quán)重最優(yōu)化的GM（1，1）模型的構(gòu)建與應(yīng)用。

（二）改進背景值的GM（1，1）模型預(yù)測新能源汽車銷量的實現(xiàn)步驟

改進GM（1，1）模型的實現(xiàn)步驟如下：

（1）從新能源汽車研究院網(wǎng)站獲取新能源汽車銷售量原始數(shù)據(jù)X（0）；

（2）對銷售量原始數(shù)據(jù)X（0）進行級比檢驗，如果檢驗結(jié)果符合GM（1，1）建模要求，則進行后續(xù)建模工作；否則，選取適當?shù)姆椒▽υ间N售量數(shù)據(jù)進行處理。

（3）建立原始GM（1，1）模型。

（4）λ∈[-1，1]，計算所有模型u=[a，b]T、相應(yīng)的擬合值、擬合平均相對誤差值。搜索使擬合平均相對誤差值最小的λ*，并選取對應(yīng)的a，b，建立預(yù)測模型，計算x（0）（k）。

（5）根據(jù)預(yù)測出的序列x（0）（k），計算出模擬值的誤差△（k）；

（6）比較傳統(tǒng)GM（1，1）模型與改進背景值后的GM（1，1）模型的擬合誤差大小。

（7）若改進后的模型擬合誤差更小，則用改進后的模型對新能源汽車銷量進行預(yù)測并根據(jù)預(yù)測結(jié)果提出針對未來新能源汽車市場的相關(guān)建議。

四、模型實證分析

（一）算例背景及數(shù)據(jù)來源

能源危機是世界各國正在面對并積極采取措施解決的問題。新能源汽車的產(chǎn)品市場、客戶需求、研究進程以及生產(chǎn)制造已成為世界各國汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的重要關(guān)注點。近幾年，全球能源短缺的考驗日益嚴峻，各國積極研究節(jié)能環(huán)保汽車，新能源汽車的發(fā)展前景欣欣向榮。《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十四五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》中提出，要“提高城市公交、出租、物流、環(huán)衛(wèi)清掃等車輛使用新能源汽車的比例”，這是我國對生態(tài)文明建設(shè)提出的重要規(guī)劃，也明確了新能源汽車未來的行業(yè)發(fā)展前景。在當前的技術(shù)、社會、政策、環(huán)境背景下，對新能源汽車的銷量進行研究具有重要的理論與現(xiàn)實意義。

本文數(shù)據(jù)來源于新能源汽車數(shù)據(jù)庫。

圖2是2011—2020年的我國新能源汽車銷售數(shù)據(jù)。

圖2" 2011—2020年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)

由圖2可以看出，近十年來，我國新能源汽車總體保持較高的發(fā)展速度。近年來，一方面政府出臺一系列

針對新能源汽車的補貼與扶持政策；另一方面，人們的環(huán)保意識不斷提升，新能源汽車銷量呈現(xiàn)明顯的指數(shù)式增長趨勢。雖然我國現(xiàn)在是世界上最大的新能源汽車生產(chǎn)商，但是，對于新能源汽車實現(xiàn)市場化、家庭汽車實現(xiàn)新能源化，仍然面臨考驗。

（二）傳統(tǒng)GM（1，1）模型驗證結(jié)果分析

本文利用前文搜集到的數(shù)據(jù)，以2016—2020年數(shù)據(jù)作為樣本建立模型，驗證模型的有效性。表1為2016—2020年新能源汽車銷售數(shù)據(jù)：

根據(jù)結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型擬合度不高，平均模擬誤差達到了5.602%，并不能很好的用于新能源汽車的銷量預(yù)測，因此，本文通過優(yōu)化背景值建立優(yōu)化后的GM（1，1）模型。

（三）改進GM（1，1）模型驗證結(jié)果分析

本文運用Matlab搜索尋優(yōu)求解優(yōu)化后的非線性規(guī)劃模型。選取步長為0.01，迭代一萬次，搜索到的λ*=0.52，a=-0.4426，b=29.6258

改進背景值后的GM（1，1）模型中新能源汽車銷量的時間響應(yīng)函數(shù)為：

x（1）（k）=[x（0）（1）+66.9358]e0.4426（k-1）-66.9358

計算即得預(yù)測值見下表：

（四）利用優(yōu)化后的GM（1，1）模型對2021—2025年新能源汽車銷量進行預(yù)測

根據(jù)前文的計算結(jié)果可知，通過優(yōu)化背景值建立GM（1，1）模型，優(yōu)化后的模型擬合誤差從5.62%降低到3.99%，可以得出，優(yōu)化背景值能夠提高模型預(yù)測這一結(jié)論。由圖4可以看出，隨著數(shù)據(jù)的增大，優(yōu)化后的GM（1，1）模型預(yù)測準確度逐步提高。因此，本文利用優(yōu)化后的預(yù)測模型對新能源汽車2021—2025年的銷售量進行短期預(yù)測，從而為汽車行業(yè)及相關(guān)企業(yè)把握未來新能源汽車市場提供參考。

根據(jù)前文計算得出的時間響應(yīng)函數(shù)進行預(yù)測計算：

x（1）（k）=[x（0）（1）+66.9358]e0.4426（k-1）-66.9358

預(yù)測結(jié)果見下表：

五、結(jié)束語

GM（1，1）模型是解決信息量少的系統(tǒng)預(yù)測問題的

有效工具。本文分別利用積分中值定理以平均相對誤差最小化為目標建立背景值優(yōu)化模型對傳統(tǒng)GM（1，1）模型進行優(yōu)化，旨在提高GM（1，1）模型的預(yù)測精度。并用優(yōu)化后的模型對中國市場上的新能源汽車銷量進行擬合預(yù)測，結(jié)果表明，優(yōu)化后的模型能在一定程度上提高模型的預(yù)測精度，為汽車、運輸、制造業(yè)等行業(yè)提供了一種簡單可靠的路徑把握新能源汽車市場情況，為新能源汽車適應(yīng)市場提供了有效信息。

根據(jù)前文預(yù)測結(jié)果可以看出，未來在市場的發(fā)展和國家政策的扶持下，新能源汽車銷量仍會呈現(xiàn)指數(shù)式增長趨勢，新能源汽車的普及將對環(huán)境保護和工業(yè)發(fā)展產(chǎn)生積極影響，但隨之而來的是汽車零部件制造業(yè)的又一次考驗。尤其是對于中小型汽車零部件制造企業(yè)，因為中小型汽車零部件供應(yīng)商必須緊跟市場發(fā)展動態(tài)，及時更新技術(shù)研發(fā)水平，從而能夠提供新能源汽車所需的新型零部件，否則必會被市場所淘汰。經(jīng)濟高速發(fā)展的今天，汽車幾乎已經(jīng)成為家庭必備，因此汽車行業(yè)的變革，肯定會引起行業(yè)內(nèi)所有相關(guān)企業(yè)的整體變革。在汽車售后服務(wù)市場中，零部件的更新?lián)Q代與備件庫存的控制也是一項重大挑戰(zhàn)。但是，挑戰(zhàn)往往伴隨著機會，隨著新能源汽車的普及，對于電子產(chǎn)品的需求也在逐步增加。由于新能源汽車的發(fā)展對于各個領(lǐng)域都產(chǎn)生重要影響，研究人員必須持續(xù)關(guān)注其未來發(fā)展的趨勢，以便幫助整個市場積極應(yīng)對。

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