網絡信息工程應用數學關聯教學法研究

摘" 要：網絡信息工程等新工科專業在人才培養過程中普遍存在數學知識儲備不足的問題，表現在廣度上數學視野狹窄，深度上數學基礎薄弱。針對此問題該文提出關聯教學法，結合網絡信息工程的專業特點，把應用數學知識庫劃分為核心集和擴展集，在應用數學知識庫和專業知識庫之間建立粗、細顆粒度的兩級關聯。由工程問題引導數學學習，由應用數學支撐專業知識體系，通過發掘關聯案例、建立關聯案例集、教學實踐三步進行關聯教學。通過三個案例演示關聯教學法的實施過程。實踐證明，關聯教學法有助于從廣度和深度兩個維度解決本科生數學知識儲備不足的問題，幫助學生建立立體化網狀的知識體系。

關鍵詞：網絡信息工程；應用數學；關聯教學法；知識庫；關聯案例

中圖分類號：G640" " " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2023）29-0139-05

Abstract： Lack of mathematics reserve is a long existing problem in the education for new engineering majors like network information engineering. It shows students have narrow horizon and weak foundation with mathematics. To solve this problem， this paper proposed a correlative teaching method. Based on the specialty characteristics of network information engineering， applied mathematics library is classified into kernel set and extension set， and it is correlated to specialty knowledge library by two grades of connection， coarse granularity and fine granularity. The correlative teaching method is based on the tenet of \"Engineering questions introduce mathematics learning， and applied mathematics supports specialty knowledge system\". The method is composed of three steps： designing correlative samples， building the library of correlative samples， teaching practices. Three teaching cases are given to show how to implement the method. Practices showed that the method could help conquer the problem of \"lack of mathematics reserve\" from two dimensions of horizon and depth， and help students build a solid mesh knowledge system.

Keywords： network information engineering; Applied Mathematics; correlative teaching method; knowledge library; related case

基金項目：2023年度廣東省教育科學規劃課題（高等教育專項）“新工科電子信息類專業的關聯教學研究”（２０２３ＧＸＪＫ４８６）；2021年度廣東省本科高校高等教育教學改革項目“面向工程認證的網絡信息工程相關新工科專業的應用數學教育研究”（粵教高函[2021]29號）；2021年度廣東省高等學校教學管理學會課程思政建設項目“信息理論與編碼”（粵高校教管學會[2022]1號）；2022年度廣東省高等教育學會實驗室管理專業委員會基金項目“粗細顆粒度相結合的《計算機網絡》實驗教學方法”（GDJ20220290）；2020年度廣東省課程思政示范課堂項目“物聯網技術（傳感器網絡）”（粵教高函[2021]4號）；2022年度廣東省自然科學基金面上項目“基于網絡信息論的均勻分數網絡容量域研究”（2022A1515011345）；2021年度廣東省普通高校特色創新項目“基于網絡編碼的云存儲編碼研究”（2021KTSCX124）；２０２３年度梅州市自組網與云計算工程技術研究中心（２０２３ＧＣ０３）；2022年度梅州市社會發展科技計劃項目“基于OPNET的森林火險監防傳感網和災害救助應急通信網仿真研究”（2022B110）；2022年度嘉應學院課程思政示范課程項目“物聯網技術”（嘉院教[2022]48號）；2020年度嘉應學院高等教育教學改革項目“網絡信息工程相關新工科專業的應用數學教育研究”（JYJG20200102）；2022年度嘉應學院高等教育教學改革項目“面向工程認證的計算機網絡實驗教學體系”（JYJG2022222）；2021年度嘉應學院質量工程項目“計算機網絡”（嘉院教[2021]20號）；2023年嘉應學院科研項目“基于OPNET的移動自組網MAC協議研究”（2023KJY020）

第一作者簡介：劉宴濤（1975-），男，漢族，吉林蛟河人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為網絡通信、網絡信息論、物聯網、云計算等。

*通信作者：秦娜（1982-），女，漢族，遼寧葫蘆島人，博士，助理實驗師。研究方向為教育技術學、計算機網絡等。

網絡信息工程是在通信工程、電子信息工程、網絡工程、計算機科學與技術等傳統工科專業基礎上發展起來的，通過對這些專業交叉、融合、改造、升級形成的新工科專業。現代社會已經進入了“萬物互聯，無網不勝”的網絡時代，隨著通信網絡基礎設施的日益完善和三網融合的不斷推進，催生出電子商務、搜索引擎、門戶網站、網絡直播、視頻點播、智能電網、移動通信、云計算和物聯網等眾多新技術、新經濟和新業態，并進而帶動上下游產業鏈，極大推動了國民經濟的突飛猛進發展。這些新興的互聯網產業亟需大量熟悉通信、計算機和網絡知識的專門人才。由于網絡通信涉及到工農業生產和日常生活的方方面面，從衛星遙測到潛艇導航，從民用移動通信到軍用戰術數據鏈，從森林監測到社區安防，從視頻會議到遠程醫療，應用領域之廣、涉及技術之多是其他工業形式所不能比擬的，所以網絡信息工程人才的知識和技能應該是多維度、全方位的，這就對相關專業的課程內容和教學方法體系提出了新的、更高的要求。

在網絡信息工程人才培養體系的建設過程中，始終存在著一個亟待解決的卡脖子問題，即“數學知識儲備不足”，這個問題在傳統工科專業的人才培養過程中也長期存在并廣為用人單位所詬病。比如學生進入企業實習或參加面試的過程中，常有用人單位抱怨：“工科專業的本科生怎么連dB是什么都不知道？通信專業學生怎么不懂香農公式？本科生怎么不會用數值分析的方法計算微積分？”凡此種種，雖然這些只是個案，不能代表本科生的普遍水平，但至少從側面反映了現有工科培養體系中的確存在“數學基礎不扎實、知識面不廣闊”的問題。

為了解決工科專業學生數學知識儲備不足的問題，很多研究者從不同的角度進行了探索。彭慧春等[1]在新工科背景下針對多學科交叉探究式數學教學提出了三種教學模式：數學建模、數學實驗、基于數學問題的探究模式。陳焱[2]針對工程數學教學存在的問題，在教材選用、教學內容、考核方式等方面提出了一系列改革措施。類似的，針對工程數學教育中存在的重計算輕思想、重理論輕應用、與計算機和大數據時代不相銜接等問題，宋述芳等[3]從學生的創新思維及應用和教師的教學方法及手段兩個角度深入探究了如何進行工程數學教育改革，以滿足社會對于創新應用型人才的需要。楊文霞等[4]站在課程群的角度，本著工程數學服務于新工科建設的理念，闡述了概率論與數理統計和復變函數與積分變換這兩門課程的教學改革實踐。文獻[5]和[6]分別討論了新工科背景下高等數學和數學分析這兩門課程的應用型教學改革問題。通過分析新工科導向下大學數學教學的困境，楊永富等[7]以河海大學為例，提出并創建了大學數學課程的“1455”創新能力培養體系。上述研究都是基于新工科的大背景下，更為具體的，王先傳等[8]針對計算機類專業的人才培養，基于“翻轉課堂”和“OBE”等教育理念，提出了數學建模能力培養的思路。張鐸等[9]提出了針對電氣信息類專業的工程數學改革思路。詹耀輝[10]系統思考了光電類專業工程數學課程的教學定位、教學問題和教學策略，提出了目標導向式、數學軟件可視化、線上線下混合式等教學方法，在專業交叉的復合型人才培養中發揮了重要作用。

本文針對網絡信息工程及其相關專業的應用數學教育問題，通過現狀分析發現存在的問題，提出了一種關聯教學法，通過發掘應用數學和專業知識之間的關聯案例，建立關聯案例庫并進行實踐教學，該方法以工程問題引導數學學習，有助于從廣度和深度兩方面解決本科生數學知識儲備不足的問題，有利于理論與實踐相結合，加深對專業知識的理解。

一" 網絡信息工程應用數學教育的現狀分析

對于像通信工程、網絡工程、計算機科學與技術等傳統工科專業來說，一直存在的一個誤區就是“工科學生應該強調實驗動手能力，沒必要學習太多理論課程”。這是一種典型的“重工程應用，輕科學理論”的錯誤思想。事實上，科學是工程的基礎，沒有科學理論的支撐，工程實踐只能在盲目的試驗和錯誤中摸索前行。

這種錯誤思想在工科專業的數學教育上表現得尤為明顯。目前，國內高校理工類專業的本科生只學習高等數學、概率論和線性代數三門數學課，這對后續專業課的學習和知識體系的構建是非常欠缺的。以通信專業為例，學生在學習通信原理的時候應該具有隨機過程、信息論和近世代數的數學基礎，否則就無法透徹地理解噪聲、信息量、香農公式及編譯碼等概念和原理。可是由于種種原因，很多院校都沒有給本科生開設這些課程，導致學生只能死記硬背公式，知其然而不知其所以然。

“數學知識儲備不足”這一問題表現在廣度和深度兩個維度上。在廣度上，目前的本科生知識面和數學視野太過狹窄，除了高等數學、概率論和線性代數之外，對諸如隨機過程、排隊論、信息論、圖論、矩陣論、組合論、博弈論、數值分析、近世代數和幾何學等工程應用中經常涉及的數學知識或工具知之甚少。知識面狹窄造成的直接后果表現在兩方面：一方面，學生對于所學的高數、概率和線性代數到底有什么用懵懂無知，無法和工程實踐相對接，導致極大挫傷了其學習興趣和積極性；另一方面，學生走上工作崗位后在面對實際問題時，又苦于找不到恰當的數學工具加以解決，經常發出“書到用時方恨少”的慨嘆。在深度上，本科生普遍患有“數學恐懼癥”，即使在學習高等數學、概率論和線性代數這三門基礎課時也感覺困難重重，無法體會公式、定義、定理的含義，不能熟練、準確地進行計算，更不要說領悟數學背后的哲學思想。數學功底不扎實導致的直接后果就是考研上線率低，用人單位滿意度低。

“數學知識儲備不足”這一問題產生的原因可以概括為教師側和學生側兩方面，但主要原因在教師側。具體來說，現行的本科教學體制中為工科專業僅開設了高等數學、概率論和線性代數這三門數學基礎課，而且大多由數學專業的教師執行授課任務。對于工科專業學生而言，這種教學安排存在如下弊端。

第一，數學教學與專業知識結合度不夠。由于數學專業科班出身的教師并不了解各個工科專業的背景和知識，所以在上數學課的時候總是站在純數學的角度，無法關聯各個專業并融會貫通。事實上，針對工科專業比較好的數學教學方法應該是把數學知識和專業知識相結合，相輔相成、互通有無地增強學生的體驗度和理解度。筆者曾經為通信工程和電子信息工程專業的學生講授過概率論和信息論，對這兩門課程涉及的概念、定理、定義、人物和歷史事件等知識點之間千絲萬縷的聯系采用對比、關聯、歷史回顧等方法進行講解，取得了很好的效果。

第二，數學教學缺少關聯。在現行的課程體系下，各門課的任課教師各司其職，只講授本門課的內容，很少涉及其他課程，這導致學生建立的知識體系呈現孤立煙囪狀，缺少知識的內在關聯和彼此支持。針對這一問題，如果各門課程的教師能夠旁征博引，廣泛聯系，為學生引出其他數學科目并簡要介紹這些科目的基本概念、問題及與本課程的關系，就可以為學生勾勒出一張網狀的知識地圖，這將非常有助于學生建立立體化網狀的知識體系，理解知識之間的內在聯系，增加學習興趣。比如在講授微積分的時候，不妨引申出數值分析課程中微積分是如何采用離散的方法實現的，這不僅有助于學生更深刻地理解微積分的本質，而且使學生了解應用計算機進行數學分析和計算的方法。

由于在教師側存在上述問題，加之數學本身枯燥乏味的特點，導致在學生側產生懼學、厭學、棄學的惡性循環，并對后續的數學學習及專業課的學習產生了極大的障礙。

綜上所述，工科學生數學基礎薄弱的根源在于教師側，在于教師僵化的講授方法。如果教師們能夠創造或發掘靈活多樣的數學教學方法，為數學知識點尋找專業課教學中與之相對應的應用案例，或者為專業課知識點構筑與之相關聯的數學基礎知識集，那么就可以達到縱橫捭闔、融會貫通、旁征博引的授課效果，幫助學生建立一個立體化網狀的知識體系，理解各門學科的差異與關聯，掌握各門課程的關鍵點，了解現階段科學發展的邊界。最終幫助學生消除懼學、厭學、棄學的消極心理，轉化為喜學、愛學和主動自學的良性循環，形成對科學知識濃厚的興趣、好奇和渴望。

為此，本文提出了一種針對網絡信息工程及其相關專業的應用數學的關聯教學法，尋找和挖掘應用數學和專業知識之間的內在聯系，設計和建立兩者之間的關聯案例集，通過對關聯案例的講解，從廣度和深度兩個維度解決本科生“數學知識儲備不足”的頑疾，通過為應用數學和專業知識之間架設橋梁來鞏固和加深對專業知識的理解，把一個個孤立的、煙囪式的專業課加以融會貫通，構建成一個立體化網狀的知識體系，從而滿足網絡信息工程相關產業的人才需求。

二" 網絡信息工程應用數學的關聯教學法

本文提出的“關聯教學法”為網絡信息工程及其相關專業探索了一個有效的、可操作的應用數學的教學思路和方法，該方法的關鍵和核心是發掘應用數學和專業知識之間的關聯案例，建立應用數學和專業課之間的關聯知識庫，并采用對比、關聯的教學方法啟發學生的學習興趣，提高對重點、難點的理解度。

本文建立了一個應用數學知識庫和網絡信息工程相關專業知識庫之間的關聯案例集。關聯關系劃分為粗顆粒度和細顆粒度兩個等級。粗顆粒度關聯是指學科關聯或課程關聯，如圖1所示，反映了應用數學和網絡信息工程各門課程之間的交叉聯系；細顆粒度關聯則是指各門課程的具體知識點之間的關聯，這一級關聯的數量極其龐大，關系更為復雜，呈現立體化網狀交叉結構。

（一）" 關聯教學法

關聯教學法的基本內容是建立應用數學和專業知識之間的關聯案例庫，并通過解析關聯案例學習應用數學知識和專業知識。關聯教學法的實施過程分為如下三步。

1" 第一步，設計關聯案例

關聯教學法的核心工作是發掘和設計應用數學和專業知識之間的關聯案例。能夠承擔這一工作的應該是各個專業的資深教師，必須對本專業的知識體系和數學在本專業的具體應用非常熟悉，具有豐富的專業教學經驗，能準確洞悉學生的困惑所在。

考慮到數學抽象難懂的特點，專業課教師在教學過程中要探索和嘗試靈活多樣的教學方法，切忌刻板僵化地為了教數學而教數學的傳統教學方法。關聯教學法的核心思想是由工程問題引導應用數學理論學習，只有讓學生直觀地看到數學知識有用，其才會產生學習興趣。筆者在計算機網絡課程中講授單播網絡最大流最小割定理時曾為學生引申出組播路由容量的問題，并為其介紹如何用博弈論的方法求解該問題，由此為學生們引導出博弈論的基本概念，讓學生真切地感受到原本只是聽說過、沒見到過的科學知識居然距離自己如此近，從而對博弈論產生了濃厚的興趣。然而，不可否認的是把較為深奧的數學理論用樸素平實的語言解釋給本科生，而且還要與各專業的工程問題相關聯并非易事，這需要教師深入思考，廣泛閱讀，突破專業知識的禁錮，拓展視野，把科研與教學緊密結合，不斷提升自身能力。

2" 第二步，建立關聯案例集

以持續、開放、滾動和更新的方式建立應用數學知識庫和網絡信息工程專業知識庫之間的關聯案例集，這是關聯教學法的主要工作。這一工作沒有完成時，只有進行時。在這部分工作中，要注意把控好關聯度和邊界，應用數學學科體系很復雜，分支學科很多，考慮到本科生的實際知識儲備，不可能把所有學科分支都包括進來，也不可能同等地對待這些分支。為此，針對網絡信息工程的知識背景，本文提出了應用數學的兩級關聯體系，包括核心集和擴展集，如圖2所示。在關聯案例的發掘和教學過程中重點講授核心集，對擴展集的數學知識只介紹基本概念即可。

3" 第三步，關聯教學實踐

應用所建立的關聯案例集為本科生解析數學知識點和專業知識點之間的關系。由于學時所限，為本科生系統完整地開設培養方案之外的數學課程尚不可行，但可以采用論壇、專題講座、短期培訓班、Case Study等多種靈活的教學方式，而且教學地點也不限于教室，可以在實驗室、會議室甚至是草坪或餐廳，這也是國外高校進行正常教學之外的學術研討多采用的方式，這種靈活、不拘小節甚至是松散的學習和研討方式更能激發學生的發散思維和學習興趣，更適用于臨時性、非系統教學、針對比較小的知識點、以啟發興趣和發現問題為主要目的的學習。

（二）" 關聯案例

關聯教學法在具體實施時，需要考慮不同年級學生的知識儲備情況并區別對待。為了解釋和演示關聯教學法的本質和實施過程，本文通過三個關聯案例來說明如何在應用數學和專業知識之間架設橋梁。

1" 把概率中正態分布與數字通信中噪聲特性和譯碼錯誤概率相關聯（案例一）

在學習概率時，數學老師曾強調正態分布是處于核心地位的連續隨機變量分布，但并沒有說明其用處和使用方法。為此，本文把正態分布和通信中噪聲特性相關聯。首先，根據中心極限定理，如果一個隨機變量是由大量獨立隨機變量之和構成，其中每個分量對總量只作出微小的貢獻，則總量服從正態分布。該定理在通信噪聲分析中有著重要意義，比如通信接收機中帶電粒子的隨機運動引起大量短促脈沖的疊加形成熱噪聲；再比如雷達回波信號中由大量獨立散射體的反射信號疊加造成回波噪聲，根據中心極限定理，這些噪聲的瞬時值都服從正態分布，因此，通信中常把這些噪聲建模為高斯噪聲（通信領域常把正態分布稱為高斯分布）。

其次，高斯噪聲疊加在有用信號的幅度上形成對信號的隨機擾動，疊加生成的和信號呈現以有用信號為均值的正態分布。如圖3所示，數字通信信號分別以電平“+A”和“-A”的脈沖代表數字信號“1”和“0”（這被稱為二元對稱信道），通信過程中數字脈沖疊加噪聲后，接收機采樣得到的瞬時信號電平是以“+A”和“-A”為均值的正態分布隨機變量，圖3中f（r|0）和f（r|1）分別表示發送信號“0”或“1”的條件下，接收信號的概率密度函數。按照最小距離譯碼規則，接收端取0電平作為判決門限，若采樣值小于0，則接收端判決發送端發送的是電平“-A”，即信號0；若采樣值大于0，則接收端判決發送端發送的是電平“+A”，即信號1。

最后，如果發送端發送的是數字信號“0”，但由于噪聲干擾使得采樣值大于0，則接收端會發生錯誤判決或錯誤譯碼，這個概率（記為p）就是圖3中概率密度函數f（r|0）下方在0右側的陰影面積。反之亦然。

上述教學過程把正態分布、概率密度函數、概率計算和數字通信噪聲、譯碼規則、譯碼錯誤概率很好地關聯起來，不但幫助學生鞏固了連續隨機變量概率的計算方法，而且幫助其理解了噪聲對信號傳輸造成干擾的本質是什么。

2" 把概率中全概公式和逆概公式與數字通信譯碼規則相關聯（案例二）

全概公式和逆概公式是概率論中很重要、很基礎的一個知識點，然而數學老師在講述這部分的時候往往是以抓小球、扔骰子等例子進行講述，造成學生無法和自己的專業關聯起來。為此，本文把全概公式、逆概公式與數字通信中的接收端譯碼規則和錯誤概率關聯起來，如例1所示，把干巴巴的數學公式變成了生動的通信實例，提高了學生的體驗度。

例1：假設上述案例一中的二元對稱信道如圖4所示，假設譯碼錯誤概率（又稱轉移概率）p=2/3，此概率即為圖3中陰影部分面積。設發送端發送符號“0”和“1”的先驗概率分別為P（0）和P（1），其取決于信源符號的概率分布，與通信過程和譯碼規則無關。設計如下兩種譯碼規則，并分別計算平均譯碼錯誤概率。

譯碼規則1：收到+A脈沖，譯成發送端發送“1”；收到-A波形，譯成發送端發送“0”，則平均譯碼錯誤概率為

PE=P（1）P（-A|+A）+P（0）P（+A|-A）

=P（1）p+P（0）p=p=2/3。

譯碼規則2：收到+A脈沖，譯成發送端發送“0”；收到-A波形，譯成發送端發送“1”，則平均譯碼錯誤概率為

PE=P（1）P（+A|+A）+P（0）P（-A|-A）

=P（1）（1-p）+P（0）（1-p）=1-p=1/3。

顯然，本例中譯碼規則2要優于規則1。上述過程是全概公式和逆概公式在數字通信中的典型應用，把概率計算和數字通信中的譯碼規則和譯碼錯誤很好地關聯起來，讓同學們通過概率計算透徹地理解數字通信中譯碼錯誤的由來，以及如何通過合理設計譯碼規則來降低譯碼錯誤。

3" 把線性代數、近世代數與編碼學相關聯（案例三）

近世代數，又稱抽象代數，是應用數學的重要分支，也是編碼學的理論基礎。國內高校普遍沒有把近世代數納入工科專業的本科教學內容，通信專業的教師和教材在講授線性分組碼的時候，采用的方法往往是直接給出編譯碼矩陣讓學生了解編譯碼操作，而不去涉及深層的理論知識。這種講授方法會導致學生知其然而不知其所以然，因為其不知道編譯碼矩陣是怎么得來的。

為了把線性代數、近世代數、編碼學相關聯，首先，幫助學生回憶線性代數中線性相關、線性無關、線性子空間和正交等概念；其次，以所有人都熟悉的四則運算為切入點引出近世代數中有限域的概念，讓學生明白如何在有限的數集內通過模運算實現封閉的四則運算；第三，通過分析線性分組碼的特點指出（n，k）線性分組碼是二元域上的n維向量空間Vn中的一個k維子空間Vn，k；最后得出結論，線性分組碼的生成矩陣由k維子空間Vn，k的基底構成。

上述關聯教學過程既幫助學生了解了線性代數的用途，又拓展了視野，幫助其了解了近世代數的基本概念，還幫助學生了解編碼學的理論基礎，從而建立了完善的知識體系。

三" 結束語

針對網絡信息工程等相關專業的人才培養過程中數學知識儲備不足的問題，本文提出了關聯教學法，探討了如何把應用數學和專業知識相關聯，由工程問題引導數學知識學習，由應用數學支撐專業知識體系。與其他研究[1-10]相比，本文的研究特色在于不是針對某一門數學課程開展研究，而是把應用數學作為一個知識體系，建立其與專業知識體系之間的關聯。結合網絡信息工程的專業背景和特點，本文將應用數學劃分為核心集和擴展集，在應用數學知識庫和專業知識庫之間建立了粗細顆粒度兩級關聯，并通過三個教學案例演示了如何發掘和建立關聯案例，以及如何進行關聯教學。本文提出的關聯教學法有助于從廣度和深度兩個維度解決本科生數學知識儲備不足的問題，幫助學生建立立體化網狀的知識體系。

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