立足數學本質：讓高中數學教學返璞歸真

【摘要】本文分析高中生在學習數學學科過程中遇到的具有普遍性的問題，以2023年高考數學導數試題為例，探索教師在教學中引導學生把握數學本質，讓高中數學學科教學返璞歸真的對策：了解知識的背景、理解教材內在體系、理解數與形語言表達的轉換、深刻理解數學思想。

【關鍵詞】數學本質 高中數學 高考試題 導數

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）35-0115-05

學科內容多、知識點分散，抓不住重點、找不到方向等，是高中生在學習數學過程中遇到的普遍性問題。尤其是在學習導數這一內容時，由于教材對該內容的闡述比較簡單，而該內容本身又比較抽象，導致大部分學生都不能很好地理解、掌握這一內容，在解答高考導數試題時無從下手，失分率比較高。在此背景下，研究提高導數知識的教學效率，增強學生解答導數試題的能力，就具有了非常重要的現實意義。要實現這一教學目標，筆者認為，教師要在教學中引導學生深入理解數學本質，將知識生成、發展過程貫穿于教學的全過程，讓學生體會學習數學之道在于求簡，在于深入理解數學的本質、關系與規律。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱數學課程標準）指出，數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律。所以，教師在教學中應立足數學本質，引導學生理解知識產生的背景和發展的過程，嘗試抽象出數學概念，然后用數學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）表征概念，并由此推導與概念相關的性質，進而讓學生學會運用數學知識解決實際問題。下文筆者以2023年高考數學導數試題為例，通過具體的試題分析，探索教師在教學中引導學生把握數學本質，體會“大道至簡”的學習之道，進而提升學生的學習能力、解題能力。

一、理解數學本質要了解知識的背景

知識產生于現實世界，每一種知識都有一定的形成過程和產生背景，就像大樹生于種子、長于根基，大江源自溪流、奔向大海。只有讓學生深刻理解知識發生、發展的背景，才能讓學生認識知識的本源所在、本質所指。尤其是在學習數學概念的過程中，教師要引導學生了解相關概念的背景，并在學習過程中嘗試抽象出概念，然后用數學語言將概念表達出來。在此過程中，學生要學會通過圖形或其幾何意義從而更深刻地理解相關概念。如學習導數的定義時，我們用很簡單的符號f[′]（x）表示[limΔx→0][f（x+Δx）-f（x）Δx]，并且通過圖形引導學生理解導數的幾何意義就是曲線切線的斜率，這就是導數知識產生的背景。高考中經常以導數的幾何意義為命題知識點，且考題常常創新，但都不離其本質，然后由其本質出發注重引導學生理解曲線切線問題解題的三個步驟：第一步，設切點P（x0，y0）；第二步，求切線斜率k=f[′]（x0）；第三步，寫出切線方程y-y0=f[′]（x0）（x-x0）。其他有關導數切線的任何問題的解決，都要回歸上述三個步驟。

以2023年高考全國乙卷數學第21題為例，題目如下：已知函數f（x）=[1x+a]ln（1+x），當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程。解答該題，學生可以參考如下解題過程：當f（1）=0，切點為（1，0），則f[′]（x）=[-1x2]×ln（x+1）+[1x-1]×[1x+1]，得出k=f[′]（1）=-ln2，那么切線方程為y-0=-ln2（x-1），即（ln2）x+y-ln2=0。

這道試題是求函數在某一點處的切線方程，是導數知識中的一個重要知識點，是學生學習導數知識時繞不過的一個知識點。在歷年的高考試題中，命題者經常會設計這樣的試題，而解答這種問題的關鍵在于知道切點。在具體教學中，教師在引出導數概念時，要重視將平均變化率到瞬時變化率的極限思想，遷移到由割線引入切線的動態生成過程中，讓學生理解“導數的本質便是函數的變化趨勢”“函數的增減取決于函數切線的朝向”等含義，將利用導數求函數切線與求函數單調性的問題關聯起來，從而不斷加深學生對導數概念本質的理解。另外，幾何意義是數學概念的圖形表示，是數與形的結合。也就是說，教師在引導學生理解數學概念時，不僅要引導學生理解符號語言的表達，還要引導學生理解圖形語言的直觀表達，使抽象概念具體化。在導數問題中，歷年高考都有關于切線問題的考查，這也體現了考題回歸知識背景的趨向。

二、理解數學本質要理解教材內在體系

數學是講推理的，知識的生成有嚴密的邏輯體系，所以數學本質通常蘊含在數學知識的內在關系中。因此，要讓學生理解數學本質，教師就要引導學生理解教材中的知識內在體系。如關于導數的內容，在教材中的內在邏輯體系是非常簡單明了的，具體如下：導數的發生背景→抽象出導數的定義→用定義得到八個基本的函數導數公式→結合定義得出導數的四則運算方法及復合函數的求導方法→研究函數的單調性、極值、最值問題。所以，新高考在命題方面會著眼于從基本函數到復合函數的求導問題，并由此設計研究函數的單調性、極值、最值等問題，而要解決這些問題學生通常要掌握回歸教材最簡單的方法。如在函數的載體上基本會回歸八個基本初等函數及其求導的運算法則，在教學中教師可利用歷年的高考真題，抓住重點，通過針對性練習讓學生理解、掌握求導的過程。又如，在函數的單調性研究中，關鍵在于如何判斷導數的正負，而這就涉及對導數的變形知識，就要回歸至最基本的解不等式問題，如一元一次不等式、一元二次不等式、指數或對數不等式等，而這些不等式的解法又要回歸到基本函數的圖象。這就是本文所提的“大道至簡”。但由于很多學生沒有真正理解導數內容在教材中的內在體系，因此也沒能正確理解導數知識的本質：求導是一個工具，其主要用途是研究函數的單調性、極值、最值等問題。為了更系統地呈現高考中關于導數知識的考查，筆者對高考全國甲卷、全國乙卷、新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷等試卷進行了對比分析（如表1所示），讓學生清楚了解解決這些問題全都是用教材中最簡單的求導方法，使學習回歸至簡。

以2023年高考全國甲卷數學第21題為例，題目如下：已知f（x）=ax-[sinxcos3x]，x∈[0，π2]，若a=8，討論f（x）的單調性。解答該題，學生可以參考如下解題過程：f[′]（x）=a-[cosxcos3x+3sinxcos2xsinxcos6x]=a-[cos2x+3sin2xcos4x]=a-[3-2cos2xcos4x]，令cos2x=t，則t∈（1，0），則f[′]（x）=g（t）=a-[3-2tt2]=[at2+2t-3t2]；當a=8，則f[′]（x）=g（t）=[8t2+2t-3t2]=[（2t-1）（4t+3）t2]；當t∈[0，12]，即x∈[π4，π2]，則f[′]（x）lt;0；當t∈[12，1]，即x∈[0，π4]，則f[′]（x）gt;0。所以f（x）在[0，π4]上單調遞增，在[π4，π2]上單調遞減。

過去，學生遇到的函數往往是由多項式函數、指數函數、對數函數等復合構成的函數，本題則巧妙地將三角函數與多項式函數結合，打破常規，而三角函數求導數亦是導數教學的重點與難點。學生在判斷導數的正負時，可借助不等式4t+3gt;0，t2gt;0，這就將解題思路拉回到解一元一次不等式2t-1gt;0及2t-1lt;0中，學生再解三角不等式0lt;cos2 xlt;[12]，及[12]lt;cos2 xlt;1，就可以得出函數的單調區間。通過這樣的轉換，學生就很容易把看似復雜的函數表達式問題，轉化為解決最簡單的不等式問題。

又如，2023年高考新課標Ⅰ卷數學第19題，題目如下：已知函數f（x）=a（ex+a）-x，討論f（x）的單調性。在這一例題中，討論f[′]（x）=aex-1的單調性主要是解指數不等式aex-1gt;0和aex-1lt;0的取值范圍，討論的標準是a的正負。從上述兩道例題的分析來看，看似很復雜的試題，其實都可以轉化為最簡單的問題求解。由此可見，教師在教學中要在基礎知識講授方面多花時間，學生要在學習基礎知識上下足功夫，才能感悟學習的“大道至簡”。在具體教學中，教師應合理利用知識背景設置相關問題，引導學生抽象出數學概念，再從概念出發研究相關性質，并通過設置問題引導學生理解知識的本質。在知識應用環節，教師應引導學生將解決問題回歸數學本質，讓學生體會數學之美。

三、理解數學本質要理解數與形的轉化

在解決數學導數問題時，學生的解題痛點是導數問題太抽象，無法理解其本質是通過導數追尋函數圖象。解題的關鍵是進行有效的數形轉化，這個過程充分體現了數與形的聯系，揭示了數學學科本質。導致學生存在這樣的問題，主要是因為學生沒有真正掌握數形轉化思想，在解題過程中不懂得如何將數學關系轉化為圖形關系，或是將圖形關系轉化為數學關系，從而不能正確解決導數問題。就導數知識而言，筆者認為導數的本質就是通過導數這個工具，體會到用導數如何研究函數單調性、極值、最大（小）值的關系，進而得出函數的圖象。在教學中，教師可以為學生提煉出導數題型解題的范式：

從上述解題流程圖可以知道，解決函數與導數問題其實就是用數的表達去刻畫函數圖象形成過程，求導的本質在于判斷正負，在于判斷函數的單調性。導數試題有很多題型，如證明不等式成立、恒成立問題、隱零點問題、多元變量等，本質在于用上述的流程圖最終畫出函數f（x）的大致圖象，就能使問題迎刃而解。學生理解不了這個本質，就難以找到各種題型的解題抓手。

以2023年高考全國甲卷數學第21題為例，題目如下：已知f（x）=ax-[sinxcos3x]，x∈[0，π2]，若f（x）lt;sin 2x，求a的取值范圍。解答該題，學生可以參考如下解題過程：令φ（x）=f（x）-sin 2x=ax-[sinxcos3x]-sin 2x（直接移項作差，構造新函數），則φ[′]（x）=a-2cos 2x-[3-2cos2xcos4x=][-4cos6x+（a+2） cos4x+2cos2x-3cos4x]（求導），則φ[″]（x）=[4sinxcos5x]（2cos6 x+cos2 x-3）（不能判斷正負，再求導）；令g（t）=2t3+t-3=（t-1）（2t2+2t+3）（把不能判斷正負的部分再構造函數），則當t∈（0，1）時，g（t）lt;0，于是當x∈[0，π2]時，φ[″]（t）lt;0（判斷二階導數正負），那么φ[′]（x）在[0，π2]上單調遞減（一階導數單調性），所以當x∈[0，π2]時，φ[′]（x）lt;φ[′]（0）=a-3（結合一階函數圖象分析得出分類標準）。

從上述解題過程，我們可以得出如下結論：當agt;3時，因為[limx→π2]φ[′]（x）=-∞，所以存在唯一的x1∈[0，π2]使得φ[′]（x1）=0。于是，當x∈（0，x1）時，φ[′]（x）gt;0，那么φ（x）在（0，x1）上單調遞增；當x∈[x1，π2]時，φ[′]（x）lt;0，那么φ（x）在[x1，π2]上單調遞減。所以，φ（x1）gt;φ（0）=0，故當agt;3時，不符合題意；當a≤3，x∈[x，π2]時，φ[′]（x）lt;a-3≤0，那么φ（x）在[0，π2]上單調遞減；當x∈[0，π2]時，φ（x）lt;φ（0）=0，所以f（x）lt;sin 2x。最后可知，a的取值范圍為是（-∞，3］。

這道題屬于函數中的不等式恒成立問題，移項后構造出新函數，是一種常見的構造函數方法。在解答這道題過程中，學生在求出三階導數后，往往會因為沒有正確理解根據函數圖象判斷正負的本質，而容易感到無從下手，最后導致失分。因此，教師在教學中要著力引導學生正確把握這一流程：先進行三階導數判斷正負，得出二階導數的單調性后，再由其單調性求出其正負，再得出一階導數的單調性，接著判斷一階導數的正負，最后得出原函數的單調性。教師在講解導數時，要特別注意引導學生正確理解函數圖形，即導數的幾何意義，通過圖形直觀看出函數切線的方向，進而發現函數的增減性。學生只有深刻理解這一本質，才能快速篩選出不滿足條件的參數范圍，從而降低思考難度。

又如，2023年高考新課標Ⅱ卷數學第22題，題目如下：證明當0lt;xlt;1時，x-x2lt;sin xlt;x。解答該題，學生可以參考如下解題過程。如證明不等式的左邊，學生首先要構建新的函數：G（x）=sin x-（x-x2）=x2-x+sin x，x∈（0，1）（作差構造新函數，并注意定義域），則G[′]（x）=2x-1+cos x，x∈（0，1）（求導，但不能判斷導數的正負）。令g（x）=G[′]（x），x∈（0，1）（再構造新函數），則g[′]（x）=2-sin xgt;0當x∈（0，1）時恒成立（二階導數恒大于0），那么g（x）在（0，1）上單調遞增，從而可得g（x）gt;g（0）=0（一階導數單調性）。由此可知，G[′]（x）gt;0當x∈（0，1）時恒成立（一階導數的恒大于0），則G（x）在（0，1）上單調遞增，則G（x）gt;G（0）=0（原函數的單調性），所以sin xgt;x-x2，x∈（0，1）（結合圖象，得出結論）。

在解答這道題時，學生可以分別構造函數F（x）=x-sin x，x∈（0，1），G（x）=x2-x+sin x，x∈（0，1），然后求導。利用導數判斷原函數的單調性，雖然不用畫出函數圖象，但圖象與推導過程是相輔相成的。筆者在教學實踐中針對不同的導數試題類型，按上述解題范式進行解題實踐，均能有效實現解題，得出結果。所以，在高中數學教學過程中，筆者認為教師要抓好概念教學，厘清問題本質，做到大道至簡，讓學生的學習過程經歷由淺入深、再到由深入淺的過程，這樣學生就能學得輕松。

四、理解數學本質要深刻理解數學思想

雖然學科教學是以知識為載體的，但筆者認為，教師在傳授知識的同時，要更多關注學生數學思想的培養，讓思想方法上升到學科思維能力，從而培養學生的數學學科核心素養。所以，在數學教學中，教師要突出教學內容所具有的數學思想，用思想方法引領學生思考，最終提升學生的綜合能力。在導數教學中，教師要突出“用方程、不等式工具研究函數圖象性質”的基本思想，在表達中注重數形結合、函數與方程、分類討論等數學思想。如，在培養學生的函數與方程思想時，教師要引導學生理解方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標，通過函數圖象得出相應不等式的解集。

如2023年高考新課標Ⅱ卷數學第10題（多選題），題目如下：若函數f（x）=aln x+[bx+cx2]（a≠0）既有極大值也有極小值，則（" ）。（A.bcgt;0；B.abgt;0；C.b2+8acgt;0；D.aclt;0）。解答該題，學生可以參考如下解題過程：求導f[′]（x）=[ax-bx2-2cx3=ax2-bx-2cx3]，則函數f[′]（x）在（0，+∞）上有兩個變號零點，而a≠0，因此方程ax2-bx-2c=0有兩個不等的正根x1，x2，這樣就把函數問題轉化為方程根的分布問題，所以[Δ=b2+8acgt;0x1+x2=bagt;0x1x2=-2cagt;0]，再由方程根的分布問題轉化為不等式問題，則有b2+8acgt;0，abgt;0，aclt;0，顯然a2bclt;0，即bclt;0，故答案為BCD。

這道題主要考查函數與方程相互轉化的思想，表面上是求函數的極大值、極小值，實際上是要將問題轉化為一元二次方程根的分布問題。在實際教學中，教師應牢牢抓住函數的本質，即變量與函數值之間的對應關系。在給出函數值為0的前提下，就能將求x值的函數問題自然而然地轉化為方程求解問題。可見，函數問題與方程問題是一個可以互相轉化的關系，這便是函數與方程的天然聯系。要想正確解答這類問題，學生就要嫻熟地理解函數與方程思想，如此方能在解答相關問題時駕輕就熟地進行轉化。在教學中，教師要認真引導學生理解函數概念，理解函數、方程、不等式之間的本質關系，才能從根本上提升學生的解題能力。

又如，分類討論思想，含參數的導數試題大多要進行分類討論。設計相關試題旨在使學生能根據參數的不同取值，得到不同的結果，突顯培養學生嚴謹的邏輯推理等核心素養。以2023年高考新課標Ⅱ卷數學第22題為例，題目如下：已知函數f（x）=cos ax-ln（1-x2），若x=0為f（x）的極大值點，求a的取值范圍。解答該題，學生可以參考如下解題過程：令1-x2gt;0，函數f（x）的定義域為（-1，1），且f（x）是偶函數；又因為f[′]（x）=-asin ax+[2x1-x2]，所以f[″]（x）=

-a2 cos ax+[2+2x2（1-x2）2]，且f[′]（0）=0，f[″]（0）=2-a2。在此情況下，存在如下三種情況：①若f[″]（x）=2-a2gt;0，即當[-2][lt;a][lt;2]時，存在t1gt;0，使得x∈（0，t1），則f[″]（x）gt;0，所以f[′]（x）在（0，t1）上單調遞增，f[′]（x）gt;f[′]（0）=0，這顯然與x=0為函數的極大值點相矛盾，故舍去；②若f[″]（x）=2-a2lt;0，即當alt;[-2]或agt;[2]時，存在t2gt;0，使得x∈（-t2，t2），f[″]（x）lt;0，所以f[′]（x）在（-t2，t2）上單調遞減，又f[′]（0）=0，且當-t2lt;xlt;0時，f[′]（x）gt;0，則f（x）單調遞增，當0lt;xlt;t2時，f[′]（x）lt;0，且f（x）單調遞減，滿足x=0為f（x）的極大值點，符合題意；③若f[″]（x）=2-a2=0，即當a=[±2]時，f（x）為偶函數，所以只考慮a=[2]的情況，此時f[′]（x）=[-2sin（2x）]+[2x1-x2]，且當x∈（0，1）時，f[′]（x）gt;-2x+[2x1-x2]=2x[11-x2-1]gt;0，所以f（x）在（0，1）上單調遞增，顯然與x=0為函數的極大值點相矛盾，故舍去。最后得出a的取值范圍為（-∞，[-2]）∪（[2]，+∞）。通過解答這道題，可知進行分類的標準是f[″]（0）=2-a2，然后結合圖象進行判斷。由于本題很抽象，所以對學生的數形結合、分類討論思想的要求很高。

通過對2023年高考數學導數試題進行分析，筆者認為，新高考要求教師深刻理解新課標、新教材，并能夠用新的理解指導學科教學，這對一線教師的教學素養提出了更高的要求。在數學教學活動中，教師要以知識為基礎，但不能只是停留在知識傳授的層面，而是要更多關注數學思想方法的熏陶和思維能力的提升。因此，教師要從引導學生理解數學知識背景入手，進一步引導學生理解教材內容的內在邏輯，從數與形語言轉化把握數學本質，從而深刻地理解相關數學概念、知識，并能夠學以致用，促進學生核心素養的發展。

參考文獻

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作者簡介：盧瑞庚（1972— ），廣西平南人，正高級教師，主要研究方向為高中數學教學及數學高考備考；別金金（1995— ），湖北仙桃人，碩士研究生，主要研究方向為高中數學教育。