關注情境重思維 理解模型提素養

【摘要】本文聚焦2023年高考新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷，全國甲卷理科卷、文科卷，全國乙卷理科卷、文科卷，北京卷，天津卷以及上海卷等9套數學試卷中的概率與統計、計數原理試題，從考查的知識點、命題思路兩個方面分析這些試題的特點，并提出“五關注”備考建議：關注解題規范，關注模型識別，關注新舊課程標準、新舊教材的差異，關注問題情境的創設，關注教材中的題目。

【關鍵詞】概率與統計 計數原理 試題分析 備考建議

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）35-0073-06

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：概率的研究對象是隨機現象，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法。統計的研究對象是數據，核心是數據分析。概率為統計的發展提供理論基礎。

“概率與統計”是高中數學必修課程與選擇性必修課程的四條主線之一，也是高考數學考查的重點內容。2023年的9套高考數學試題注重理論聯系實際、重視核心素養、突出關鍵能力，不僅考查了考生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養，還考查了考生的數學表達能力。本文聚焦概率與統計（含計數原理）高考試題，評析試題并提出備考建議。

一、試卷整體分析

筆者從考查內容、知識點、難度以及試題情境等方面，整理新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷，全國甲卷理科卷、文科卷，全國乙卷理科卷、文科卷，北京卷，天津卷，上海卷等共計9套試卷中的概率與統計（含計數原理）試題，具體如下頁表1所示。

從表1可以看出，試題載體豐富、題型全面、結構穩定。考查的題型全——共有單選題13道、多選題2道、填空題3道、解答題8道，題型覆蓋全；試題注重現實情境——26道題中，有20道題依托現實情境，占比高達76.92%；題量和分值相對穩定——地方卷和全國卷題量和分值略有不同，但相差不大，北京卷1道單選題與1道解答題“一小一大”共18分，天津卷3道單選題“三小”共15分，上海卷2道填空題、1道單選題與1道解答題“三小一大”共28分，除了全國甲卷文科卷只有1道單選題和1道解答題“一小一大”共17分，其他全國卷題量均為2道小題（1道多選題與1道填空題、1道單選題與1道多選題、2道單選題）和1道解答題“兩小一大”，分值均為22分。

二、試題分析

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）指出“一核”“四層”“四翼”是高考命題的理論基礎和實踐指南，其中“四翼”包括基礎性、綜合性、應用性、創新性。高考圍繞學科主干內容，加強對基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題、怪題和繁難試題，引導教師重視教材，夯實學生基礎，給學生提供深度學習和思考的空間。

（一）考查知識點分析

1.計數原理

計數原理主要通過考查分類加法計數原理和分步乘法計數原理、二項展開式等問題實現。

例1（全國甲卷理科卷第9題） 有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（" ）。

A. 120" " B. 60" " C. 40" " D. 30

例2（全國乙卷理科卷第7題） 甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（" ）。

A. 30種" B. 60種" C. 120種" D. 240種

例3（新課標Ⅱ卷第3題） 某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法做抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生。已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（" ）。

A.[C45400C15200]種" " " B.[C20400C40200]種

C.[C30400C30200]種" " " D.[C40400C20200]種

例4（北京卷第5題） [2x-1x5]的展開式中，x的系數是（" ）。

A.-40" "B.40" "C.-80" "D.80

例5（天津卷第11題） 在[2x3-1x6]的展開式中，[x2]項的系數為 。

【評析】計數原理是歷年高考熱點，例1、例2、例3的易錯點為不能區別兩個計數原理以及模型運用錯誤，例4、例5的易錯點為混淆二項式系數和系數的區別，考查閱讀理解能力和數學運算核心素養。

2.概率

本部分常考查古典概型、幾何概型，解答題部分還常考查相互獨立事件、分布列，其中條件概率與全概率公式等相關知識是高考新熱點，應給予關注。

（1）古典概型

例1（全國甲卷文科卷第4題） 某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名。從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（" ）。

A.[16]" " B.[13]" "C.[12]" "D.[23]

例2（全國甲卷理科卷第6題） 有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（" ）。

A. 0.8" "B. 0.4" " C. 0.2" " D. 0.1

（2）幾何概型

例3（全國乙卷理科卷第5題、文科卷第7題） 設O為平面坐標系的坐標原點，在區域{（x，y）∣1≤x2∣y2≤4}內隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于[π4]的概率為（" ）。

A.[18]" " B.[16]" "C.[14]" "D.[12]

【評析】此類型題目往往有豐富的現實背景，考查考生分析問題、解決問題的能力。例1、例2考查古典概型，例3考查幾何概型，一方面要求考生樹立模型意識，另一方面要求考生加強數學建模和數學運算核心素養的針對性訓練。

（3）隨機變量的分布列與期望

創新的題目條件、創新的編排方式，突出主干知識，強化綜合應用。高考多通過中檔題考查概率統計專題的主干知識，題目排序相對固定，值得關注的是：新課標Ⅱ卷第12題作為多選題壓軸題，新課標Ⅰ卷第21題作為解答題壓軸題，以投籃為問題情境，設問角度發生了變化，體現?？汲Ｐ碌拿}思路。

例4（新課標Ⅰ卷第21題） 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選。第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5。

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E[i=1nXi]=[i=1nqi]。記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）。

【評析】本題借助投籃創設生活問題情境，考查條件概率公式、全概率公式、兩點分布、數學期望，第（3）問給定新的定義，概率與數列等交匯知識在試題中融合考查，考查遞推數列和概率統計知識，考查學生處理新問題的能力，考查數學抽象、數學運算、邏輯推理的學科素養，試題綜合程度高。

3.統計

本部分?？疾閮热轂槌蓪祿慕y計相關性，散點圖、統計圖表與數據數字特征，如平均數、中位數、眾數、方差、標準差等。

（1）樣本數字特征的性質及用樣本的數字特征估計總體的數字特征

例1（天津卷第7題）調查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數據如圖2所示，其中相關系數r=0.824 5，下列說法正確的是（" ）。

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關性

B.花瓣長度和花萼長度呈現負相關

C.花瓣長度和花萼長度呈現正相關

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.824 5

例2（新課標Ⅰ卷第9題） 有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（" ）。

A. x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數

B. x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數

C. x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差

D. x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差

【評析】例1、例2的側重點不是單純的運算，而是對數學核心概念的理解，一方面要求考生深刻區別概念的異同，另一方面要求考生理解數字特征在統計中的意義和聯系，如標準差和方差、百分位數和中位數之間的聯系等。

例3（全國乙卷理科卷第17題、文科卷第17題） 某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的分別記為xi，yi（i=1，2，…，10），試驗結果如下。

記zi=xi-yi（i=1，2，…，10），記z1，z2，…，z10的樣本平均數為z，樣本方差為s2，

（1）求z，s2。

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥[2s210]，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）。

【評析】本題基于橡膠產品的伸縮率創設生活問題情境，考查考生科學研究精神和勞動意識，考查樣本平均數和方差，設置決策性問題，考生需結合概率統計知識做出判斷，考查考生數據分析、數學運算的學科素養和數學應用能力。

（2）獨立性檢驗

例4（全國甲卷理科卷第19題） 一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）。

（1）設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望；

（2）試驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5

（i）求40只小白鼠體重的增加量的中位數m，再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數，完成如下列聯表：

（ii）根據i中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異？

附：k2=[n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）]，

[P（k2≥k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 ]

【評析】本題考查運用2×2列聯表解決獨立性檢驗的簡單實際問題——求離散型隨機變量的分布列、數學期望；考生須做出統計決策、統計推斷或根據具體情境解釋統計結論，試題具有開放性和探究性，考查數據分析、數學運算等學科素養。

（二）命題思路分析

1.凸顯核心概念，關注問題本質

例1（新課標Ⅱ卷第12題） 在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1-α；發送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1-β?？紤]兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸。單次傳輸是指每個信號只發送一次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次。收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）。

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1-α）（1-β）2

B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1-β）2

C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為β（1-β）2+（1-β）3

D.當0＜α＜0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

【評析】本題基于信號編碼、傳輸及譯碼等創設問題情境，考查考生對新概念、新知識的理解和探究能力。考生通過審題、分析，抽象出問題的本質是考查概率論的必備知識，包括：事件概率的計算、事件獨立性的概念及應用、獨立試驗序列模型及應用、二項分布及應用等。試題設計的四個選項是在同一條件下進行的推理和計算，各選項間可以相互啟發和借鑒，避免了重復繁雜的計算，引導考生聚焦問題的本質。

2.設置多元情境，體現五育并舉

高考試題與時代同步，應加強對學生滲透社會主義核心價值觀教育。高考試題通過創設豐富的問題情境，發揮了數學試題的育人價值，體現了五育并舉的思想理念。

2023年高考概率與統計試題既有生活實踐情境、體育運動情境，又有學習探索情境、科學研究情境，還有勞動生產情境：全國甲卷理科卷第9題根據志愿者參加社區服務創設了與生活實踐相關的問題情境；全國甲卷理科卷第6題、新課標Ⅰ卷第21題、新課標Ⅱ卷第3題，分別根據學生報名乒乓球俱樂部、足球俱樂部，甲、乙兩人投籃，以及學生參加體育運動的情況，創設了與體育運動相關的問題情境；全國甲卷文科卷第4題、全國乙卷文科卷第9題、全國乙卷理科卷第7題，分別根據隨機選2名學生組織校文藝匯演、學校舉辦作文比賽以及選讀課外讀物創設了與學習探索相關的問題情境；全國甲卷文科卷、理科卷第19題，新課標Ⅱ卷第12題，新課標Ⅱ卷第19題，分別根據高濃度臭氧環境對小白鼠體重的增加量的影響、在信道內傳輸信號以及某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異等創設與科學研究相關的問題情境；全國乙卷理科卷、文科卷第17題，根據比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應創設了與勞動生產相關的問題情境。可見，試題情境豐富，涵蓋生產生活實際的方方面面，充分發揮了試題的育人功能。

3.注重統計思維，考查關鍵能力

例1（新課標Ⅱ卷第19題） 某研究小組經過研究發現，某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖。

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性。此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c），誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）。假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率。

（1）當漏診率p（c）=0.5%時，求臨近值c和誤診率q（c）；

（2）設函數f（c）=p（c）+q（c），當c∈［95，105］時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區間［95，105］的最小值。

【評析】本題以疾病的檢測為背景，考查頻率分布直方圖相關知識，考查學生的讀圖、識圖、析圖能力，對接《課程標準》與教材，注重基本概念、公式的理解與應用，第（1）問考查臨近值的確定和中位數，與百分位數統計思維一脈相承；第（2）問是概率統計和函數知識的融合，考查分段函數表達式。

三、復習備考建議

（一）關注解題規范，體現數學應用

波利亞對數學解題的過程進行了深入的研究，認為整個解題過程分為四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃、反思回顧。因此，教師在帶領學生復習備考時，可以參考波利亞的這一理念，引導學生規范解題的步驟：在解決概率與統計問題時，首先要認真審題，加工題目中的文字信息、圖表信息、數據信息，弄清楚題目到底需要我們做什么，即弄清問題；其次，根據基本知識、基本技能、基本概念，合理選擇數學模型，構建基礎隨機變量與目標隨機變量之間的函數模型，即制訂解題計劃；再次，根據基本解題經驗合理分析數據，經過數學運算實現計劃，實現通過解題提升解決問題的能力；最后，規范書寫、嚴謹表述，體現數學應用，絕不能認為問題解決了就實現了高效備考，這會浪費鞏固知識和提升技巧的機會。問題解決后還應反思回顧。

（二）關注模型識別，突出思想方法

教師要向學生強調數學建模能力的重要性，關注學生模型意識的提升，如學生是否理解伯努利試驗、是否掌握二項分布、是否了解超幾何分布、是否理解服從正態分布的隨機變量的特征等。學生只有掌握了這些模型，才能在認真審題后運用相應模型對數據進行分析處理，進而解決實際問題。

在學生掌握了一定的統計模型、具備了一定的建模能力的基礎上，教師要注意培養學生的概率思想和統計思想。例如，在學習用兩個計數原理解決計數問題時，首先明確兩個計數原理的概念和適用的類型；其次明確兩個關鍵點：要完成的“一件事”是什么、需要分類還是需要分步；最后，分類時做到不重不漏，分步時做到步驟完整。

（三）關注新舊差異，深度研究課標

在實際教學中要特別關注新舊課程標準、教材的變化，關注高考變化趨勢。

從課程內容變化上研究，一方面關注刪減的內容，如系統抽樣、幾何概型、統計案例；另一方面關注增加的內容，如有限樣本空間、百分位數、全概率公式；另外還要關注弱化的內容，如計數原理等。

從表述變化上研究，一方面要關注術語名稱的變化，如伯努利試驗以前叫獨立重復試驗，樣本決定系數以前叫相關指數，因變量或響應變量以前叫預報變量，經驗回歸直線、經驗回歸方程以前分別叫回歸直線、回歸方程，等等；另一方面要關注表達的變化，如獨立性檢驗的表達有所不同：與以往表述相比，增加了第一個步驟，即要提出零假設“H0∶X和Y相互獨立”。

（四）關注問題情境，彰顯育人功能

《高考政策與命題解讀（2023）》指出：以“三線（核心價值金線、能力素養銀線、情境載體串聯線）”為框架，“無情境，不命題”是指緊密結合社會熱點問題、經濟社會發展成就、科學技術進步、生產生活實際等創設真實情境，命題材料豐富，情境多元，情境的新穎性、靈活性、探究性和開放性得到進一步加強。

教師在復習備考中要重視問題情境的創新。一方面，結合實際生活創設情境，引導學生尋找生活中的這些現象，并嘗試用概率統計的知識來解釋和理解，如天氣預報、體育比賽等。另一方面也可以引入歷史上的經典案例——歷史上有很多與概率統計相關的經典案例，如蒙特卡羅方法、蒲豐投針等。第三方面，還要注重創新問題形式，除了傳統的計算題，教師可以設計一些開放性問題，如分析一個隨機現象、設計一個實驗等，培養學生的創新思維和應用能力。學生在情境中解決問題，發展數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算等素養，彰顯數學教學的育人功能。

（五）關注教材題目，注重回歸教材

高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”構成，其中“一核”包含“立德樹人、服務選才、引導教學”。2023年高考概率與統計試題體現命題源于教材而又高于教材的特點，如新課標Ⅱ卷第12題來源于人教版數學教材選擇性必修第三冊第51頁例6，新課標Ⅱ卷第19題（1）問來源于人教版數學教材必修第二冊第204頁探究及第206頁百分位數的計算、（2）問來源于人教版數學教材必修第一冊第93頁例1及第94頁例2分段函數的值域與最值問題、全國甲卷理科第19題來源于人教版數學教材選擇性必修第三冊第79頁例6等，這些高考真題很好地詮釋了教材的重要性。在備考過程中，教師要注重對教材例題、習題的探究和利用，引導學生做到吃透教材、用活教材、回歸教材。

參考文獻

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［3］代欽，王光明，吳立寶.新版課程標準解析與教學指導 高中數學［M］.北京：北京師范大學出版社，2021.

［4］中國高考報告學術委員會.高考政策與命題解讀（2023）［M］.北京：現代教育出版社，2022.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者簡介：謝松興（1981— ），本科，高級教師，主要研究方向為高中數學教學及高考數學備考。

（責編 劉小瑗）