夯實基礎 重視教材 滲透思想

【摘要】本文聚焦2023年高考數學新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷以及全國甲、乙卷理科卷中的圓錐曲線試題，認為這些試題以定義性質為落腳點考查知識的基礎性、以經典問題為載體考查知識的綜合性、以思想方法為指引考查知識的創新性，提出夯實基礎、重視教材以及在典例講解中滲透數學思想方法等備考建議。

【關鍵詞】圓錐曲線 試題分析 備考建議 高考 高中數學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）35-0069-04

《中國高考評價體系》提出的“一核”“四層”“四翼”分別闡述了為什么考、考什么以及怎么考等問題，其中“四翼”強調的基礎性、綜合性、應用性、創新性更是高考復習備考的重要引導。圓錐曲線問題是高中數學教學中的重點和難點，也是高考考查“四翼”的重要載體，尤其是在基礎性、綜合性和創新性的考查上有突出作用。

筆者分析整理2023年新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷以及全國甲、乙卷理科卷的圓錐曲線考查內容如表1所示。從考查題型和分值上看，這四套試卷全都設置了3道題，包含2道選擇填空題以及1道解答題，分值共22分，約占總分值的14.67%；從考查內容上看，圓錐曲線中的橢圓、雙曲線及拋物線這三類曲線在每套試卷中全部涉及，并且各占1道題；從考查難度上看，2道選擇填空題都是設置一道較容易的題目和一道中等或較難的題目，而1道解答題都是編排在試卷最后兩道題的位置，難度較大。整體而言，2023年圓錐曲線板塊的題型和內容相對比較穩定，在延續往年基礎性和綜合性的基礎上進行了適當的創新。下面結合具體真題進行評析并提出備考建議。

一、以定義性質為落腳點，考查知識的基礎性

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在闡述課程目標時提到要落實“四基”“四能”，其中“四基”指的是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。高考命題遵循的“一核”中提到高考要“服務選才”，而高考對人才的選拔是多角度、多層次的，既讓具有較強思想性、創新性的拔尖人才脫穎而出，又讓更多具有一般思維能力的考生能夠獲得一定分數。基礎知識和基本技能的考查，往往以基本的定義和性質為落腳點，體現高考試題對基礎性的重視。

例1（全國乙卷理科卷第13題） 已知點A（1，[5]）在拋物線C：y2=2px上，則A到C的準線的距離為" "。

分析：首先利用點在拋物線上，將點坐標代入拋物線方程，即可求出拋物線方程中參數的值，進而利用拋物線的幾何性質求出其準線方程，從而求得點到準線的距離。

解析：由題意可得，因為點A在拋物線C上，所以將點A的坐標代入C的方程可得（[5]）2=2p×1，則2p=5，拋物線的方程為y2=5x，從而得到拋物線的準線方程為x=-[54]，因此點A到C的準線的距離為1-[-54=94]。

【評析】此題考查的基礎知識是拋物線的標準方程和幾何性質，難度屬于容易層次。學生只要掌握拋物線的標準方程以及在確定標準方程后能夠求解準線方程就能解答此題，這部分內容是圓錐曲線知識體系中較為基礎的內容，考查了基礎知識以及數學運算核心素養。

例2（新課標I卷第5題） 設橢圓C1：[x2a2]+y2=1（a＞1），C2：[x24]+y2=1的離心率分別為[e1]，[e2]。若[e2]=[3e1]，則a=（" ）。

A.[233]" B.[2]" C.[3]" D.[6]

分析：首先題中給的橢圓C2是已知確定的，因此可以利用橢圓離心率公式求出C2的離心率[e2]，進而利用題目所給的等量關系求出C1的離心率[e1]，最后再利用橢圓離心率公式求出參數a的值。

解析：由[e2]=[3e1]，為方便計算，將兩邊平方可得[e22=3e21]，即[c22a22=3c21a21]，因此[4-14]=3×[a2-1a2]，而a＞1，解得a=[233]，故選A。

【評析】此題考查的基礎知識是橢圓的標準方程及橢圓的離心率，屬于橢圓的幾何性質，是橢圓知識中最為基礎的部分，難度屬于容易層次。學生只要了解橢圓的標準方程以及離心率的求解公式就能求解，體現高考試題對基礎知識和數學運算素養的考查。

二、以經典問題為載體，考查知識的綜合性

高考試題對知識綜合性的考查，要求學生對同一知識板塊的不同內容融會貫通，能夠將同一學科不同知識板塊的內容交融，甚至交叉運用不同學科知識；強調學生在學習過程中，深入思考和整理知識之間深刻的邏輯關系后，形成知識網絡和知識體系。學生在真正領悟到所學知識的本源和本質后，才能在求解問題的過程中進行自然且靈活的運用。

例1（新課標Ⅰ卷第16題） 已知雙曲線C：[x2a2-y2b2=]1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2。點A在C上，點B在y軸上，[F1A] ⊥[F1B] ，[F2A] =-[23][F2B] ，則C的離心率為" " 。

分析：題中出現了兩個焦點三角形，要考慮從雙曲線的定義出發求解。首先可以通過比例關系設出|AF2|與|BF2|的長度分別為2m，3m，接著利用雙曲線的定義可求出圖中所有線段的長度（含有a，m），于是便可由勾股定理求得a與m的關系，實現用a表示所有長度，最后可利用角A余弦值的兩種不同求法建立齊次等量關系，從而求解出離心率的值。

解析：依題意，設|AF2|=2m，則|BF2|=3m=|BF1|，|AF1|=2a+2m，在Rt△ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，則（a+3m）（a-m）=0，故a=m或a=-3m（舍去），所以|AF1|=4a，|AF2|=2a，|BF2|=|BF1|=3a，則|AB|=5a，故cos∠F1AF2=[|AF1||AB|]=[4a5a]=[45]，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2=[16a2+4a2-4c22×4a×2a]=[45]，整理得5c2=9a2，故e=[ca]=[355]。

【評析】此題考查的內容范圍較廣，涉及圓錐曲線中雙曲線的定義、幾何性質（對稱性、離心率）、向量的線性運算以及三角函數中的余弦定理，是一道綜合性較強的試題，難度屬于困難層次。這道題是一個典型的雙曲線的焦點三角形問題，是圓錐曲線中的經典問題，此類問題除了涉及解析幾何知識，最常見的便是與三角函數及向量進行結合。通過經典問題，將圓錐曲線、向量、三角的知識綜合在一起，充分考查學生對知識融會貫通的能力，對學生數學抽象和數學運算的素養有較高要求。

與上述例1類似的還有2023年全國甲卷理科卷第12題。

例2（全國甲卷理科卷第12題） 設O為坐標原點，F1，F2為橢圓C：[x29+y26=1]的兩個焦點，點P在C上，cos∠F1PF2=[35]，則|OP|=（" ）。

A.[135]" B.[302]" C.[145]" D.[352]

下面再來看一道高考真題。

例3（全國乙卷理科第11題） 設A，B為雙曲線x[2]-[y39]=1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（" ）。

A.（1，1）" B.（-1，2）" C.（1，3）" D.（-1，-4）

分析：本題為雙曲線的中點弦問題，可采用解決圓錐曲線中點弦問題的常用方法“點差法”解決。假設AB中點為M，直線OM的斜率為k，由點差法可得到結論kAB·k=[b2a2]=9，通過將選項中的點坐標代入上述結論從而解得直線AB的斜率，利用點斜式寫出直線AB方程后與雙曲線聯立得到一元二次方程，因為直線與雙曲線交于兩個點，所以可通過判定判別式是否大于0來確定該點是否可能成為AB的中點。

解析：設A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），則AB的中點M[x1+x22，y1+y22]，因為A，B在雙曲線上，則[x21-y219=1x22-y229=1]，兩式相減得（[x21-x22]）-[y21-y229]=0，因為kAB=[y1-y2x1-x2]，k=[y1+y22x1+x22]=[y1+y2x1+x2]，所以kAB·k=[y21-y22x21-x22]=9。

對于選項A：可得k=1，kAB=9，則AB：y=9x-8，聯立方程[y=9x-8x2-y29=1]，消去y得72x2-2×72x+73=0，此時Δ=（-2×72）2-4×72×73=-288＜0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤。

同理可得B，C選項的Δlt;0，而D選項的Δgt;0，故此題選D。

【評析】此題以“雙曲線的中點弦”這個經典問題作為背景，綜合考查了雙曲線的標準方程、代點作差法、直線的斜率公式、中點公式、直線與雙曲線的位置關系等知識點，具有一定的難度。雖然這道題是選擇題的倒數第二題，但是出題人并沒有設置特別大的難度，沒有以一個全新或較為復雜的問題為背景，而是選擇了一個經典的“中點弦”問題，這些經典問題往往是考查綜合性知識以及數學運算素養的優質載體。事實上，此題來源于人教A版數學教材選擇性必修第一冊第128頁，習題3.2的第13題（如圖2所示）。這樣的設計，一方面進一步加強對基礎知識的考查，另一方面引導教學，實現“考”“教”銜接。

三、以思想方法為指引，考查知識的創新性

高考數學試題的創新性體現在很多方面，如在題型上創新、在問題背景上創新、在設問方式上創新以及在求解策略上創新等。創新型問題的設計，旨在充分考查學生對數學問題本質的理解、對數學思想方法的領悟以及數學核心素養的發展情況。在圓錐曲線問題的求解過程中，數學思想方法起到非常重要的指引作用，一般會用到數形結合、分類討論、函數、方程等思想方法。高考在圓錐曲線問題中的創新性考查，就是要求學生能夠充分理解和掌握數學思想方法在圓錐曲線中的應用，并且能夠以數學思想為主導，學會主動發散、舉一反三。

例1（全國甲卷理科第20題） 已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，且|AB|=4[15]。

（1）求p；

（2）設F為C的焦點，M，N為C上兩點，[FM] ·[FN] =0，求△MFN面積的最小值。

分析：易得第（1）問p=2。解答第（2）問時，可先設直線MN解析式為x=my+n，與拋物線方程聯立后可得到關于y的含m，n兩個參數的一元二次方程，接下來利用[FM] ·[FN] =0，結合韋達定理便可建立關于m和n的等量關系。而△MFN的面積也可以利用弦長公式和點到直線距離公式求解，得到關于m和n的二元函數，再利用前面得到的等量關系進行消元得到一元函數，最后結合函數的定義域求解得到最值。

解析：（1）p=2（過程略）。

（2）因為F（1，0），顯然直線MN的斜率不可能為0，設直線MN：x=my+n，M（[x1]，[y1]），N（[x2]，[y2]），由[y2=4xx=my+n]可得，y2-4my-4n=0，所以[y1+][y2=4m，][y1y2]=-4n，記為（*）。Δ=16m2+16n＞0[?]m2+n＞0，因為[FM] ·[FN] =0，所以（[x1]-1）（[x2]-1）+[y1y2]=0，即（m2+1）[y1y2]+m（n-1）（[y1+y2]）+（n-1）2=0。將（*）式代入得4m2=n2-6n+1，4（m2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+[22]或n≤3-[22]。

設點F到直線MN的距離為d，S=[12]×[MN]×d=[12]×[|n-1|1+m2]×[21+m2n-1]=（n-1）2，而n≥3+[22]或n≤3-[22]，所以當n=3-[22]時，△MFN的面積Smin=（2-[22]）2=12-[82]。

【評析】圓錐曲線題中涉及范圍和最值問題時往往具有較強的綜合性和創新性，解答此類題時經常要以函數思想作為指引求解的主體思想，對學生邏輯推理和數學運算素養要求較高。首先，根據題目條件，找到并設出引發全局變化的核心變量（可以是一個或多個），進而利用題目所給條件，將最后所要求的量表達為核心變量的函數。這個函數若是一元的，便可直接借助函數的定義域求出其值域或最值；若該函數是多元的，可利用已知條件得到關于這些元的等量關系，利用方程思想消參為一元函數求解，或利用基本不等式等方法求解。

例2（新課標Ⅱ卷第21題） 已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-[25]，0），離心率為[5]。

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P。證明：點P在定直線上。

分析：第（1）問易得C的方程為[x24-y216]=1。第（2）問需證明點在定直線上，而通過對稱性可以判斷點P一定在某條與x軸垂直的定直線上，于是第（2）問就是證明點P的橫坐標是個定值。此題可以先設出直線MN的橫截式方程，與雙曲線聯立后根據韋達定理得到y的含參表達式，接下來寫出兩條相交直線的方程，聯立后求出點P的橫坐標，再結合韋達定理消參，得到點P的橫坐標是定值。

解析：（1）[x24-y216]=1（過程略）。

（2）由（1）可得A1（-2，0），A2（2，0），設M（[x1]，[y1]），N（[x2]，[y2]），顯然直線的斜率不為0，所以設直線MN的方程為x=my-4，且-[12]＜m＜[12]，與[x24]-[y216]=1聯立可得（4m2-1）y2-32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）＞0，則[y1]+[y2]=[32m4m2-1]，[y1][y2=484m2-1]，直線MA1的方程為y=[y1x1+2]（x+2），直線NA2的方程為y=[y2x2-2]（x-2），聯立直線MA1與直線NA2的方程可得[x+2x-2]=[y2（x1+2）y1（x2-2）]=[my1y2-2（y1+y2）+2y1my1y2-6y1]=-[13]，由[x+2x-2]=[-13]可得x=-1，即xP=-1，由此可得點P在定直線x=-1上運動。

【評析】這道題從字面上看是要證明動點在定直線上，本質就是一個定值問題。圓錐曲線中的定值問題千變萬化，創新性強，對數學關鍵能力和核心素養要求較高，但從高觀點角度看，也是以函數思想作為指引求解的主體思想。這類題與最值和范圍問題相同的是，都要將最終所求量表達為核心變量的函數，不同的是定值問題更加注重對多元函數的消參過程，也就是方程思想的滲透，并且最終得到的必將是一個常函數。

基于上述對2023年部分高考圓錐曲線真題的分析，筆者提出以下三條備考建議。

一是夯實基礎，關注本質。橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程及幾何性質是每年高考必考的考點，因此在圓錐曲線模塊的高考復習備考過程中，一定要注重夯實基礎知識。在高考總復習中，不能忽視對基礎知識產生和發展過程的回顧，也不能通過死記硬背和機械刷題來夯實基礎，而應該關注數學知識的本源，讓學生回顧數學知識產生和推導的過程，真正體會和領悟數學的本質。高考評價體系中的“一核”提到高考要服務選才，國家要選拔的人才絕對不是在“題海戰術”中表現突出的人才，而應是對數學有較為深刻的邏輯分析能力，能夠真正領悟數學本質，具備一定數學學科核心素養的人才。

二是重視教材，“考”“教”結合。市面上有各式各樣的高考復習教輔資料，雖然教輔資料的質量良莠不齊，但是在高三復習備考過程中，教師和學生手頭至少都會有一套高三一輪、二輪復習教輔資料，導致不少師生在備考過程中往往忽視了最重要的一份復習資料——教材。高考評價體系中的“一核”提到，高考要“引導教學”，也就是說，高考命題要引導師生日常教學活動的開展。縱觀近年的高考真題，不論是圓錐曲線板塊試題還是其他板塊試題，都有很多題目來源于教材中的例題或課后習題。這也給師生備考指出了一個非常明確的方向：在復習備考過程中要注重回歸教材、利用教材、深挖教材。

三是滲透思想，融會貫通。圓錐曲線是高中生學習數學過程中普遍感覺難度較大的一個板塊，最主要的原因是這部分知識融合了幾何與代數兩方面的知識，綜合性和創新性較強，對學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養有較高要求。面對圓錐曲線問題的靈活性和多變性，一味地采用“題海戰術”作用不大，因為只要命題稍有變化那些機械刷題的學生便不知從何入手。因此，教師在復習備考過程中應當精講精練，在典型例題中重視滲透數學思想，尤其是數形結合、函數以及方程思想，從更高視點看待圓錐曲線問題，帶領學生找到不同問題之間的共性，實現舉一反三。

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

作者簡介：黃邵華（1984— ），福建邵武人，碩士，高級教師，主要研究方向為高中數學教學和高中數學競賽教學。

（責編 劉小瑗）