立足教材 錨定真題 實現高品質備考

【摘要】本文以《高考評價體系解讀（2023）》為指導，聚焦2023年高考全國甲卷數學文科卷與理科卷中的立體幾何真題，分析立體幾何板塊知識在2023年高考中的考查情況，并給出相應的備考建議。

【關鍵詞】立體幾何 高品質 高考備考

數學本質

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）35-0079-05

參考高考藍皮書《高考評價體系解讀（2023）》中基于高考評價體系的數學科命題解讀，深入分析研究最新數學高考真題，對教師準確把握教學重難點有重要的作用。本文通過分析2023年高考全國甲卷數學文科卷（以下簡稱文科卷）、2023年高考全國甲卷數學理科卷（以下簡稱理科卷）中的立體幾何真題，反思高考題如何考查數學本質、引導教學，旨在促進高效備考。

一、整體分析，明確方向

《高考評價體系解讀（2023）》中特別強調改革考試內容和形式要實現從“考知識”向“考能力素養”轉變，主要包括以下四個方面：一是強化在高考命題中落實立德樹人根本任務，構建全面考查德智體美勞的內容體系；二是突出關鍵能力和核心素養的考查，增強試題的應用性、探究性、開放性，引導學生在獨立思考、解決實際問題中建構知識、強化能力、提升素養；三是加強教考銜接，依據高中課程標準命題，降低機械刷題收益，引導教學回歸課標、回歸課堂；四是加強考試機構命題能力建設，加強對新高考省份選考科目自主命題的指導，組織命題隊伍培訓，開展試題評價，不斷提升命題能力。

比如加強教考銜接方面，體現為幾乎所有的高考題都可以用教材上的知識去解決，絕大部分高考題都能在課本上找到根源。對教材內容的變形、改造及綜合所得的高考題占比非常高。如本文研究的立體幾何專題內容，文科卷、理科卷分別包含了3道立體幾何試題，分值均為22分，占比14.67%。文科卷、理科卷的題型完全一致，均是選擇題、填空題、解答題各1道；文科卷的題號分別是10、16和18，理科卷的題號分別是11、15和18，試題在考卷中所處位置基本一致，體現出該內容在文科卷與理科卷中的考查地位相當；文科卷第10題和理科卷第11題分別是以三棱錐和四棱錐為背景，文科卷第16題和理科卷第15題都是以正方體為背景，文、理科卷的第18題為解答題，都是以斜三棱柱為背景，可見文、理科卷題目的背景基本一致；從題給條件和設問來看，涉及高中立體幾何所學的全部內容，主要圍繞模型中的邊、角、距離、面積、體積、交點等知識點展開。文科卷、理科卷有如此高的相似度，釋放了新高考取消文理分科的信號。

二、聚焦真題，分析考點

（一）回歸教材，重視基礎

立體幾何的考查重視教考銜接，真題大多是教學范例的變形、拓展與延伸。例如文科卷第16題和理科卷第15題的模型來自人教版數學課本選擇性必修第一冊第一章習題1.4第44頁綜合運用的第14題，課本原題如下：如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，M是棱AA1的中點，O是BD1的中點。求證：OM分別與異面直線AA1，BD1垂直，并求OM的長。

理科卷第15題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為CD，A1B1的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為" "。其實EF的長度就是課本習題中所求OM長度的2倍，只是選取了不同的參照線確定點O。

文科卷第16題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是" "。球O半徑的最小值與課本習題所求OM一致。

又如文科卷第18題：如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°。

（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；

（2）設AB=A1B，AA1=2，求四棱錐A1-BB1C1C的高。

理科卷第18題：如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，A1到平面BCC1B1的距離為1。

（1）求證：AC=A1C；

（2）若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值。

這兩道解答題都是以考查三棱柱的基本概念為主，重點考查學生對直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基本知識的理解與應用。無論是理科卷中二面角的計算方法，還是文科卷中四棱錐高的求法，都是考查距離問題，其實質是考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力。

事實上，這些問題在課本中都是反復出現的。例如，人教版數學課本選擇性必修第一冊第一章習題1.4第42頁復習鞏固的第7題求點到面的距離：如圖4，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是OA，BC的中點，連接DE。

（1）計算DE的長；

（2）求點O到平面ABC的距離。

人教版數學課本選擇性必修第一冊第一章習題1.4第43頁復習鞏固的第10題考查了求線面角：如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分別是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中點。

（1）求證：A1C⊥平面EFGHKL；

（2）求DB1與平面EFGHKL所成角的余弦值。

可見，高考命題的基本模型來源于教材，師生必須重視教材，深挖教材的重難點。

（二）考查作圖能力與建模能力

考生需要能夠借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。根據條件畫出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象，分析出圖形中的基本元素及相互關系，對圖形進行分解、組合等都是重要的考查考生作圖能力的內容。數學建模能力是指在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、改進模型的能力，這些能力在解決綜合題中尤其重要。解答立體幾何題時，考生要將文字語言轉化為圖形語言，并配以必要的推理論證過程，然后運用數學方法進行求解。

例如理科卷第18題（題目如上文所述）。已知點面距離A1到平面BCC1B1的距離為1和線線距離直線AA1與BB1距離為2，但在圖中均無相應線段標識。學生需要根據已知在圖中作出點面距離和線線距離。這兩個距離的作法與模型建立方法靈活多樣，但只要能通過作圖畫輔助線建構出對應的基本模型，正確解答此題的可能性就高了很多。如表1所示，是解答理科卷第18題幾種常見的作輔助線的方式。

又如文科卷第10題：在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2，PC=[6]，則該棱錐的體積為（" ）。

A. 1" "B.[3]" "C. 2" "D. 3

三棱錐的體積公式為V=[13S·h]，需找到一個面作為底面并找到這個面上的高。題目并沒有給出圖形，學生需自己畫圖，且棱錐的任何一個面作為底面均不好直接計算其體積，學生需根據圖形分析出取AB中點E，連接PE，CE，建立出一個線面垂直的模型，即AB⊥平面PEC（如圖6所示）。由此將原錐體體積分割成兩個小的三棱錐體積之和，且它們有公共的底面PEC，AB就是兩個小棱錐的高之和。得到此模型之后，求體積便迎刃而解了。

為有效地考查考生的作圖能力與建模能力，高考數學試題會有針對性地設置不同的題型，考生需要在平時的學習中多加練習，掌握相關的基礎知識和技能，并且能夠靈活運用所學知識解決實際問題。

（三）考查數學抽象與空間想象能力

數學抽象與空間想象能力主要是指對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、抽象、思考和創新的能力。立體幾何專題的教學目標非常明確，就是通過高中立體幾何的學習，學生能夠將生活中的物體形態抽象為空間幾何圖形，并能借助所學的知識想象出給定立體圖形的實體形態，用符號或數學式將實體形態中的幾何元素如長度、角度、位置關系、面積、體積等表達出來，正確解答題目，從而提升學生解決生活問題的能力。

高考真題一般只是簡單描述模型及問題，對學生的數學抽象能力和空間想象能力都提出了非常高的要求。比如理科卷第11題：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，則△PBC的面積為（" ）。

A.[22]" B.[32]" C.[42]" D.[52]

題目的圖形為底面是正方形的四棱錐，并不是正四棱錐，但給出了其中兩條側棱相等且給出了具體長度。解決本題的辦法之一是通過證明全等三角形依次證得△PDO[?]△PCO，△PDB[?]△PCA，從而得到PA=PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=[17]，從而求得PB=[17]，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解。解答過程需要進行兩次三角形全等的證明，兩次利用余弦定理進行計算，一次是求邊長，一次是求∠PBC的余弦值，為計算面積提供數據。此題所用公式不多，算上面積公式總共才三個，但運算量并不小，對學生理解和靈活運用基本知識的要求很高。解決本題的第二個方法是用平面向量的基本運算來求解。計算PA=[17]的方法與方法一相同，但計算PB的長度，可根據已知條件結合PO為△PAC，△PBD的共同中位線，利用[PO] =[12]（[PA] +[PC] ）=[12]（[PB] +[PD] ）進行求解，最終求得三角形的面積。

理科卷第15題（如上文所述）考查球與棱交點問題，跟以往考題將難點設計在球心的確定和半徑長的求解上有很大的區別。本題的球心和直徑學生很容易找出，而且畫得出來、想得明白、看得見。可見出題者有意向新高考靠攏，反常規套路，反機械刷題，推崇基礎知識和基本原理的學習。如果考生能回憶高中對球的定義——半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫作球體，簡稱球。緊緊抓住球的定義，盯著半圓旋轉而來的曲面，結合正方體與球的對稱性，即可發現球心到各棱距離相等，各棱和球面也只有1個交點，從而快速得到以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為12。除此之外，本題面向全體考生，體現了少算多想，突出了對理性思維的考查。由此可見，高考真題重視對基礎知識的考查，但是每一道題都不拘一格，更注重對數學思維的考查，不過萬變不離其宗，抓住數學本質，解決問題便游刃有余。

（四）一題多解，靈活多變

理科卷第18題反套路、反刷題特點顯著。學生對用向量法解立體幾何題非常熟悉，但本題用向量法解題并不是最優解法。一題多解可以讓考生放飛思維的翅膀，實現多角度理解問題、多模型分析問題、多渠道解決問題。

如解答第（1）問思路1：可依據線面垂直推導出線線垂直，然后再由線線垂直推出線面垂直，從而得到面面垂直，即可得到最終求證的線面垂直。而在求解A1C=AC=[2]時，可以通過三個直角三角形△A1OC，△A1OC1，△A1CC1的關系求解得到。

思路2：可以根據直角三角形斜邊上的中線與斜邊的高重合這一關系求解得到A1C=AC=[2]。

思路3：向量法。

解答第（2）問思路1：建立空間直角坐標系求解。

思路2：延長CC1，過點A作AM⊥C1C，交于點M，在Rt△A1OF和Rt△AB1H中求解，可得AB1=[13]，然后利用模型AB1與平面BCC1B1所成角θ的正弦值sinθ=[AMAB1]即可求解。

思路3：過B作BD⊥AA1，交AA1于D，則D為AA1中點，結合Rt△AC1M求出AB1長度為[13]，利用直角三角形模型sinθ=[dAB1]求解得AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值。

思路4：過B1作圖構造直角三角形來表示A1A與B1B的距離為2這一線段，其求解和思路3基本相同。

無論用何種思路、如何構造線段來解答此題，都要求考生有較強的空間想象能力和綜合運用知識解決問題的能力，從而將立體幾何問題轉化為平面幾何問題進行求解，簡化運算過程。換言之，本題的目的是讓考生多想少算，重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力，對服務選才、引導教學都起著積極的作用。

總的看說，2023年高考全國甲卷立體幾何試題主要考查學生對數學本質（如基本概念、定理和公式）的理解和應用能力，更加重視對基礎知識的考查，同時增加了對空間想象能力和思維能力的考查，重視實際應用能力、邏輯推理能力、數學建模和思維深度。

三、2024年高考立體幾何備考建議

（一）重視教材，整體思考

新教材的設計更關注學生的認知結構和成長規律，層次分明、循序漸進、目標明確，有利于學生快速掌握基礎知識和基本方法。認識立體圖形的基本方法共有五大步驟：概念抽象—直觀感知—操作確認—推理論證—度量計算。教材的第一部分就是先通過生活實物抽象出各種立體圖形的形態，讓學生對立體圖形有整體認識，再介紹立體圖形的基本概念和高中重點研究的柱體、錐體、臺體及簡單組合體；第二部分是教學基本圖形的位置關系。教材引導學生從整體到局部，又從一般到特殊，再從局部回到整體，這是非常有效的學習途徑。

備考時教師可從以下幾個方面回歸教材，提高效率。一是充分挖掘課本原題在高考中的價值，認真琢磨課本原題發揮的示范引導作用；二是讓學生把課本上的例題、習題弄懂弄透，反復研究課本已有模型，大膽嘗試創造新的變式題；三是嘗試改變課本題目中的模型，將已知、設問調換位置，即讓已知變所求、所求變已知等進行重組，從而獲得一道新題；四是要求學生畫出知識結構圖，盡量要求學生把所有知識（概念、定理、公式、例題、拓展知識等）按照其內在邏輯梳理一遍，找出各知識點和方法的聯系，形成知識網絡，畫出思維導圖。

教材的編排是尊重學生認知規律的，引導學生研究教材和范例，為學生打造一個從感性認識到理性認識，循序漸進、逐步嚴格的學習過程，才能不斷提升學生發現問題、提出問題、解決問題的能力。

（二）打造高品質課堂，提升能力

學生的認知能力是在探索、研究、交流過程中逐漸發展的。因此，備考需根據學生學習的實際情況，做到任務分層，難度逐級提高。教學中，不僅要關注知識的整體性，還要注重知識的基礎性。高品質復習課堂在重視基礎知識的基礎上，引導學生提出問題及解決方案、分享自己的思考和解法，目的是讓復習課起到鞏固基礎知識和基本方法的作用，同時引導學生進行深度思考，養成探索的習慣，提升研究問題的能力。

高品質課堂的設計可以從以下六個方面進行。一是重視大單元教學的整體性。充分了解所學內容在教材中的地位與意義，有利于學生明確學習方向，弄懂學習的重難點及范例，建好全章思維導圖，熟悉常見模型。二是要探究相關公式與定理的來龍去脈。通過證明、推導公式與定理，發展學生的邏輯思維、逆向思維、轉化思維、類比思維、創新思維。三是重視課本范例與解法探究。在課堂教學過程中，教師應該鼓勵學生大膽參與對教材的再創造，促使學生優化知識結構、深化認識，獲得拓展和探索的成功經驗，提高數學素養。四是加強課堂范例講解。培養學生將推理與論證的過程準確地表達出來的能力，以此增強學生的表達能力，促進學生規范訓練，提升他們對圖形語言、文字語言、數學語言相互轉化的能力。五是總結與歸納。這是高品質課堂不可缺少的環節，可以讓學生理順知識和回顧學習收獲，掌握所學知識與單元內容的相互聯系，對學生構建知識體系幫助非常大。六是作業布置。作業布置要明確不能將刷題當成學生復習和掌握知識的途徑。教師需要精心挑選針對性強的練習題，配備不同層次的任務去滿足不同學生的學習需要，緊密結合當堂課或本章節的重難點知識，提高作業的時效性，這樣學生才會更加重視作業，才能明白作業訓練的目的，他們面對學習任務時才會更主動。

（三）深挖數學本質，有效育人

2023年全國甲卷立體幾何板塊真題清晰地展示了考什么、怎么考，突出了章節內容的主線，特別關注數學本質如核心概念、結論、基本模型、基本方法，以及學生主動探究、共同研討等思維品質。比如學生更習慣運用向量法解答立體幾何中的線線距離問題，但是用常規方法求解2023年全國甲卷中的線線距離問題更便捷。可見題目的情境較為新穎，反押題、反機械刷題、反思維定式效果顯著。在題型方面增加了多選題，實際上增加了題量，體現高考在內容考查上，由傳統的“知識立意、能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”綜合考查轉變，考查的知識點更加全面。而在考查模式上由傳統的“考查內容”一維模式向“考查內容、考查要求、考查載體”三位一體模式轉變。教師深入理解高考的核心功能，準確認識三位一體的模式要求，熟練運用不同類型的試題和情境引導學生備考，才是幫助學生成功應對高考的有效路徑。因此，在日常教學中，教師應該堅持以學生為中心，組織與鼓勵學生開展更多的探索與共研活動，把促進學生理解數學本質作為教學的重點任務，以提升學生數學學科核心素養為目標，培養學生在問題面前深挖數學本質、緊抓常規模型進行有效思考的能力，實現多想少算的目標。教師應該在引導學生解決問題的過程上下功夫，讓學生獲得更多直觀的體驗和感受，讓學生主動地思考如何恰當選用數學方法，從而生成更多具有創造性和靈活性的方案，以此實現培養學生的關鍵能力、提升學生的綜合素養、落實立德樹人根本任務目標。

參考文獻

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［3］唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問題鏈教學［J］.教育發展研究，2020（4）.

注：本文系南寧市教育科學“品質課堂”建設專項課題“三新背景下高中數學品質課堂的探索與實踐”（2022PZKT003）的研究成果。

作者簡介：譚成（1981— ），廣西岑溪人，本科，高級教師，主要研究方向為高中數學課堂教學研究與改革、高考真題解題研究。