分類討論思想在初中數學解題教學中的運用

【摘要】數學思想是在漫長的數學發展史中演變與淬煉而來的，是思維智慧的結晶.分類討論思想作為重要的數學思想之一，在數學解題中運用廣泛且行之有效，有利于培養學生思維的系統性和全面性，在助力學生掌握解題技巧的同時提供最優質的解題方案，但當下學生在分類討論思想解題中還存在不足.基于此，文章從概念、意義及解題步驟三方面闡述了分類討論思想的相關要點，并立足實際解題中的不足，結合經典例題提出了分類討論思想在解題教學中的應用策略.

【關鍵詞】分類討論思想；初中數學；解題教學；運用策略

引 言

在新課標及改革理念的推動下，以培養全面發展的人才為教育目標，初中教學應與時俱進，更加注重培養學生的思維能力、綜合素質及學科素養.數學作為一門培養和鍛煉學生思維能力的主要科目，在教育教學過程中始終貫徹落實新教育理念.從北師大版教材的編排、教學目標、知識結構及側重點來看，解題教學在數學課堂中發揮著獨特的教學作用，如分類討論思想是數學解題中的重要思想之一，對完善學生的知識體系、優化學生的解題策略、培養學生的邏輯思維等都有促進作用.分類討論思想能打破學生思維的局限性，綜合運用其所學的知識，全方位、多角度、多層次地思考問題，并在完善解題過程的同時提升學生的編排布局及語言組織能力.

一、初中數學教學中有關分類討論思想的概述

（一）分類討論思想的概念

分類討論思想是指解答數學題時，因問題的復雜性與數學的自身規律，問題情形并非唯一的，或者當所面對的問題不能進行整體統一的研究時，則需根據數學的本質屬性及問題的規律特征進行分類討論和研究，分析所有符合要求的情況，這種邏輯思維解決方法就是分類討論思想，其最主要的本質就是“化整為零，積零為整”的解題策略.

（二）分類討論思想的意義

分類討論思想在中學數學中是歷年考試的側重點，主要考查學生對于知識點的分析能力和解題思路技巧.分類討論思想不僅能將數學問題“去繁就簡”，還有利于培養思維能力的條理性和縝密性.從北師大版的教材內容及出題模式來看，分類討論思想廣泛運用于各種類型的題目中，如絕對值、不等式、方程、函數、幾何問題等，貫穿整個初中數學的學習.通過分類討論思想的解題訓練，學生可以提升對數學當中分類方法、一題多解、發散思維的掌握程度及對知識結構的認知能力.分類討論存在多種可能性，教師可以在教學中利用小組合作探究學習的方式充分發揮分類討論的作用，為學生營造一種合作交流積極應變的學習氛圍.因此，分類討論思想可以有效地培養學生的思維靈活性，在初中數學解題應用中具有非常重要的作用和意義.

（三）分類討論思想解題要點及步驟

分類討論思想追求解題思維的邏輯性及解題答案的完善性，因此對學生的信息處理能力和知識綜合應用能力有一定的要求，在實際解題中也遵循一定的規律和步驟，具體如下.首先，仔細審題，明確題目所考知識點，判斷是否需要分類討論；其次，明確范圍，即討論的范疇是在某一特定區間的，超出這一區間的答案要舍去；再次，列舉要點，根據討論的范疇及方向列舉所有可能的結果，做到不重復、不遺漏，并結合解題實際進行答案取舍；最后，歸納總結，小題寫出所有答案，大題綜上所述呈現出答案的整體與完善.作為一種重要的數學思想，分類討論思想的培養并非一朝一夕之功，需在日常學習中嘗試探索、突破完善，在日積月累的學習中日漸精進，以分類討論作為拓展思維廣度、提升解題技巧的金鑰匙.

二、當前初中數學分類討論思想解題存在的不足

當前學生對于數學解題中分類討論思想的運用主要存在三方面的不足.其一思維定式，缺乏分類討論的意識.不同于小學數學答案的單一性，初中數學融入了分類討論的思想，答案具有多樣性.從小學到初中的過渡，學生的思維意識并未同步提升，思考問題還是單一化，答案不夠全面，這也是初中數學難考滿分的原因之一.其二邏輯性欠缺，分類討論的方向及步驟不完善.有的題目明確知道是要分類討論，但基于討論的方向不明確，會出現范圍覆蓋重合或是部分缺失的情況，即答案會有重復或者遺漏.同時，部分學生做分類討論的小題沒問題，但是到大題環節不懂得合理編排布局，造成書寫過程混亂.其三忽略前提條件，不能有效進行答案取舍.分類討論是將所有可能性分割成部分進行闡明求解，每一個子項都應互不相容且互相排斥，即每部分都有一定的區間與范圍，其對應的答案也必須符合其前提條件.而學生若忽略此條件則不符要求，造成答案多余，對于學生解題而言則是費時費力，吃力不討好.

三、初中數學解題教學中分類討論思想的應用策略

（一）打破思維定式，樹立分類討論意識

分類討論思想在初中數學解題的應用非常廣泛.但從實際解題情況來看，學生的思維意識并未牢固樹立，類似于去絕對值符號、求平方根、數軸上的動點問題、函數與方程的方案選擇問題等，基于知識的內涵要義、平時的解題訓練及實際生活的參考與結合，學生會強化對此類題目分類討論的意識，形成一種條件反射式，即先討論再解題.而一些函數圖像、幾何圖形中的隱藏的分類要點難以識別，或是思維定式，默認題目中的情況只有常見的一種從而忽略了其他可能性.因此，在解題過程中教師應為學生牢固樹立分類討論的意識，讓學生保持頭腦清醒，思維清晰且全面，逐步找出題目的多種可能性.

（1）當圓心O在AB，CD之間時，如圖1，MN=OM+ON=7cm；（2）當圓心O在AB，CD同側時，如圖2，MN=ON-OM=1cm.綜上所述，AB與CD之間的距離為7cm或1cm.

本題通過應用分類討論思想，全面考慮了圖形情況，從而得到準確且完善的答案.

（二）串聯知識要點，明確分類討論方向

在動點問題中涉及分類討論思想是常考的要點，也是一大難點，要想成功突破此類題型則需串聯起相關的知識要點并綜合調動解題方法，如數形結合法、換元法、方程思想等明確討論的方向，打開成功解題的大門.分類思想是以概念的劃分為基礎的思想方法，因此，不同題目立足的知識點不同則要求學生能熟練運用所學知識，并且融會貫通地進行知識遷移，為建構知識的系統性及提升學生的綜合素質做鋪墊.以下題為例，闡明如何串聯知識要點以精準鎖定分類討論的方向，進而有效解鎖解題成功的第一步.

不同于例1中的討論意識薄弱，此題在解題時已明確知道需分類討論，并且從答案選項的設置來看，情況也不止一種，但從什么方向進行討論才能保證答案的不重不漏是解題的難點與障礙.這類題側重于考查學生思考問題的方向和角度，部分學生在解題時經常出現答案不全有漏掉的情況，其癥結在于分類討論的方向不明確，此時可借助數形結合思想來規劃討論方向.

借助數形結合來作圖直觀簡潔，立足于等腰三角形的要素及性質使討論更加全面，并且畫圓涵蓋了所有情況.由此，討論方向作為解題題眼，既是成功解題的關鍵點，也是突破口.

（三）梳理思考過程，完善分類討論步驟

分類討論要明確討論方向，具備一定的思維邏輯性，還要梳理思考過程，達到解題步驟的系統完整性，這也是很多學生在解決分類討論大題時容易丟分的原因.因此，教師在解題教學過程中應側重加強分類討論過程的全面系統性及對解題步驟的優化完善，從日常的解題訓練中引導學生梳理解題脈絡，完善解題過程，從而增強對數學題目的整體解決能力，進一步拓展數學學習思維及方法.

這是一道有關化簡絕對值求解的題目，并且是以字母的形式呈現的.學生也能明確此題需要分類討論.不同于以上應用策略（一）（二）的小題，作為一道大題，不僅要明確討論方向，還要能完整書寫解題過程，這對于剛升上初中的學生來說存在一定的難度與障礙.基于此，教師針對此類題目的講練應著重解題步驟的梳理及書寫，從初中伊始培養與鍛煉分類討論思想的應用能力.

完善的解題步驟如下：由題意可知a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數、另外兩個為負數.

這兩道變式與例題比較類似，解題思路也比較相通，因此著重點在于梳理解題過程，既要厘清討論方向，做到不重不漏，又要條分縷析，臻求完善極致.

（四）結合前提條件，有效進行答案取舍

分類討論思想以一定的取值范圍為前提條件，在匯總解題答案時需有效進行驗證，這也是分類討論思想思維完備性的重要體現.鑒于此，教師應在平時的解題訓練中多加強調，學生也應在日常的習題練習中多加鞏固，養成自主驗證答案并有效取舍的解題習慣，于細節處完善解題及學習能力.

在情況（1）中若忽視前提條件，沒有進行答案取舍，則會出現多余的答案，對于填空題而言，有一個錯誤答案即為0分，此時學生的解題則前功盡棄、功虧一簣，其思考與計算的付出也將付諸東流.

由此可見，分類討論的整個過程是嚴謹且完備的，即使前期的討論方向及中期的書寫過程都沒問題，也有可能在后期的答案取舍環節出現紕漏、功敗垂成，若想完全解對此類題目，每一步都不可掉以輕心.

結 語

總之，分類討論思想作為一種重要且有效的數學思想，秉承“先由合到分，再由分到合”的解題理念，能夠克服數學思維的片面性，使復雜的數學問題得到嚴謹、完整、清晰的解答，同時提升學生嚴謹周密的思維能力及全面系統的解題能力.因此，在具體的教學實踐中，教師應著重解讀分類討論思想，以經典例題為出發點探索分類討論的解題規律及原則要義，串聯起相關知識，幫助學生構建全面系統的知識體系，在“講”與“練”的共同作用下培養學生的解題技巧和思維能力，助力學生深刻掌握分類討論思想的理論基礎及解題步驟，為學生的數學學習及全面發展奠定堅實基礎.

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