考慮輪胎非線性特性的分段線性化處理

張文靜，張麗萍

（遼寧工業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，遼寧 錦州 121000）

隨著近代工業(yè)的快速發(fā)展，四輪轉(zhuǎn)向（Four Wheel Steering, 4WS）汽車的操縱穩(wěn)定性研究愈發(fā)深入。朱亞偉等[1]通過仿真研究發(fā)現(xiàn)4WS 汽車相對于前輪轉(zhuǎn)向汽車提升了汽車的操縱穩(wěn)定性。張庭芳等[2]針對線控轉(zhuǎn)向車輛的操縱穩(wěn)定性問題提出了改進型的滑膜變控制策略，有效提高了汽車的操縱穩(wěn)定性能。然而，考慮輪胎的非線性特性是極限工況下研究四輪轉(zhuǎn)向汽車能否發(fā)揮其操縱穩(wěn)定性非常重要的一環(huán)[3]。WANG 等[4]通過考慮控制輸入和輪胎非線性，建立了4WS 路徑跟蹤T-S模糊模型，以提高汽車的操縱穩(wěn)定性。

根據(jù)研究經(jīng)驗，如果用線性控制理論直接處理輪胎模型的非線性表達式是很困難的，并且也很難在車輛上進行應(yīng)用。因此，本文采用“魔術(shù)公式”輪胎模型，從考慮輪胎的側(cè)偏特性入手，將輪胎的側(cè)偏特性進行了分段線性化處理，獲得擬合后的分段線性輪胎模型公式，通過權(quán)函數(shù)將兩段輪胎模型公式聯(lián)立起來。所得結(jié)果通過MATLAB/ Simulink 進行驗證。這樣輪胎的非線性特性問題既得到解決，又減少計算量，使后續(xù)研究4WS 汽車的操縱穩(wěn)定性更加合理。

1 魔術(shù)公式輪胎模型建立與分析

1.1 4WS 汽車二自由度動力學(xué)模型的建立

研究表明，二自由度動力學(xué)模型是研究汽車操縱穩(wěn)定性的基本模型，其在線性范圍內(nèi)的精度可以反映大多數(shù)日常駕駛條件下車輛操縱穩(wěn)定性的基本特征，即橫向加速度小、方向盤轉(zhuǎn)角小以及行駛速度正常等特征。二自由度車輛模型的轉(zhuǎn)向原理如圖1 所示。

圖1 4WS 汽車二自由度動力學(xué)模型

根據(jù)圖1 可以列出4WS 汽車二自由度動力學(xué)方程：

式中，β為側(cè)偏角；m為汽車的質(zhì)量；Iz為汽車繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；u為行駛速度；a、b分別為前后軸至質(zhì)心的水平距離；δ1、δ2分別為前后輪的轉(zhuǎn)向角；k1、k2分別為前后輪的側(cè)偏剛度；Fy為y方向的合力；Mz為z方向上的合力力矩；ωr為橫擺角速度。

為了使后續(xù)建模方便，將式（1）整理成狀態(tài)方程的形式。其中狀態(tài)變量為X=[β ωr]T，輸入向量為U=[δ1δ2]T，系統(tǒng)輸出向量為Y=[βωray]T。假設(shè)汽車勻速行駛，狀態(tài)方程可表示為

整車相關(guān)參考系數(shù)如表1 所示。

表1 相關(guān)車輛模型參數(shù)表

1.2 輪胎側(cè)偏特性分析

1.2.1 “魔術(shù)公式”輪胎模型

在不同的輪胎模型中，“魔術(shù)公式”模型可以用同一個公式來表示輪胎的不同力學(xué)性能，具有擬合精度高的優(yōu)點。圖2 為輪胎受力分析圖。

圖2 輪胎受力分析圖

對輪胎進行受力分析，其中，α為側(cè)偏角；Fx為縱向力；Fy為側(cè)向力。

輪胎的縱向力和側(cè)向力用魔術(shù)公式表達為

式中，By為剛度因子；Cy為形狀因子；Dy為峰值因子；Ey為曲率因子；αy為側(cè)偏角自變量；α為輪胎偏角；Svy為垂直漂移；Gys為比例因子；Svys為滑動率引起的偏移。

輪胎的側(cè)向力學(xué)特性曲線可以在MATLAB 中搭建輪胎的側(cè)向力學(xué)模型得到，所得曲線如圖3所示。

圖3 魔術(shù)公式輪胎模型側(cè)向力學(xué)特性曲線

由圖3 可知，輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系有線性和非線性兩種，且呈線性關(guān)系的范圍很窄，基本在-3°～3° 以內(nèi)。當側(cè)偏角小于-3° 或大于3°時，側(cè)向力增長的速度逐漸變緩，直到穩(wěn)定在某一定值上。此時，輪胎的側(cè)向力學(xué)特性基本不會再改變[5-6]。

1.2.2 魔術(shù)公式輪胎模型的分段線性化處理

根據(jù)輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系，為了更好地處理輪胎側(cè)偏特性曲線，將輪胎側(cè)偏特性曲線分為兩段區(qū)域，即線性區(qū)域和非線性區(qū)域[7]，并將區(qū)域分界線即為α=3°，如圖4 及表2 所示。

圖4 輪胎側(cè)向力特性曲線及分區(qū)

表2 側(cè)偏特性曲線狀態(tài)表

基于“魔術(shù)公式”輪胎模型，本文選取出作α∈(3°,10°)為離散數(shù)據(jù)點。同時車輛處在輪胎側(cè)偏角大于10°的情況在實際行駛過程中比較少見，所以忽略側(cè)偏角大于10°的非線性區(qū)域。輪胎非線性區(qū)域的側(cè)偏剛度為區(qū)域內(nèi)α∈(3°,10°)計算出的側(cè)偏剛度。

對非線性區(qū)域的輪胎側(cè)偏剛度擬合計算采用最小二乘法。求一組待定系數(shù)的值為最小二乘法的目標，故定義為式（4）：

根據(jù)最小二乘法的定義，將分區(qū)后的輪胎側(cè)偏剛度利用MATLAB 進行擬合計算，并得到計算結(jié)果，其中在線性區(qū)域中擬合后的前軸側(cè)偏剛度為k11=-199 80 N/rad，擬合后的后軸側(cè)偏剛度為k21=-18 660 N/rad。而在非線性區(qū)域中擬合后的前軸側(cè)偏剛度為k21=-102 430 N/rad，擬合后的后軸側(cè)偏剛度為k22=-81 808 N/rad。

由式（2）可知，汽車系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的控制結(jié)構(gòu)矩陣均取決于前后軸側(cè)偏剛度的值。那么在輪胎的線性區(qū)域，此時的側(cè)偏剛度等于前后軸在線性區(qū)域擬合后的側(cè)偏剛度，則此時系統(tǒng)微分方程為

在非輪胎線性區(qū)域內(nèi)，此時的側(cè)偏剛度等于非線性區(qū)域擬合后的前后軸側(cè)偏剛度，則此時系統(tǒng)微分方程為

引入跟隨輪胎側(cè)偏角變化的權(quán)函數(shù)從而將式（5）、式（6）所表述的二自由度車輛動力學(xué)模型聯(lián)立[3]，定義如下：

式中，ω1為輪胎線性區(qū)的權(quán)函數(shù)；ω2為輪胎非線性區(qū)的權(quán)函數(shù)；兩個權(quán)函數(shù)可以用圖5 表示。取α1=2°，α1=8°，αt取前后輪胎側(cè)偏角平均值。

圖5 權(quán)函數(shù)隨輪胎側(cè)偏角變化的曲線

當輪胎側(cè)偏角大于0°時，在輪胎側(cè)偏角變化整個區(qū)域，輪胎側(cè)偏力的表達式可以列為線性區(qū)和非線性區(qū)的輪胎側(cè)偏剛度和權(quán)函數(shù)之和，即

式中，F(xiàn)y為輪胎側(cè)偏力；αi(i=r, f)為前后輪胎側(cè)偏角；αf1為分段線性選取的分界點。將線性區(qū)域微分方程和非線性區(qū)域微分方程聯(lián)立可得

1.3 仿真驗證

為了驗證選取的權(quán)函數(shù)是否合理，對單胎載荷3 kN、5 kN 和7 kN 的側(cè)偏剛度變化曲線與魔術(shù)輪胎公式側(cè)偏剛度曲線進行對比分析[8]，仿真結(jié)果如圖 6—圖8 所示。

圖6 單胎載荷3 kN 的分段線性模型側(cè)偏特性與魔術(shù)輪胎式模型側(cè)偏特性對比曲線

圖7 單胎載荷5 kN 的分段線性模型側(cè)偏特性與魔術(shù)輪胎式模型側(cè)偏特性對比曲線

圖8 單胎載荷7 kN 的分段線性模型側(cè)偏特性與魔術(shù)輪胎式模型側(cè)偏特性對比曲線

從圖上可以看出輪胎側(cè)偏角在10°以內(nèi)，由權(quán)函數(shù)加權(quán)后的側(cè)偏剛度曲線與魔術(shù)輪胎公式的側(cè)偏剛度曲線變化趨勢基本一致，表明對輪胎側(cè)偏剛度曲線劃分線性和非線性區(qū)域并由此引入權(quán)函數(shù)進行加權(quán)分析是比較合理的。

2 結(jié)論

以上針對汽車輪胎車側(cè)偏特性的特點，建立分段線性的輪胎模型，由于分段線性輪胎模型與魔術(shù)公式輪胎模型非常接近，且分段線性輪胎模型需要的參數(shù)卻很少，通過建立分段線性輪胎模型有效降低了輪胎模型的復(fù)雜程度，減少了計算量。且汽車輪胎側(cè)偏角大于10°的實際行駛情況比較少，即使存在這種情況，在一定程度上也能夠很好地表達輪胎側(cè)偏力的變化。因此，該模型的建立更加接近車輛的實際使用情況，在汽車穩(wěn)定性控制中具有一定的應(yīng)用價值。