“省”，也是一種創新！
——特級教師蔣守成《省刻度尺》教學片斷賞析

文|劉 留

特級教師蔣守成執教的《省刻度尺》一課是對人教版四年級上冊“數學廣角—優化”內容的拓展延伸，旨在豐富學生數學學習的內容，形成統籌優化的思想方法。在教學過程中，先從常見的刻度尺談起，再逐一省略掉某些刻度，要求依然保持刻度尺完整的測量功能，隨后通過開展系列探究活動引導學生對“省刻度尺”進行認知辨析和自主設計，最終體會到“省”是一門學問，更是一種創新。一方面，“省刻度尺”注重幫助學生建構知識之間的橋梁，聚焦主題從零散走向整體，學會系統化、結構化地思考問題；另一方面，它還注重數學學習與現實生活的良性互動，引導學生主動運用數學原理解釋生活現象，不斷獲得新見解、拓展新思路、提出新問題，實現創新意識和應用意識的自然生長。

片斷一：打破常規，換一種方式思考

師：同學們，今天的數學研究要從一把5cm 長的直尺說起，如果想量出3cm 的長度，可以怎么量？

生：可以從0 刻度量到3cm 處。

師：現在讓我們省去了直尺上的刻度“3”，但是仍然要一下子量出3cm，該怎么辦呢？

生：可以先量出5cm，再減去2cm，剩下的線段長度就是3cm 了。

生：不行！這樣一來就不是一下子量出來的，而是量了兩次。我們可以從刻度“2”開始量，到刻度“5”的長度就是3cm。（如圖1）

生：還可以從刻度“1”開始，量到刻度“4”就是3cm 長。（如圖1）

圖1

師：大家聰明極了！這兩種方法都不是從“0”刻度開始量，卻都能量出3cm 長。看來，我們在測量物體的長度時可以從刻度“0”量起，也可以從刻度“1”、刻度“2”……開始量起。如果省去這把直尺上的刻度“2”，還能量出2cm 長嗎？其他長度呢？

生：可以！刻度“1”到刻度“3”的長度就是2cm。

生：還可以是刻度“3”到刻度“5”。（多數學生點頭表示贊同）

生：用這把尺子還可以量出“1cm”“3cm”“4cm”和“5cm”的長度。

師：原來省去了刻度“2”，依然可以量出所有的整厘米數。大膽地猜想，如果同時省去了刻度“2”和刻度“4”，還能量出哪些長度呢？如果省去三個刻度呢？請有序地寫在《作業單1》上。（如圖2）

圖2

生：刻度“0”到刻度“1”的長度是1cm；刻度“3”到刻度“5”的長度是2cm；刻度“0”到刻度“3”的長度是3cm；刻度“1”到刻度“5”的長度是4cm；刻度“0”到刻度“5”的長度是5cm，所有的長度都能量出來。

師：說得很完整。

生：如果刻度尺上再省去3cm 這個刻度就不能量出1cm 到5cm 所有的長度了，只能量出1cm、4cm 和5cm。

【賞析：打破常規，建立聯系，在“破”與“立”的交織過程中激活學生的數學知識。一般來說，學生在用刻度尺測量物體的長度時，會習慣性地將物體一端與“0”刻度線對齊，另一端對準刻度幾，那么物體長度就是幾厘米。有時候熟練的操作方式也會羈絆學生的思維步伐，蔣老師抓住這一點設計出本節課，凸顯換一種方式思考的育人價值。當刻度尺上省去了刻度“3”，仍要量出3cm 長，學生開始覺得不自然；當刻度尺上又省去了刻度“2”和“4”甚至是三個刻度，這種不自然的感覺又裹挾著挑戰。學生充分調用所有本領應對這樣的劣構性問題，嘗試新思路、優化原方法，突破常規認知的約束。英國詩人布萊克說，打破常規的道路指向智慧之宮，學生在換一種方式應對挑戰的過程中學會用“測量的最終讀數-測量的起始讀數”的方法量出物體長度，在新舊知識間建立聯系，讓思維更具靈活性。】

片斷二：深入理解，為創新積淀力量

師：到目前為止，我們一共看見了三把刻度尺（指著PPT），你認為哪一把最神奇呢？

生：我覺得第二把最神奇，它省去了兩個刻度依然可以量出1cm 到5cm 所有的長度。

生：同意，第一把尺子只省去了一個刻度，它只能算比較神奇。

師：給這把尺子起個名字吧！

生：神奇的尺子。（學生笑）

生：省刻度尺。

師：告訴大家，這叫“省刻度尺”，在100 多年前，一位英國的數學游戲大師發明了它，想看看嗎？

生：想！（播放視頻，如圖3）

圖3

師：大家聽明白了嗎？什么樣的尺子才能稱為“省刻度尺”？

生：刻度要省得最多，而且要能夠量出所有的刻度。

生：第一把尺子省得太少。而第三把尺子由于省得太多，不能量出所有的刻度，只有第二把尺子省得剛剛好。

【賞析：“省刻度尺”最早由數學游戲大師杜登尼提出，是“以少表示多”的經典問題，蘊含統籌優化的思想方法。在教學片斷中，蔣老師精心設計了三個層次的教學，夯實學生的基礎，為數學創新積聚力量。第一層次，請你判斷哪一把尺子最神奇？學生堅定不移地認為是第二把尺子，因為第一把尺子不夠“省”，還可以再優化；第三把尺子過于“省”，不能量出所有長度，“最優意識”逐漸印在了他們心中。第二層次，請你給這把尺子取個名字。學生脫口而出——“省刻度尺”，可見概念習得是本質理解基礎上自然生長的結果，挪威作家喬斯坦·賈德指出，真正的知識來自內心，而不是別人的傳授。第三層次，觀看“省刻度尺”的由來，拓展學生的認知邊界，豐富學生的數學理解，幫助他們知其然更知其所以然。】

師：看來大家已經知道了什么是“省刻度尺”，也知道了“省刻度尺”的標準是什么。請你說一說這把是不是省刻度尺？（出示圖4）

圖4

下面這把7 厘米長的直尺，0 和7之間只有兩個刻度，想一想它是不是省刻度尺？并說出理由。

生：它不是“省刻度尺”，因為如果要量3cm，2+3=5（cm），要利用刻度“5”，現在尺子上沒有5，所以量不出3cm，它就不是“省刻度尺”。

師：3cm 量不出來，其他的長度呢？

生：1cm 可以用刻度“6”到“7”，2cm 可以用刻度“0”到“2”，4cm 可以用刻度“2”到“6”，5cm 可以用刻度“2”到“7”，6cm 可以用刻度“0”到“6”，7cm 可以用刻度“0”到“7”。

師：現在請你添上一個刻度，讓它成為“省刻度尺”，試試看吧！

生：添上刻度“4”，刻度“4”到刻度“7”的長度就是3cm。

生：還可以添刻度“3”，刻度“0”到刻度“3”的長度也是3cm。

生：還可以添刻度“5”，刻度“2”到刻度“5”的長度也是3cm。

師：大家的思維很敏捷，這把刻度尺的中間還有很多不同的填法，要盡量按順序填才不會亂。（如圖5）

圖5

【賞析：“省刻度尺”適用于自我探究和發現。學生根據自己的理解判斷出含有“0”“2”“6”“7”刻度的直尺不是“省刻度尺”，因為它無法量出3cm 的長度。蔣老師順勢引導學生不妨再添加一個刻度，使得它成為真正的“省刻度尺”。雖然大多數學生找到了部分答案，但是缺乏完整性，蔣老師鼓勵學生按一定順序將所有可能的情況進行列舉，學生體悟到這樣的方法能做到不重復、不遺漏，讓紛繁復雜的可能性變得條理化，思維也趨向結構化，《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“有效的教學活動是學生學和教師教的統一”，教師關鍵性的點撥往往會讓學生的數學理解再上新臺階，達到新高度。】

片斷三：遷移鏈接，培養創新意識

師：難度提升，我們需要創造一把“省刻度尺”，請在0 到6 之間添上最少的刻度，設計成一把省刻度尺，然后把一次能量出的長度有序記錄在《作業單2》上。

生：我原來寫的是刻度“2”“4”和“5”，后來發現刻度“4”是多余的，去掉刻度“4”后仍然可以量出所有的長度。

生：我從添加刻度“1”“2”開始嘗試，按刻度“1”“3”、刻度“1”“4”試下去，發現添加刻度“1”“4”可以變成“省刻度尺”，就寫了上去。

師：蔣老師特別欣賞他說的一個詞“嘗試”，很多時候試著試著就有靈感了。我們在嘗試找所有符合的情況時，要注意有序地思考，做到不重復、不遺漏。

師：我們發現，5cm、6cm 的刻度尺上都只要添加兩個刻度就變成“省刻度尺”；7cm、8cm 的刻度尺上都添加三個刻度就變成“省刻度尺”；9cm 的刻度尺上仍然是添加三個刻度就變成“省刻度尺”。它的背后隱含著什么規律呢？等待大家繼續探索。（出示圖6）

圖6

生：可以用“0°”和“30°”量出30°的角，用“30°”和“80°”量出50°的角，用“10°”和“80°”量出70°的角，用“0°”和“80°”量出80°的角……

師：你瞧！刻度省了，仍然可以量出更多的長度；角度省了，仍然可以量出更多的角度。我們使用的人民幣面值除了有1 元、5 元、10元，還有2 元，將它們組合起來使用就是數學知識在生活中的運用啊！（出示圖7）“省”是一門學問，“省”是一種智慧，“省”讓不可能成為了可能！

圖7

【賞析：從認識“省刻度尺”，到理解“省刻度尺”，再到創造“省刻度尺”，學生慢慢體會到了“省”是一門學問，是一種創新！蔣老師鼓勵學生在0 到6 之間添上最少的刻度，自主設計出一把“省刻度尺”，讓先前埋下的“思維種子”自然生長，學生嘗試按一定的順序尋找答案，剔除無效值，保留有效值，追求完整地解決問題，養成了有序思考的習慣。本節課注重從兩個維度促進學生創新意識的培養，一是知識創新，從“測量長度”向“測量角度”遷移、從數學知識向現實生活跨越，原本孤立的知識不斷聯結拓展，學生的思維更具系統性、結構性，讓課堂再次掀起了思維的浪潮；二是認知創新，在日常生活中，學生常常對于人民幣面值會有這樣的疑惑，為什么人民幣沒有3元、6 元的面值……呢？我相信《省刻度尺》一課已經給了他們答案，讓數學學習接通生活的源泉，也再次鞏固了數學學習，實現彼此的雙向交流。杭州師范大學張華教授說：“我們不做知識的搬運工，要做知識的生產者。教育只有一門學科，那就是完整表現生活。知識的本質是觀念，觀念的本質是實踐，讓知識流向生活很重要。”幫助學生真正學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。】