高中數(shù)學教學中建模思想的應用

李娜

培養(yǎng)學生的建模思想有利于發(fā)展學生的思維，提升學生的數(shù)學能力．但是實現(xiàn)這一目標的前提是教師在教學中能全方位地滲透建模思想，從而保證培養(yǎng)學生的建模思想．本文就此從三個方面入手，分析如何在教學中應用建模思想，提升學生的建模思維．

建模思想是指利用數(shù)學知識構建數(shù)學模型，揭示現(xiàn)實問題的變化規(guī)律并解決現(xiàn)實問題的思維過程．培養(yǎng)學生的建模思想要從意識活動層面入手，通過設計各種問題激活并發(fā)散學生的思維，構建與生活相關聯(lián)的數(shù)學模型，使其將數(shù)學知識應用到生活中．這就意味著教師要在教學中改革設計，優(yōu)化環(huán)節(jié)，創(chuàng)新手段．

１ 教材專題中建模思想的應用

分析高中數(shù)學教材不難發(fā)現(xiàn)，部分章節(jié)的主要內(nèi)容就是模型構建與應用．教師應充分利用這些章節(jié)，滲透模型思想，可以先根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，再對數(shù)學模型進行求解，最后根據(jù)結果解決實際問題．在教學中，教師應利用數(shù)學建模思想指導教學活動的實施與推進，從生活經(jīng)驗出發(fā)，使學生把實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與運用，讓他們理解數(shù)學知識，同時初步形成模型思想，為其觀察和認識世界提供一個良好的數(shù)學依據(jù)，并為他們將來的繼續(xù)學習與深造搭建起一架堅實的階梯．教師還需融入案例，引導學生體驗建模過程，如函數(shù)模型．函數(shù)模型是高中數(shù)學模型的重要組成部分，分為二次函數(shù)模型、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型．比如，在高中數(shù)學人教Ａ 版必修第一冊“函數(shù)的應用（一）”中體現(xiàn)的就是二次函數(shù)模型，該節(jié)課的主要教學目標就是引導學生利用給定的函數(shù)模型或者建立函數(shù)模型來解決實際問題，并使學生在函數(shù)模型的建立、解釋、應用的過程中形成建模思想，并按照以下步驟進行教學．

１．１ 復習回顧

問題一：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的解析式分別是什么？問題二：舉例說明在生活中與其相關的實例．通過復習舊知識并聯(lián)系生活的方法，學生可以提高自身的概括、類比能力，也能意識到函數(shù)模型在生活中的應用價值．

１．２ 構建模型

出示實例，引發(fā)學生思考，遷移函數(shù)知識：假設小李的專項附加扣除金額、其他扣除金額及稅率與教材中同章節(jié)的例８相同．設小李的全年綜合所得收入額為x（單位：元），應繳納個人所得稅稅額為y（單元：元）．（１）求y關于x的函數(shù)解析式；（２）如果小李全年綜合所得從１８９６００ 元增加到２４９６００ 元，那么他應該繳納多少個人所得稅？

模型準備：教師引導學生分析變量之間的關系及代表的實際含義，提問：在該題中共有幾個變量，不同變量代表的實際意義是什么？根據(jù)問題學生很快就能分析出題干共提到了兩個變量．一個是小李的全年綜合所得收入額狓，代表小李全年的未被扣稅前的實際收入．一個是應繳納個人所得稅稅額狔，按照規(guī)定的扣除金額和稅率，小李應當依法繳納的金額．接著，教師指導學生分析教材中的例子，找出有關扣除金額和稅率的信息．例子中，應繳納個稅稅額狔與應納稅所得額狋的關系為

模型求解、構建：教師繼續(xù)追問，已知應繳納個稅稅額y與納稅所得額t的關系式，能否通過自變量替換寫出y關于與x的函數(shù)關系式？當x在什么范圍內(nèi)，可以使y在對應的區(qū)間．

此時，學生就可以根據(jù)所學二次函數(shù)的知識和已知關系式，分析x與t的內(nèi)在聯(lián)系，并進行替換，寫出最終的函數(shù)關系式，完成模型構建．根據(jù)上述關系式能夠得到t＝x－６００００－x（８％＋２％＋１％＋９％）－９６００－５６０＝０．８x－７０１６０.

模型應用：如果小李全年綜合所得從１８９６００ 元增加到２４９６００元，則x＝２４９６００，代入計算可得y＝０．０８×２４９６００－９５３６＝１０４３２，所以小李應該繳納１０４３２元個人所得稅．

這樣按照模型應用步驟設計教學環(huán)節(jié)的方法不僅僅能保證函數(shù)模型的教學更貼合學生的認知規(guī)律，也能進一步加深學生對函數(shù)模型的認識，并使其在求解、構建與應用的過程中形成根深蒂固的建模思想．

２ 日常授課中建模思想的應用

建模思想的培養(yǎng)是一個長期的過程．因此，教師應在高中數(shù)學教學中建立長效機制，久而久之，學生對模型的認知就會從只擁有基本的意識轉(zhuǎn)化為能夠熟練地應用．

高中數(shù)學建模思想涉及的知識點有數(shù)列、向量、立體幾何、函數(shù)、導數(shù)、概率等．教師在以這些知識為載體，融入建模思想時，要注意合理設計教學環(huán)節(jié)，保證建模思想與授課知識銜接的流暢性．以“等差數(shù)列”的教學為例，教師可以設計探究活動，使學生在了解等差數(shù)列的通項公式及其推導方式的過程中，初步感受到建模思想，再通過引入生活實例學會簡單應用．如（１）某劇場前１０排的座位數(shù)分別為５６，５４，５２，５０，４８，４６，４４，４２，４０、３８；（２）在生活中小朋友經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０；（３）２０００ 年，女子舉重正式成為奧運會比賽項目，該項目共設計了七個體重級別，其中四個較輕的級別為４８公斤級、５３公斤級、５８公斤級、６３公斤級，然后讓學生觀察數(shù)列，總結上述三個數(shù)列的共同特征，進而引出等差數(shù)列的概念．接下來，為了引導學生推導等差數(shù)列的通項公式，教師可以繼續(xù)提問：觀察上述三個數(shù)列，每個數(shù)列中前后兩項的差值是否固定？第二項至最后一項是否能夠用第一項及固定差值表示？讓學生根據(jù)問題的答案嘗試推導關系式；之后，教師再進行總結、概括；最后，再出示相關例題，引導學生應用公式解題．這樣設計教學環(huán)節(jié)既能保證學生的學習效率，又能使學生形成建模思想．

３ 習題中建模思想的應用

在習題中融入建模思想既可以幫助學生鞏固基礎知識，又可以提高學生的模型應用能力，還能發(fā)展學生的建模思維，提高解題能力．另外，在設計習題時還可以融入涉及模型思想的知識點，使學生在練習中進一步強化建模思想．

例題：某食品廠成箱包裝食品，每箱２００包．在質(zhì)量檢測時，質(zhì)檢員會先從一箱產(chǎn)品中任意抽?。玻鞍?，然后根據(jù)檢驗結果決定是否再對余下產(chǎn)品進行檢驗．假設每包產(chǎn)品不合格的概率均為p（０＜p＜１），且各包產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（１）記２０包產(chǎn)品中恰有２包不合格品的概率為f（p），求其最大值狆０；（２）在某批次檢測中恰巧發(fā)現(xiàn)２０ 包產(chǎn)品中有２ 包不合格品，若p＝p０，每包產(chǎn)品的檢驗費用為２元，假設有不合格的產(chǎn)品進入用戶手中，則食品廠要支付相應的不合格賠償費用２５元．（ⅰ）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E（X）；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

該習題以產(chǎn)品檢測問題為例，考查了獨立事件、導數(shù)、隨機變量的期望等知識點．學生在分析題目中會關聯(lián)各項知識點，并以實際問題為導向構建數(shù)學模型，完成解題．

針對第（１）問，依據(jù)概率知識可知f（p）的關系表達式為f（p）＝Ｃ２２０＝p２（１－p）１８，對其進行求導并令f′（p）＝０，可計算出p０＝０．１．也就是說f（p）的最大值為０．１．針對（２）中（ⅰ），余下１８０包中不合格產(chǎn)品包數(shù)Y～B（１８０，０．１），則X＝２０×２＋２５Y＝４０＋２５Y，所以E（X）＝E（４０＋２５Y）＝４０＋２５E（Y）＝４９０．針對（ⅱ），假如對余下的所有產(chǎn)品都作檢驗，那么全部檢驗費用為４００元．由于E（X）＝４００，故應對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．

總之，在高中數(shù)學教學中應用建模思想的關鍵是要依據(jù)教材，抓住涉及模型的知識點，合理設計教學活動．

（完）