基于SOLO分類理論的高中數學習題教學及作業設計

劉洋洋

[摘 ?要] SOLO分類理論是一種具有層次性的量的測評與質的考查相結合的評價理論，基于SOLO分類理論，教師可以科學有效地對數學習題進行層次化的課堂講解與課后作業布置，還可以對學生的“學”進行評價.

[關鍵詞] SOLO分類理論;層次化;習題教學;作業設計;數學思維技能水平

高中數學邏輯推理性強、抽象程度高、知識難度大，學生又在認知能力、數學思維技能水平等方面存在差異，對于習題解答往往只是簡單地機械式模仿，并沒有領悟到其中的“門道”，于是常常出現：明明題目的解答思路沒有變化，只是改變了一些條件的位置或數字，學生就不會了.這就需要教師在“劃一性”的教學環境下利用有效的干預措施設計有層次的課堂習題和課后作業，以此加深學生對所學知識的理解、運用，以及滿足不同思維層次水平的學生發展的需求.

SOLO分類理論的基本觀點

SOLO分類理論是澳大利亞教育心理學家約翰·彼格斯（John B.Biggs）和凱文·科利斯（Kevin F.Collis）在皮亞杰發展階段論基礎上建立的一種以等級描述為特征的質性評價理論. 他們認為一個人的總體認知結構是一個純理論性的概念，是不可檢測的，而一個人回答某個問題時所表現出來的思維結構卻是可以檢測的，彼格斯稱其為“可觀察的學習成果”[1].

SOLO分類理論不僅關注學習內容，還根據學習內容的多寡及它們之間的聯系來確定思維層次，同時也關注任務過程，即學生怎樣完成學習任務，使用什么方法、技巧等，體現了過程與內容的良好結合.它是一種用結構特征來描述、解釋學生反應，然后用結構特征來評價、確定某種特定反應的層次模型[2]. 彼格斯等人把學生對某個問題的學習結果由低到高劃分為前結構（U）、單點結構（P）、多點結構（M）、關聯結構（R）和抽象拓展結構（E）五個水平. 對于具體的數學問題，從解決其所需知識點個數及相互聯系的角度出發，根據SOLO分類理論也可以將其劃分為五個結構水平，如表1所示[3].

將數學習題根據SOLO分類理論劃分后，教師不僅可以對數學習題進行層次化的課上講解與課后作業布置，還可以對學生的“學”進行評價，以此了解學生對知識的掌握情況和所處的思維技能水平，進而調整、改變教學策略并開展更有針對性的課后輔導，促進學生數學思維水平的發展.

運用SOLO分類理論對數學習題進行層次化講解

原題 （2020年海南省高考第7題）已知函數f（x）=lg（x²-4x-5）在（a，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（ ?）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞）D. [5，+∞）

此題是2020年海南省高考第7題，考查的是對數函數與二次函數的復合函數的單調性問題，對于高一新生而言直接求其單調性已是難點，此題還引入了參數a，可謂難上加難. 為了讓學生能找到解決此類問題的關鍵點，讓學生更好地理解、掌握解決此類問題的思想方法，教師可以運用SOLO分類理論對該題進行層次化講解，設置合理坡度，推動學生數學思維技能水平的發展.

1. 用關鍵知識點劃分問題，引領學生思考

層次1 請同學們思考并回答以下問題.

【講】

（1）請同學們觀察函數y=lg（x2-4x-5）的解析式，里面包含幾個函數？此函數的單調性與其包含的函數的單調性有關嗎？

（2）你能找到二次函數u=x2-4x-5的對稱軸、最值以及與x軸的交點嗎？

（3）你能畫出二次函數u=x2-4x-5的簡圖，并求出其單調區間嗎？

（4）求函數y=lg（x2-4x-5）的定義域.

（5）求函數y=lg（x2-4x-5）的單調增區間和減區間.

【變】

（6）求函數y=log（x2-4x-5）的單調區間.

（7）求函數y=log（-x2-4x-5）的單調區間.

（8）（2020年海南省高考第7題）已知函數f（x）=lg（x2-4x-5）在（a，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（ ?）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞） D. [5，+∞）

【評】

生：說出解題體驗.

師：在“變”中找“不變”，總結此類問題的求解方法和思想. （見表2）

2. 通過“形”的直觀，找到“數”的聯系，培養學生高階數學思維能力

層次2 圖1、圖2、圖3分別是函數y=x2-2x-3，y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）的圖象，請同學們仔細觀察其圖象并回答下列問題.

【講】

（1）請同學們觀察函數y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）的解析式結構，你有什么發現？

（2）請同學們觀察圖2和圖3，它們有何相同點？與誰有關？是如何得來的？

（3）請同學們將圖1和圖2，圖1和圖3結合在一起觀察其單調性，你能得到什么結論？

（4）根據以上結論，求y=log（x2-2x-3）和y=log（x2-2x-3）等此類函數的單調區間，同學們應分幾步？

【變】

（5）練一練：求函數y=lg（x2-4x-5）的單調區間.

（6）（2020年海南省高考第7題）已知函數f（x）=lg（x2-4x-5）在（a，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（ ?）

A. （2，+∞） B. [2，+∞）

C. （5，+∞） D. [5，+∞）

【評】

生：說出解題體驗.

師：在“變”中找“不變”，總結此類問題的求解方法和思想. （見表3）

將層次1與層次2進行對比不難發現，層次1適用于基礎較薄弱的學生，層次2適用于基礎較好的學生，所以運用SOLO分類理論對習題進行層次講解應從學生掌握的知識基礎出發，通過層層遞進的問題引領學生“觀察—發現—歸納—應用”，讓處在各思維層次的學生都能參與其中，都能有所收獲，以此來推動學生數學思維技能水平的發展.

數學習題不僅要“講”還要“變”和“評”，在“變”中引導學生發現“不變”的本質，鞏固此類問題的求解方法，提升學生的解題能力;在“評”中提煉知識的本質和核心思想，提升學生的數學思維技能水平，使學生從“會一題”向“會一類題”，“學會數學”向“會學數學”轉變，進而實現“教思考、教體驗、教表達”的“三教”教育理念.

運用SOLO分類理論設計課后作業

數學習題除了精講還要練，而練的關鍵是教師要設計好練習題.為了鞏固、檢測學生課上的“學”，提升學生的解題能力，教師可以基于學情，運用SOLO分類理論設計具有梯度性的習題作為課后作業.

運用SOLO分類理論設計課后作業，可以根據解決具體題目所需知識點的個數及相互聯系將其分為四個結構水平：單點結構（P）、多點結構（M）、關聯結構（R）和抽象拓展結構（E）.為了使運用SOLO分類理論設計的課后作業更加科學、合理，應遵循以下幾個原則.

1. “定”——明考點，定方向

每個層次習題的選取應以高中學業質量標準、學生解題能力與數學思維技能水平的提升為宗旨，以鞏固學生課上所學知識、明晰考點和教學目標為指向.

以“對數型復合函數單調性專題”作業為例，應先明確其基本考點，確定其作業選題方向（如圖4所示）.

2. “精”——以少勝多

繁多和煩瑣的練習題會讓學生感到乏味、厭倦，從而使作業實效降低，因此作業題應少而精，有代表性和難易適中.作業題應以單點結構（P）和多點結構（M）為主，題目總數建議不少于6題不多于10題，這樣既能減輕學生的課業負擔又能提高學習效率，既不會讓學生因易而自滿，也不會使學生因難而放棄.

3. “變”——異曲同工

解題不僅與學生的思維技能水平有關，與問題結構和學生對情境的熟悉程度等也息息相關，所以為了避免學生機械式模仿，應積極做到“變”，讓學生在“變”與“不變”之間，準確把握知識的規律、本質，從而提升學生的解題能力和數學思維技能水平.如“對數型復合函數單調性專題”作業，在課上所講內容的基礎上可做如下的“變”：

從“數”的關系找“形”的特征：已知函數f（x）=ln（x2+1），其圖象大致是（ ?）

發散學生的思維，強化學生在解決問題的過程中多角度思考：

已知函數y=lg（g（x））在（0，+∞）上單調遞增，請你寫出一個符合題意條件的函數g（x）=________.

4. “靈”——優化創編，靈活變通

對于知識點單一、內容相對簡單的課后作業，根據SOLO分類理論，其每個結構的作業題比較好選擇. 但對于知識點復雜、內容綜合性強的課后作業，其單點結構（P）和多點結構（M）的作業題較難選擇，甚至沒有，這就需要教師根據課上內容和相關知識點，對現有題目進行優化或改編.

如“對數型復合函數單調性專題”作業的單點結構（P），可圍繞“復合函數概念”和“其單調性判斷方法”來編題：

判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）：

（1）ln（-x）是復合函數.（ ?）

（2）若函數f（g（x））在區間[a，b]上單調遞減，則函數f（x），g（x）在區間[a，b]上都遞減. （ ?）

（3）若函數f（g（x））在區間[a，b]上單調遞增，則函數f（x），g（x）在區間[a，b]上都遞增.（ ?）

（4）函數log（x2+1）的單調性與a的取值有關，若a>1，則其在R上單調遞增. （ ?）

可將“對數函數與二次函數復合”改編為“對數函數與一次函數復合”，降低難度：

函數f（x）=log（3-x）的定義域是__________，其在定義域內單調遞__________;若函數f（x）=ln（ax-2）在（1，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍為__________.

“對數函數與二次函數復合”的單調性問題屬于SOLO分類理論中的關聯結構（R），但因其在課上已經過詳細講解與練習，所以設計課后作業時，可以靈活變通，將“對數函數與二次函數復合”的簡單單調性問題放在多點結構（M）層次，如：

函數f（x）=log（2x-x2）的單調遞增區間為__________，單調遞減區間為__________.

根據以上原則，運用SOLO分類理論，可設計“對數型復合函數單調性專題”作業如圖5所示.

復合函數單調性專題”作業

運用SOLO分類理論進行作業評價

學生的數學解題過程的書寫是“可觀察的學習結果”，過程書寫的條理性和邏輯性更能反映出學生數學思維達到的水平. 由此，可以根據學生解決某個具體問題時所提供和利用的知識以及知識間的聯系，對學生的作業進行評價，分為“U”“M”“R”“E”四個結構水平來代替簡單的分數.

這里要強調兩點，一是SOLO分類理論反映的是學生學習質量而非發展階段，彼格斯提出的“學習周期”概念，就是說學生在數學學習中，SOLO分類理論的五個思維結構水平是不斷反復出現的[4]. 例如學生學習“對數函數”時可能表現出了較高層次的思維結構水平，而學習“對數型復合函數”相關知識時卻出現了困難，思維結構水平拔高很難.所以基于SOLO分類理論的作業評價反饋，可以讓學生清楚地知道自己具體在某章某節處于SOLO中的哪個結構水平，從而認識到自己的不足和明確要努力的方向.教師則可以更加準確地、合理地、科學地對學生每一課時的學習情況進行劃分，進而開展更有針對性的課后輔導[5].

二是SOLO評價理論是質性評價理論，評價的主體又是教師，肯定存在主觀性差異，但評價的目的不是要求其有多準確，而是為了激勵、助推學生思維水平的發展，以及檢測自己的教學效果和審視自己的教學行為.所以教師一定要有鼓勵性、激勵性的評價語句和方法，充分調動學生學習的積極性.

參考文獻：

[1] 約翰·彼格斯（John B.Biggs）和凱文·科利斯（Kevin F.Collis）. 學習質量評價——SOLO分類理論可觀察的學習成果結構[M]高凌飚，張洪巖，譯. 人民教育出版社，2010.

[2] 蔡永紅. SOLO分類理論及其在教學中的應用[J].教師教育研究，2006，18（01）34-40.

[3] 趙瑞，陳婭娟，字敏. 基于SOLO分類理論的2020年全國Ⅲ化學試題分析[J]. 山東化工，2021，50（03）：216-217.

[4] 劉徽. 可觀察的學習結果結構——讀《學習質量評價：SOLO分類理論》[J]. 現代教學，2020（11）：77-79.

[5] 吳有昌，陳燕，等. 提升中學數學教學質量的評價——基于SOLO分類法的研究[M]. 科學出版社，2018.