以“精準活實”教學促“減負增效”學數學

【摘 要】“精準活實”教學是通過教師“四精（精打細算、精挑細選、精耕細作、精益求精）”、學生“兩主（積極主動學、自主選擇學）”，取得“兩活（學習方法活、思維創新活）兩實（學業基礎實、素養提升實）”教學成效。以“精準活實”教學法對2002年高考數學壓軸“剪拼題”進行探究教學，有助于激發學生的學習興趣和學習動力，促進學生深度學習，培養學生實踐能力和解決問題的能力，實現“減負增效學數學”。

【關鍵詞】精準活實；減負增效；創新實踐；教學感悟

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）16-0068-07

【作者簡介】董裕華，江蘇省海安高級中學（江蘇海安，226600）校長，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

江蘇省海安高級中學通過教師“四精”、學生“兩主”，取得“兩活兩實”教學成效，形成“精準活實”教學特色，受到社會關注。2002年高考數學壓軸“剪拼題”歷久彌新，至今仍切合新課改理念。現筆者以該題教學實踐為例，探究如何通過“精準活實”教學，激發知識遷移、激活脈絡關聯、激勵主動創造，促進學生深度學習，更好體現學科育人價值，實現學科減負增效。

2002年全國I卷文科第22題：

（1）給出兩塊面積相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明； （4分+4分）

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小； （4分）

（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明。（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

這道題是整卷的壓軸題，受答卷時間和心理壓力的影響，有些考生未能發揮正常水平。但滿分16分的試題，全國均分只有2.48分，著實讓人匪夷所思。對于第（1）問，只要取三角形三條中位線（如圖4），就可以折成正四面體（如圖5），4分不難取得。學生感覺題目新、沒想到、不適應，而權威部門對本題褒獎有加，認為它具有探索性，蘊含創意、精彩獨特，是為數不多的“對于培養考生的實踐能力和創新意識有重要的意義”的好題，它不僅考查學生的空間想象、動手（拼圖）能力和類比、遷移的思想方法，還著重考查學生的創新能力，體現了“創設問題、提出問題→操作實驗、探索規律→應用、解決問題”的研究性學習方式，有利于培養學生的空間想象能力，充分發揮其主觀能動性和創造性。［1］

筆者多次嘗試讓高一新生完成這道題的第（1）（3）兩問，學生給筆者很多驚喜，也讓筆者思考：我們的課堂到底應該怎樣培養學生的空間想象力、動手操作力、探究創造力？這既是老問題，也是常抓常新的問題。

一、“精準活實教學”的意蘊

“精準活實”是江蘇省海安高級中學在長期的教學實踐中形成的教學特色。我們始終把“怎樣用盡可能‘少帶來盡可能多的‘好”作為研究主題，“減負增效學數學”既是我們的主攻目標，也是我們的實踐成果。

教師“四精”和學生“兩主”，是“精準活實”教學的重要特征，其成果體現在學生的“兩活兩實”。

1.教師 “四精”

（1）精打細算。精心設計教學內容和環節，力求“教—學—評”一致；要求學生完成的練習，教師先試水、篩選，力戒錯題、廢題、無效題。

（2）精挑細選。充分挖掘優秀教學素材的生長、擴展和聯通功能，由題及類、觸類旁通、舉一反三，發展學生觀察、想象、探索和實踐能力。

（3）精耕細作。通過對課堂和作業生態的實時監測和數據分析，既節省教師的時間和精力，又能及時發現學生的薄弱環節，提高教育教學的針對性和有效性。

（4）精益求精。準確把握學習起點，靈活取舍教學內容，突出整體駕馭和精講精練，突出學科素養和能力提升，將因材施教落到實處。“準”以“精”為條件，“精”以“準”為標志，“精”“準”緊密相連，是教學減負增效的基礎。

2.學生“兩主”

（1）積極主動學。課堂上，90%以上的學生積極參與教學全過程，所學內容90%以上能被學生掌握。每節課的這兩個“90%”，就能保證90%以上的學生取得理想成績。盡管這三個“90%”只是教學質量評價的部分指標，但好的教學效果是對課堂教學的基本要求。

（2）自主選擇學。學會選擇是精準教學的基礎。教師要幫助學生弄清自己有什么、要什么，再考慮給什么、怎么給，這是學生自主選擇的保障。學生要學會權衡取舍，把主要精力集中在“跳一跳夠得著”的有典型意義的問題上。

3.學生的“兩活兩實”

減負增效的成效主要體現在學生的“兩活兩實”。

（1）學習方法活。死記硬背和機械刷題容易使思想僵化。學生自主預習、鉆研、歸納總結，自主模擬命題，制訂評分細則，在“不經意間”也能達成教學目標，甚至超出預期。

（2）思維創新活。數學的本質是思維，思維又是創新的基礎。培養思維能力是數學教學的重要任務。對學生而言，無論是問題還是結論，只要是他們發現的，都屬于創新成果。要讓學法活起來，讓思維活起來，就要讓數學真正用起來。“活”是“用”的目的，只有“用”才能“活”。

（3）學業基礎實。沒有扎實的基礎，就難以形成核心競爭力。高考的80%題目考查基礎，難題只有20%。但多數學生在占80%的基礎內容上只用了20%的時間，卻把80%的時間用在20%的難題上，不但做了許多無用功，連本來能得的分數也丟了不少，得不償失。

（4）素養提升實。鼓勵學生有效整合學科知識，運用學科方法，高質量地認識、分析、解決真實情境中的問題，提升能力素養，以適應當前和今后發展的客觀要求。

二、“一道初中生能解的高考數學難題”教學過程［2］

1.激發知識遷移，完成基礎剪拼

教師告知學生正三棱錐和正三棱柱的剪拼要求：正三棱錐由一個正三角形和三個全等的、底邊長等于正三角形的邊長等腰三角形構成（如圖6）；正三棱柱由兩個全等的正三角形和三個全等的、一邊長等于正三角形邊長的矩形構成（如圖7）。

學生從小就進行過“折剪拼”的訓練，絕大多數人拼出如圖4、5的正三棱錐，也有不少人將剪拼正三棱錐的方法遷移到正三棱柱（如圖8），先沿三角形中位線剪出1和2兩個正三角形，將剩下的平行四邊形變成矩形（三角形3移到4的位置），再將矩形分成3個全等的小矩形即可；或者如圖9，先剪出正三角形1，再剪出矩形，剩下的兩個直角三角形2和3拼成和正三角形1全等的三角形。大多數考生是可以做出第（1）問的。

2.激活脈絡關聯，拓展思維空間

教師引導：以前，我們怎樣把矩形剪拼成無蓋的長方體？

學生：只要在四個角都剪去同樣大小的正方形，就可以達成目標。（如圖10）

教師：怎樣剪拼成有蓋的長方體呢？

學生苦思冥想仍不得法。

教師提醒：正三棱柱是怎么剪拼的？能不能參照它的方法？

有學生想到先對折矩形，剪出兩個正方形做底面，剩下部分再對折成四個側面（如圖11），就可以做成有蓋的長方體。

教師追問：你是怎么想到的？

學生：正方形的四條邊都相等，做側面就比較方便，跟剪拼正三棱柱差不多。

教師用模型示意：把無蓋的正三棱柱盒子剪開，平放到桌面上，能不能想象出它的形狀？

學生很快畫出圖12，也知道這個形狀由一個正三角形和三個全等的矩形構成。

教師又追問：這個“禿頭禿腦”的形狀，似乎缺了三個“角”，誰來補上？

學生自然想到了圖13。

教師繼續追問：圖13中，陰影部分小三角形的頂點在大三角形的什么位置？

學生討論后形成一致意見：盡管正三角形的三條高、三條中線、三條角平分線重合，但這里用到的只是角平分線，因為這里的小三角形頂點到大三角形兩邊的距離都相等。學生作出如圖14的示意圖，O點是作為△ABC的內心。

教師再追問：剛剛補上的三個角能不能拼成盒子的蓋子？

學生討論后發現，在圖14中，從O點作△DEF三邊的垂線，只要補上的三個“角”湊起來與△DEF重合，也就是D，E，F分別處在OA，OB，OC的中點時就能滿足要求。

順著這個思路，把一般三角形剪拼成直三棱柱就易如反掌。（如圖15）

弄清整個剪拼的來龍去脈，把握關鍵點，第（3）問也不是高不可攀。

3.激勵主動創造，提升能力素養

教師引導：將一般三角形剪拼成直三棱柱，還有其他方法嗎？

受圖8—圖11的影響，學生通過作中位線，得到兩個全等三角形1、2和一個平行四邊形3。如圖16的難點是把平行四邊形3剪拼成一邊長等于三角形1周長的矩形。

在教師的鼓勵下，學生繼續探究發現：如圖17，在 ABCD中，如果AF（＜AC）的長度等于規定長度，將圖中區域1移到2的位置， ABEF就滿足要求。如果AC的長度還不符合規定，將 ABEF繼續剪拼，經過有限次操作，總能讓其邊長達標。再用圖8中三角形3移到4的方法，將平行四邊形變成矩形。

教師引導：剛才，大家發現了一個重要結論：任何平行四邊形，都可以剪拼成一邊長符合規定的矩形。那么，一般三角形能否剪拼成一邊長等于規定長度的平行四邊形呢？

學生：同樣利用中位線，把圖18中的區域1移到2，區域3移到4，原來的三角形變成了矩形，再用圖17的方法就行了。

教師：如果我們規定的邊長比AB和AD都小，又怎么辦呢？

學生：經過AD中點和BC中點作直線，將 ABCD一分為二。再將其上部拆移到下部的右側。

教師：如果還不符合要求呢？

學生：重復剛才的做法直到滿足條件。

教師繼續引導：如果把三角形換成多邊形，也能變成一邊長等于規定長度的矩形嗎？

學生豁然開朗：通過對角線將多邊形分割成三角形，就可以按照上述方法，將每個三角形都變成規定長度的矩形，如圖19，將區域1、2、3分別變成區域4、5、6，就能實現目標。

教師激勵：剛剛，我們經歷了一個偉大發現的過程——任何兩個面積相等的多邊形都可以通過有限次割補讓它們全等。1833年，匈牙利數學家波爾約證明了這個結論，這個結論也稱為波爾約-格維也納定理。那么，這個結論能不能再推廣到空間，怎么表述呢？

學生：任何兩個體積相等的多面體都可以通過有限次割補的方法讓它們全等。

教師：非常好！你們已經和大數學家具有同樣的思維，真不簡單！這種類比和猜想是創新思維的基礎。1900年，德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家代表會上提出了23個數學問題，其中的第3個就是它。只不過直覺告訴希爾伯特，這個結果不一定正確。也就是說：兩個體積相等的多面體不一定能通過割補的方法讓它們全等。這個結論提出的當年，希爾伯特的學生就給出了證明。由此看來，直覺類比不一定可靠，還得經過嚴格的證明，否則還只是一個猜想。

有學生意外發現和圖11差不多的思路：如圖20，先把一般三角形變成矩形，再將矩形分割出兩個正三角形，剩下部分三等分，就可以做成正三棱柱。

教師再激勵：真沒想到，你們不僅將一般三角形剪拼成直三棱柱，還直接拼成了正三棱柱，同學們真不簡單！我們再思考一個問題。剛才，大家抓住特殊點、特殊線，讓問題變簡便。如果不用中點、中位線，這個問題還能不能解決呢？不妨設正三角形的邊長為2，剪出的小三角形邊長為x（x<1），如圖21、22，又怎么做呢？

學生分組研討發現：

剪拼成一般性的正三棱錐，可以分三步走：第一，把剩下的等腰梯形變成一邊長為1+0.5x的矩形，如圖23；第二，把矩形先變成一邊長為1.5x的平行四邊形，再變回矩形，如圖24；第三，把第二步得到的矩形變成上下底邊長分別為x和2x的等腰梯形，再分割成3個全等的等腰三角形做三棱錐的3個側面。（如圖25）

剪拼成一般性的正三棱柱，只要把圖26的五邊形ABCDE按圖19的方法變成一邊長為x的矩形，問題同樣可以解決。

由此推知，把一般三角形剪拼成正三棱錐和直三棱柱有無數種方法。

教師總結：題目的參考答案只寫了一種情況，我們的同學卻考慮到無數種可能。大家的想象力、操作力、創造力遠超出我們的預期，祝賀大家。大膽猜想、小心求證是創新創造的重要路徑。圖24中也可能遇到1.5x比矩形的兩邊長都小的問題，大家還能不能解決？

學生全體：能！

三、“一道初中生能解的高考數學難題”教學感悟

1.題目本身具有挖潛開發價值

貫穿本節課主線的高考題“面世”20多年仍“風采依舊”，是“經得起考驗”的好題。好題的難度和新穎度都不是最重要的，重要的是題目能否緊扣教學的實際，擊中教學的重點、難點和薄弱點，讓學生做一題、會一類、通一片，不斷豐富和鞏固知識網絡，提高學習能力和素養。從這個意義上講，好題“量不在多，典型就行；題不在難，有思想則靈”。教師要精心挑選教學素材，充分挖掘好題價值，盡可能減少學生的機械重復勞動，減輕學生不必要的學業負擔。

好題從哪里來？教育部考試中心原命題中心主任劉芃指出：“與其大量做題，不如抽出時間認真研究往年的試題。往年的試題是精雕細磨的產物，它反映了對考試內容的深思熟慮、對設問和答案的準確拿捏、對學生水平的客觀判斷。研究這些試題，就如同和試題的制作者對話。”［3］命題老師對教學要求的把握相對準確，試題打磨的時間也較長，又經過成千上萬人的實踐檢驗，高考題的研究價值顯而易見。

本節課選用的高考題設計精巧，低起點、多層次、高落差，由淺入深，平凡中見高遠，平淡中見真功。低起點體現在對傳統內容的推陳出新，面向全體學生。學生對“折剪拼”并不陌生，在小學甚至幼兒園時就進行過實踐操作，每個人都做過把正三角形折成正四面體的游戲。“把矩形剪拼成無蓋的長方體”也是小學的必學內容，沒有任何偏、難、深、怪。只是很少有人進一步思考：怎樣把矩形剪拼成有蓋的長方體？使它的全面積與原矩形的面積相等。圖8、圖9的操作原理與圖11類似，能否弄清相互的關聯，就是思維的層次性。開放的情境設計，也給分析和解決問題提供了更多可能。畫出無蓋的正三棱柱的展開圖，就能發現正三棱柱的第二種剪拼方法，并延伸到由一般三角形剪拼直三棱柱。不少人套用圖8的方法，由圖20確定直三棱柱的兩個底面，卻止步于“將平行四邊形剪拼成一邊長等于規定長度的平行四邊形”，這也是思維的層次性。高落差體現在能否融會貫通，總結出一般性規律，得到一般性結論。解決了“將任意平行四邊形剪拼成一邊長等于規定長度的平行四邊形”的問題，就能“將任意多邊形剪拼成一邊長等于規定長度的矩形”，再進一步提升到世紀數學問題。同時，前面剪拼的過程和方法又為圖21、22一般性問題的解決提供了鋪墊，進而總結出處理這類問題的通性通法。學生學會一道題，便能掌握一類題，本題當屬經典題、精品題。

2.教學過程推動能力素養增值

本節課通過情境性、實踐性、生成性和創新性的教學實施，助力學科綜合素養的提升，讓學生親身經歷獨立觀察思考、大膽猜想嘗試、師生合作探究的教學過程，親身感受空間想象能力、動手操作能力、創新創造能力的實際應用。

本節課所有題目均源于課本，源于真實生活情境，源于學生實踐經驗，都是學生看得見、摸得著的熟悉場景。剪拼長方體、正四面體、正三棱柱等生活化的教學情境更容易讓學生感受到數學的應用價值，激發起學習的興趣熱情。

本節課按照從簡單到復雜、從熟悉到陌生、從低階思維到高階思維的順序進行，每一個環節呈現的都是接近現實的學習任務，需要學生拿出可操作的剪拼方案，并能“知其然知其所以然”。整節課都在通過涂畫、剪拼、組合、探索、嘗試等活動“做數學”，都在學以致用、用以促學、學用相長，不斷提升能力素養。

本節課，教師在弄清學生“要什么”的基礎上激發、激活和激勵，學生不斷找出新方法、發現新結論、提出新問題，“生成性”貫穿于全課始終。在動態生成中，學生的解題思路更加開闊，領悟更加深刻，思維更加縝密，“學生的想象力、操作力、創造力遠遠超出我們的預期”是課堂的溢出效應。有了圖11的剪拼基礎，有了一般三角形變成矩形的知識準備，生成圖20的剪拼方法已經水到渠成，在任意位置剪拼正三角形也是順水推舟的事情。教師課前準備充分，對每種可能出現的情形都有精心預設，又根據課堂實際隨機應變、適時調整，在成就學生的同時成就自己，教學相長，相得益彰。

本節課沒有就題講題，而是鼓勵學生大膽地想、大膽地試，在質疑猜想、動手實踐、類比遷移和協作互動中發散思維，從不同角度認識問題、解決問題，激發了學生的主動性、靈活性、探究性和創造性。在“我要學”的氛圍中，學生自主發現了數學家研究的問題，探索出將任意三角形剪拼成正三棱錐、直三棱柱的一般性解決方案，這既是創新思維的收獲，也是“精準活實”教學的結果。

3.目標定位追求學科育人的極值

“數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能，在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。”［4］如何更好地挖掘數學學科的育人價值、增強課堂教學的育人成效，真正體現“不可替代的作用”“獨特作用”，本節課進行了有益的探索。

教育的目的是激發和引導學生的自我發展之路。數學教學的生長性更多表現為“用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界”的落實。本節課從學生已有學習基礎和發展需求出發，順學而導，以學定教，以學促教，尊重生長意愿、滿足生長需要，給學生充分的發展時空。參考答案給出的是圖14、15的剪拼方法，這個方法很多人感到突兀，更多人采用的是圖16的方法，但怎樣“將平行四邊形剪拼成一邊長等于規定長度的矩形”，又是一個難點，很少有人知難而進。本節課采用逆向思維的方法，先讓學生觀察無蓋的正三棱柱展開圖，通過展開圖發現問題、展開聯想，自然地過渡到圖14、15，這也是對命題意圖的“還原”。整節課，教師鼓勵學生“大膽假設，小心求證”，激勵他們不斷戰勝自我，奮力前行。圖17是剪拼平行四邊形的常用方法，但一次剪拼不一定能達到預期效果，有時需要多次操作才能“達標”，但這個過程不僅發現了“任何平行四邊形都可以通過剪拼變成一邊長符合規定要求的平行四邊形”，解決好本題的問題，還可以推廣到一般多邊形，進而得出“任何兩個面積相等的多邊形都可以通過割補的方法讓它們全等”的結論，觸碰到數學家的世紀問題。由此再解決圖21、22的一般問題，學生就有了抓手和方向。通過自我建構形成一類題的解決策略，將“解題”轉變為“解決問題”，將“做題”轉變為“做人做事”，培養他們靈活運用所學知識分析和解決實際問題的能力。

整節課圍繞一道題展開，力求透徹通暢，學生始終處在課堂的“中央”，處在積極主動的生長狀態，他們樂于歸納猜想、敢于追根究底、勇于探索嘗試，經歷了“浪漫—精確—綜合”的智力發展過程；教師適時點燃學生靈感火花，不斷“用小扇子扇旺學生心頭求知的火苗”，尊重、寬容、激勵學生，發揮了數學學科獨特的育人價值，體現了教學的“精準活實”。

【參考文獻】

［1］教育部考試中心. 2002年普通高考數學科試題評價報告［J］. 數學通報，2002（12）：4-5.

［2］董裕華. 精實數學教學論［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：170-173.

［3］劉芃. 考試文集［M］. 北京： 人民教育出版社，2012：477.

［4］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京： 人民教育出版社，2020：1-2.