探究問題本質(zhì)　發(fā)展核心素養(yǎng)

莊芹

三角函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，是高中繼指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后學(xué)習(xí)的函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)下位概念。它是一種重要的基本初等函數(shù)，既是解決實(shí)際問題的重要工具，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他知識(shí)的基礎(chǔ)。本文是筆者將講授三角函數(shù)概念的整體思路與過程整理而成的內(nèi)容。

一、教學(xué)內(nèi)容

（一）內(nèi)容分析

本節(jié)課是《三角函數(shù)》一章的概念課，具有核心地位，起著統(tǒng)領(lǐng)全局的作用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)、任意角和弧度制，初中也對(duì)三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）有了一定的了解。這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)準(zhǔn)備。本節(jié)將學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的概念和表示。借用單位圓直觀地表示三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。本節(jié)課與學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)有很大不同，認(rèn)識(shí)上必須破除思維定式，幫助學(xué)生弄清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個(gè)角，如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程，然后再給定義。這是在一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”，不僅使三角函數(shù)概念的引入水到渠成，而且由三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的獨(dú)特性，可以使學(xué)生再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)。

（二）課標(biāo)要求

借助單位圓理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。

（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中有“周而復(fù)始”變化規(guī)律現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具。能通過借用單位圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況。能知道在直角坐標(biāo)系下，建立函數(shù)模型。

2.能分析出單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，體會(huì)函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”。

3.通過自主探究，感知任意角三角函數(shù)的概念和初中銳角三角函數(shù)定義的相通性，體會(huì)到學(xué)習(xí)的知識(shí)是螺旋上升的。

4.能根據(jù)三角函數(shù)的概念求出給定角的三角函數(shù)值。掌握求任意角三角函數(shù)一般方法。

5.通過探究了解任意角三角函數(shù)的另外一種定義，能在已知角終邊上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，求出角的各三角函數(shù)。

6.通過探究三角函數(shù)概念獨(dú)特的生成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本核心素養(yǎng)。

（四）教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)是利用單位圓模型理解任意角三角函數(shù)概念的形成過程。

二、教學(xué)過程

（一）課前準(zhǔn)備

引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法：

一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=（f x），x∈A。

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域。與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，集合{ f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域。

（二）課中學(xué)習(xí)

1.創(chuàng)設(shè)情境，明確背景

引導(dǎo)語：現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律被稱為周期性。例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化、月亮圓缺、潮汐變化，物體做著勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置變化，物體做著簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的唯一變化，交變電流變化等。

提出問題：勻速圓周運(yùn)動(dòng)是現(xiàn)實(shí)生活中周期現(xiàn)象的代表，在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？

學(xué)習(xí)任務(wù)：?jiǎn)挝粓A上的點(diǎn)P以A 為起點(diǎn)，做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況。

思考1：?jiǎn)挝粓A上點(diǎn)P以A 為起點(diǎn)，做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)，在把角的范圍推廣到任意角，并在弧度制下把角推廣到全體實(shí)數(shù)后，怎樣刻畫點(diǎn)P的位置變化？（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1）

如圖1，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線O住為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為蓸1，0 蔀，點(diǎn)P的坐標(biāo)為蓸x，y蔀，射線O住從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角琢，終止位置為OP。

2.分析具體事例，歸納共同特征

思考2：當(dāng)角琢確定，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)P確定嗎？點(diǎn)P的坐標(biāo)確定嗎？（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)2）

問題1：當(dāng)α=π/6 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)2）

問題2：當(dāng)α=π/2 或2π/3 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？

思考3：你所求出的這三個(gè)角的坐標(biāo)，它們是唯一確定的嗎？（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)2）

引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)問題推廣到更一般的情形，角的范圍是任意角。

向?qū)W生提出問題：一般地，任意給定一個(gè)角琢，它的終邊莊P與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？（教師通過幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示）（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)2）

追問：你能用函數(shù)的語言來刻畫這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

對(duì)于R中的任意一個(gè)角琢，它唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)終邊位置OP，唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)與單位圓的交點(diǎn)P蓸x，y 蔀，無論是橫坐標(biāo)x，還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定。

這有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

f：實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y；

g：實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x。

根據(jù)上述分析：

f：R→［-1，1］和g：R→［-1，1］都是從集合R到集合［-1，1］的函數(shù)。

設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P（x，y）。

（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫作琢的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα。

（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫作α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα。

（3）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值y/x叫作P的正切函數(shù)，記作tanα，即y/x=tanα（x≠0）。

思考：這里給出的正切，是不是也是函數(shù)？（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)2）

可以看出，當(dāng)α=π/2+kπ（k∈Z）時(shí)，α的終邊落在了y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于0，所以yx=tanα無意義。除此之外，對(duì)于確定的角α，y/x的值也是唯一確定的。所以y/x=tanα（x≠0）也是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值y/x為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)。

故正弦、余弦和正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)。我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：

正弦函數(shù)：y=sin x，x∈R

余弦函數(shù)：y=cos x，x∈R

正切函數(shù)：y=tan x，{x|x≠kπ+π/2?，k∈Z}

3.任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系

在初中時(shí)已經(jīng)學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設(shè)x∈（0，π/2），把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1。那么z1與y1相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？

課堂上學(xué)生只要證明出正弦即可，余弦和正切的推導(dǎo)可讓學(xué)生課后再進(jìn)行。

【設(shè)計(jì)意圖】建立銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定義的和諧性。明白我們所學(xué)的知識(shí)是螺旋上升的。

4.任意角三角函數(shù)概念的初步應(yīng)用

例1：如圖2，求5π/3正弦、余弦和正切值。（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)4）解：在坐標(biāo)系中作出∠AOB= 5π/3，易知：

如何求α角的三角函數(shù)值？

可借助解直角三角形求得琢終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過三角函數(shù)的定義求出琢的三角函數(shù)值。

例2：如圖3，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P原點(diǎn)的距離為r。求證：sinα= y/r，cosα= x/r，tanα= y/x。（檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)5）

證明：如圖4，設(shè)α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0（x0，y?0），分別過點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則：

|P0M0| =| y0|，|PM|=| y |，|OM0 |=| x0 |，|OM |=| y0 |，△OMP ∽△OM0P0，所以：|P0M0|/1=|PM|/r ，即|y0|=|y|/r，因?yàn)閥0和y同號(hào)，所以y0= y/r，所以sinα=y0= y/r；同理：cosα= x/r，tanα= y/x。

追問1：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的，你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言敘述一下這種定義嗎？

一般地，對(duì)于任意角α，角α終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y ），它到原點(diǎn)O的距離為：

顯然，任意角琢的三角函數(shù)值不會(huì)隨終邊上的點(diǎn)P的位置變化而變化。

5.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后反思

本節(jié)內(nèi)容你獲得的核心知識(shí)有哪些？能自主梳理出本節(jié)知識(shí)體系嗎？你是通過什么方法和策略學(xué)會(huì)本節(jié)內(nèi)容的？你覺得還有什么內(nèi)容比較薄弱，需要老師提供何種幫助？你還有什么好的經(jīng)驗(yàn)跟大家分享？

三、教材處理的探索

從教材的修訂看，三角函數(shù)概念的教學(xué)經(jīng)歷了三個(gè)階段：

第一階段是由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標(biāo)系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)比值定義三角函數(shù)。

第二階段由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標(biāo)系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及比值定義。

第三階段是在單位圓中抽象對(duì)應(yīng)關(guān)系，在函數(shù)概念指引下用終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及比值定義三角函數(shù)。

可以看出，數(shù)學(xué)核心概念的理解是循序漸進(jìn)、逐步完善的過程。