學習機會視角下的高中數(shù)學概念教學研究

張文宇 常海斌 陳霖

【摘 要】學習機會作為一種特定的課堂教學質(zhì)量評價指標，為深入分析與改進數(shù)學概念教學提供了重要的視角。文章在文獻分析的基礎(chǔ)上對原學習機會分析框架進行了改進，利用改進后的框架對三節(jié)同課異構(gòu)課的轉(zhuǎn)錄文本進行分析，并從學習機會的角度提出教學建議。

【關(guān)鍵詞】學習機會；概念教學；課堂教學；函數(shù)概念

【作者簡介】張文宇，渤海大學數(shù)學科學學院教授，碩士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學論、課程教學與課堂評價研究；常海斌，渤海大學數(shù)學科學學院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學課程與教學論研究；陳霖，渤海大學數(shù)學科學學院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學課程與教學論研究。

【基金項目】遼寧省教育廳一般項目“基于課堂視頻分析的小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課堂特征研究”（WQ2019004）

一、引言

數(shù)學概念是反映客觀事物在數(shù)量關(guān)系與空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，呈現(xiàn)的是一類對象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性［1］。數(shù)學中的概念小部分源于對真實事物中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，大部分則是在已有數(shù)學理論的基礎(chǔ)上經(jīng)過一系列反思抽象（reflective abstraction）而產(chǎn)生的［2］。這種抽象之上再抽象的特點，使得學生的數(shù)學概念學習面臨較大的困難。數(shù)學概念教學作為數(shù)學教學最重要的組成部分，是學生進行數(shù)學概念學習的主要方式，高質(zhì)量的數(shù)學概念教學能降低學生的認知負荷，幫助學生建立良好的概念圖示。

以評促改是提高數(shù)學概念教學質(zhì)量的重要途徑，學習機會作為一種特定的課堂教學質(zhì)量評價指標，為深入分析與改進數(shù)學概念教學提供了一個重要的視角。所謂學習機會是指為促進學生知識的理解過程中，個體的言語及認知思維參與到知識意義建構(gòu)的可能性［3］20，主要通過深入分析教學重點、課堂時間分配、教師風格、學生言語表現(xiàn)等課堂上發(fā)生的各個環(huán)節(jié)來細化教師教學過程［4］18-24，并以此為依據(jù)改善課堂教學。從學習機會的視角對數(shù)學概念教學進行研究，可以深入剖析數(shù)學概念課的各個環(huán)節(jié)，為教師的數(shù)學概念教學提供參考。

二、研究設(shè)計

（一）研究對象及方法

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為重要的數(shù)學模型。函數(shù)概念常常被視為是中學最難學也是最難教的概念之一［5］。因此，本研究選取了三節(jié)“函數(shù)的概念”同課異構(gòu)錄像課作為研究對象，其中教師T1和教師T3所用的教材為人教A版，教師T2所用的教材為滬教版。

研究采用定性分析與定量分析相結(jié)合的研究方法。研究者首先對三位教師的錄像課進行初步文字轉(zhuǎn)錄，之后結(jié)合課堂錄像對文字轉(zhuǎn)錄進行完善，將修訂好的文本上傳至MAXQDA軟件，依據(jù)編碼框架對文本進行編碼，最后利用MAXQDA和SPSS對編碼結(jié)果進行量化研究。

（二）分析框架

陳志輝從話語分析的視角開發(fā)了學習機會分析框架，用于評估教師在數(shù)學概念教學過程中為學生所創(chuàng)設(shè)的學習機會。該框架重點關(guān)注教學過程中教師的教學語言，但忽視了學生回應(yīng)這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。所謂學生回應(yīng)是指學生通過口頭語言的形式表達自己對教師提出的某一數(shù)學問題的想法的課堂行為。Duschl和Michaels認為，學生的想法對教師和同伴來說是一種寶貴的資源，而課堂發(fā)言為學生提供了一個分享他們的思維和想法、同時了解其他學生思維方式的途徑［6-7］，這對于促進課堂公平具有重要意義。此外，作為IRF互動結(jié)構(gòu)中的核心環(huán)節(jié)，學生回應(yīng)影響著教師接下來的教學行為，進而也會影響教師賦予學生的學習機會。

基于此，本研究在原學習機會分析框架中加入了“學生回應(yīng)”這一子維度，根據(jù)Chen等人關(guān)于“學生回應(yīng)”的分類［8］，結(jié)合葉立軍的研究成果［9］，將學生回應(yīng)劃分為“低認知回應(yīng)”、“一般性回應(yīng)”和“高認知回應(yīng)”三種水平，進而構(gòu)建了改進型的學習機會分析框架（見表1）。其中探索意義及關(guān)系（MR）、形成討論（GD）、探究依據(jù)（ER）、高認知回應(yīng)（HR）、知識聯(lián)系或延伸（KC）、觀點鏈接（IL）是學習機會在數(shù)學概念教學語境中的六類基本話語內(nèi)容，即學習機會標準話語類型。在單位互動序列中，學習機會標準話語類型的個數(shù)稱為學習機會參數(shù)（Index of Learning Opportunity，簡稱ILO），學習機會參數(shù)是課堂交流質(zhì)量的直觀體現(xiàn)。

（三）編碼流程和方法

本研究首先依據(jù)教學任務(wù)特征將轉(zhuǎn)錄好的文本分為若干個教學任務(wù)序列（記為S1、S2……），之后對每一個教學任務(wù)序列進行話語結(jié)構(gòu)分析，話語結(jié)構(gòu)分析的主要單位是語步和話輪，如話論1：列車行進的路程S與運行時間T的關(guān)系如何表示？該話論包含一個語步，這屬于“程序或事實”這一類型的提問，故將其編碼為PF；話論2：好，那它是函數(shù)嗎？該話論包括“好”和“那它是函數(shù)嗎？”兩個語步，其中第一個語步屬于“標記與評價”這一類型的教師反饋，故將其編碼為ME，第二個語步屬于“探索意義及關(guān)系”這一類型的提問，故將其編碼為MR。

三、研究結(jié)果與分析

（一）問題發(fā)起與教師反饋方面

通過對三位教師的課堂錄像進行編碼分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在問題發(fā)起這一環(huán)節(jié)中，教師T1、T2、T3學習機會標準話語類型的出現(xiàn)次數(shù)依次為66次（占比37.1%）、42次（占比26.2%）、56次（占比32.2%）；在回應(yīng)反饋這一環(huán)節(jié)中，三位教師學習機會標準話語類型出現(xiàn)的次數(shù)依次為14次（占比10.7%）、6次（占比3.2%）和0次（占比0%），三位教師問題發(fā)起與回應(yīng)反饋的具體數(shù)量及其占比情況見表2。

由此可見，三位教師更傾向于在問題發(fā)起這一環(huán)節(jié)賦予學生學習機會，而缺乏對學生的應(yīng)答進行深度分析和評價的意識。通過具體分析，發(fā)現(xiàn)以下顯著特征：第一，“探索意義及關(guān)系”這一提問類型貫穿課堂始終，這對于學生理解數(shù)學概念的本質(zhì)屬性具有重要意義；第二，“重復或確認”和“標記或評價”兩種反饋類型的結(jié)合使課堂互動拖沓冗長，對學生的學習機會造成負向影響。具體分析如下。

1.探索意義及關(guān)系：引導學生理解數(shù)學概念本質(zhì)屬性的有效路徑

在問題發(fā)起方面，教師T1、T2、T3分別在2700 s、2460 s、2760 s內(nèi)提出了205個、194個、151個問題，平均每13 s、13 s、18 s就提出一個問題。在這些問題中，“程序或事實”這一類型的提問占據(jù)總體提問數(shù)量的42%（如圖1），這類提問多是“是吧？”“是不是？”“對吧？”等程序性問題，教師通常在得到班級集體回答或某一名學生回答后就進入下一個提問。由此可見，三位教師的提問數(shù)量偏多、提問頻次偏高。研究表明，過于頻繁的提問會減少學生的思考時間，干擾學生知識的意義建構(gòu)，從而影響學生的學習效果［10］。

值得一提的是，“探索意義及關(guān)系”這一類型的提問方式貫穿課堂始終。通過分析三位教師的課堂錄像及教學設(shè)計，發(fā)現(xiàn)三位教師在概念引入這一環(huán)節(jié)都選擇了從特殊到一般的處理方式。其中教師T1和教師T3引導學生從“變量說”的角度分析問題，而教師T2則依據(jù)滬教版教材的編排順序，通過引導學生分析冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的共同研究對象來進行概念引入。這兩種引入方式都涉及大量的“探索意義及關(guān)系”這一類型的提問。在新知講解環(huán)節(jié)，三位教師均向?qū)W生呈現(xiàn)了解析式、列表和表格三種概念表征方式，讓學生深刻體會“對應(yīng)”這一函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。在概念辨析環(huán)節(jié)，三位教師多次詢問“它是函數(shù)嗎？”“它們是同一個函數(shù)嗎？”等問題，這有助于加深學生對函數(shù)概念的理解。在課堂小結(jié)這一環(huán)節(jié)，教師又通過“探索意義及關(guān)系”這一類型的提問對初高中函數(shù)的概念進行對比，使學生體會從“變量說”到“對應(yīng)說”的抽象過程，但教師對于這部分內(nèi)容的處理過于簡單，沒有深刻闡釋引入“對應(yīng)說”的一般意義。

2.評價+重復：一種冗余的回應(yīng)反饋模式

回應(yīng)反饋與問題發(fā)起次數(shù)之比越大說明教師越關(guān)注學生的回應(yīng)，也說明教師對學生的回復更具體和詳細［4］18-24。三位教師回應(yīng)反饋與問題發(fā)起次數(shù)的比值依次為0.64、1.04、0.80，可見三位教師對于回應(yīng)反饋這一環(huán)節(jié)還不夠重視。從三位教師整體的反饋情況來看，ME、RC、RH、KC、IL、MT六種反饋類型的占比情況依次為44.4%、41.7%、8.8%、4.8%、0.2%、0%，“標記與評價”和“重復與確認”這兩種類型的回應(yīng)反饋占比非常高。通過分析代碼在同一文件中的位置關(guān)系發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學概念教學過程中，這兩種類型的反饋通常以“評價+重復”的形式同時出現(xiàn)（如圖2），其中線條寬度反映了二者同時被編碼的頻率，這種教學行為將傳統(tǒng)的IRF（啟動-回應(yīng)-反饋）互動結(jié)構(gòu)中的“F”轉(zhuǎn)換為“R+E（評價+重復）”的形式，形成IRRE（Initiation-Response-Repetition-Evaluate）互動結(jié)構(gòu)。研究發(fā)現(xiàn)，三位教師在教學過程中都曾使用“R+E”形式打斷學生回應(yīng)的行為，導致學生不能完整、流暢的進行數(shù)學表達。從學習機會的視角來看，這種互動結(jié)構(gòu)是拖沓的，對學生的學習機會并無積極意義，甚至干擾學生的思考過程，對學生的數(shù)學概念學習造成負面影響。

（二）學生回應(yīng)方面：以“低認知回應(yīng)”和“一般性回應(yīng)”為主的現(xiàn)實困境

在教師T1、T2、T3的課堂中，學生回應(yīng)這一環(huán)節(jié)學習機會標準話語類型出現(xiàn)的次數(shù)依次為17次（占比7.9%）、9次（占比5%）、37次（占比23.6%），僅占總回應(yīng)數(shù)量的11.5%；而低認知回應(yīng)和一般性回應(yīng)則分別占回應(yīng)總量的41.5%和47.0%，三位教師課堂中學生回應(yīng)的數(shù)量及占比情況見表3。通過對課堂錄像分析發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學概念教學過程中，低認知回應(yīng)主要以集體回應(yīng)為主，如“嗯”“是”“對”等程序性回答，學生無須經(jīng)過任何的解釋和推理即可作答。從教學連貫性的角度來看，這類回應(yīng)有利于課堂教學持續(xù)高效的推進，但也會造成一些學生“隨大流”和“隨意應(yīng)答”的現(xiàn)象，難以保證學生的學習機會。一般性回復，如“初中函數(shù)的概念就是y等于一個關(guān)于x的式子；我覺得y隨著x的變化而變化了”，這類回復僅需通過回憶已有知識或經(jīng)過簡單的邏輯判斷即可作答，無須進行復雜的思考與重構(gòu)。基于以上分析可以發(fā)現(xiàn)，在實際課堂中學生的回應(yīng)水平整體偏低，主要以“低認知回應(yīng)”和“一般性回應(yīng)”為主，一些學生的言語表述不準確、不連貫，這很容易造成學生函數(shù)概念理解不清晰、不透徹，學生的數(shù)學語言表達能力有待提高。此外，雙變量Pearson檢驗結(jié)果顯示，教學任務(wù)特征與高認知回應(yīng)呈弱正相關(guān)（r=0.351，P＜0.01），這表明高認知要求的數(shù)學任務(wù)與學生的高認知回應(yīng)之間并無必然聯(lián)系。

（三）教學任務(wù)設(shè)置方面：以高認知水平期望為主的任務(wù)類型失衡

教學任務(wù)類型的設(shè)置與安排體現(xiàn)了教師對學生認知水平要求的期望，教師T1、T2、T3分別在課堂中設(shè)置了29個、32個、32個不同認知要求的數(shù)學任務(wù)。具體來講，對于“識記與回顧”“程序性操作”“解釋與分析”“探究性活動”四種類型的數(shù)學教學任務(wù)，教師T1在課堂中設(shè)置的數(shù)量依次為7個（占比24.1%）、0個、22個（占比75.9%）、0個，教師T2在課堂中設(shè)置的數(shù)量依次為11個（占比34.1%）、0個、21個（占比65.5%）、0個，教師T3在課堂中設(shè)置的數(shù)量依次為2個（占比6.3%）、0個、27個（占比84.4%）、3個（占比9.4%）。可見，幾位教師教學任務(wù)類型的設(shè)置失衡，主要以“解釋與分析”為主，另外幾類數(shù)學任務(wù)整體占比較少。這類任務(wù)具有一定的復雜性和聯(lián)系性，說明幾位教師對學生的認知水平要求的期望較高。

此外，雙變量Pearson檢驗結(jié)果顯示，教學任務(wù)特征與ILO之間無統(tǒng)計學意義（r=0.295，P＜0.01），這表明高認知要求的數(shù)學任務(wù)與學生所獲的學習機會之間無必然聯(lián)系。研究還發(fā)現(xiàn)，在三位教師的課堂中，隨任務(wù)序列的推進，學習機會參數(shù)的變化幅度較大，這說明教師賦予學生的學習機會在整個課堂中是不均衡的，有進一步提升和完善的空間。

四、研究結(jié)論與教學建議

（一）研究結(jié)論

第一，教師在問題發(fā)起環(huán)節(jié)賦予學生的學習機會較多，“探索意義及關(guān)系”這一類型的提問對于數(shù)學概念教學具有重要作用。但教師提問數(shù)量偏多、提問頻率偏高，對學生的學習機會造成不良影響。第二，在學生回應(yīng)方面，學生在課堂中的整體回應(yīng)水平較低，問題回答不嚴謹、不完善，數(shù)學語言表達能力有待提高，學生在這一環(huán)節(jié)中獲得的學習機會較少。第三，教師在回應(yīng)反饋環(huán)節(jié)賦予學生的學習機會非常少，“重復或確認”和“標記與評價”兩種反饋類型占比過高，導致課堂互動結(jié)構(gòu)拖沓冗長。此外，教師多次利用“R+E”的反饋模式打斷學生發(fā)言，這種不良的教學行為需進一步改進。第四，在教學任務(wù)特征方面，教師教學任務(wù)的設(shè)置類型單一，且對學生的數(shù)學認知水平期望較高，隨教學任務(wù)序列的推進，學習機會參數(shù)的變化幅度較大。

（二）教學建議

1.以“探索意義及關(guān)系”為中心，構(gòu)建多元化的課堂提問模式

課堂提問是課堂交流的起點，對課堂教學有著重要的驅(qū)動意義［11］，學習機會視角下的數(shù)學概念教學倡導以“探索意義及關(guān)系”為中心的多元化提問模式。所謂“探索意義及關(guān)系”就是不斷對數(shù)學概念、表征等意義進行探索或者對概念之間的（潛在）關(guān)系進行提問［3］139，通過這一提問方式讓學生經(jīng)歷概念引入、概念生成、概念辨析和概念應(yīng)用的過程，從而使學生在頭腦中形成概念表象，建立良好的概念圖示。例如以下問題：下面兩組函數(shù)是同一函數(shù)嗎？①y=x；y=（x2）[1/2]；②y=sin2x+cos2x，x[∈]（-[∞]，+[∞]）；y=1，x[∈]（-[∞]，+[∞]）。教師提出問題后，無論學生回答“是”還是“不是”，教師都可以利用“探索依據(jù)”這一類型的提問方式追問原因。如果學生彼此之間意見不統(tǒng)一，教師還可以利用“形成討論”這一類型的提問方式組織學生進行小組討論或?qū)λ说幕卮鸢l(fā)表看法，而在討論上述函數(shù)定義域的過程中，又可以利用“探索意義及關(guān)系”對二次根式和三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進行提問。此外，教師還可以從圖象的角度入手，讓學生體會函數(shù)的多元表征方式。這種以“探索意義及關(guān)系”為中心的多元化課堂提問模式，可以使課堂提問類型由單一化走向多元化，由“高數(shù)量”轉(zhuǎn)向“高質(zhì)量”，從而在數(shù)學概念教學過程中賦予學生更多的學習機會。

2.正確認識教師反饋的重要意義，增加教師反饋環(huán)節(jié)的學習機會

教師在教師反饋這一環(huán)節(jié)賦予學生的學習機會少，且反饋類型單一、反饋結(jié)構(gòu)拖沓冗長，究其原因是教師沒有對反饋這一環(huán)節(jié)的教育價值形成正確的認識。學習機會視角下的數(shù)學概念教學倡導利用“知識聯(lián)系與延伸”和“觀點鏈接”兩種類型的教師反饋來對學生的回應(yīng)進行應(yīng)答。首先，教師可以利用“知識聯(lián)系與延伸”引導學生回顧已有知識經(jīng)驗，幫助新概念找到知識的固著點。例如，在“函數(shù)的概念”的教學過程中，教師可以帶領(lǐng)學生在課堂小結(jié)部分對“變量說”和“對應(yīng)說”進行分析和比較，讓學生在“變量說”的基礎(chǔ)上，體會函數(shù)概念的抽象過程及其意義。其次，教師可以利用“觀點鏈接”這一類型的反饋方式，引導學生對其他同學的觀點進行分析與評價，以此來實現(xiàn)新話輪的構(gòu)建，這對于促進課堂的多向交流具有重要意義。最后，教師要優(yōu)化自己反饋結(jié)構(gòu)，避免過多“R+E”形式的反饋，要保證反饋語言的簡潔性、反饋時機的恰當性以及反饋內(nèi)容的有效性［12］，用更簡潔和更有針對性的反饋提高學生在概念學習中的學習機會。

3.以學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)水平為依據(jù)，合理設(shè)置數(shù)學概念教學任務(wù)

研究表明，數(shù)學任務(wù)特征與學生所獲得的學習機會之間無必然聯(lián)系，一味地追求高認知水平的數(shù)學任務(wù)不僅不會提高學生的學習機會，反而會使學生對數(shù)學概念學習產(chǎn)生習得性無力感，失去對數(shù)學學習的興趣。因此，教師在教學過程中要以學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)水平為依據(jù)，結(jié)合授課班級的學情，從整體和部分兩個角度有針對性地設(shè)置數(shù)學概念教學任務(wù)。對于學生數(shù)學認知能力較強、數(shù)學基本知識和基本技能掌握較好的班級，教師可以設(shè)置一些結(jié)果方向不明確的開放性任務(wù)。對于數(shù)學基礎(chǔ)一般的班級學生，教師應(yīng)設(shè)置以簡單的、封閉的程序性的任務(wù)為主，幫助學生夯實基礎(chǔ)，增強學習數(shù)學的信心。但是，教師對班級中數(shù)學認知結(jié)構(gòu)水平較高的學生也應(yīng)給予特定的學習機會，以保證教學過程的公平。此外，教師還要進一步均衡課堂中學習機會的分布，以保證學生在一節(jié)課的大部分時間內(nèi)都處于較高水平的思維狀態(tài)。

4.以數(shù)學概念教學為切入點，提升學生的數(shù)學語言表達能力

在三位教師的課堂中，學生回應(yīng)水平偏低、數(shù)學語言表達不完整、不嚴謹，教師應(yīng)在概念教學中有意識的培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力。首先，在概念生成的過程中，教師要鼓勵學生自行分析總結(jié)、互動交流，讓學生自己給概念下定義，這不僅有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力，而且還能幫助學生形成嚴謹?shù)乃季S和理性的精神。其次，教師要進一步加強概念辨析環(huán)節(jié)的教學，要保證學生的概念學習是有意義的學習，而不是機械的死記硬背，很多學生數(shù)學表述不規(guī)范，就是因為對數(shù)學概念理解得不透徹。例如“二面角”和“二面角的平面角”，前者是一個空間圖形，而后者是一個由兩條射線組成的平面圖形。在實際教學過程中，學生經(jīng)常將“二面角的平面角為60°”錯誤的表述為“二面角為60°”，這說明學生沒有真正理解二面角的概念。再次，教師要注重對學生進行數(shù)學語言的語義轉(zhuǎn)換訓練。例如，函數(shù)具有解析式、圖象和表格三種表征形式，教師可以引導學生利用不同表征形式對函數(shù)的概念進行闡述和理解，賦予學生更多的表達機會。最后，教師可以通過構(gòu)建概念系與概念域，指導學生對已有知識之間的關(guān)系進行分析和總結(jié)，這樣不僅能強化學生的概念理解，使學生的知識體系更加系統(tǒng)，而且對于培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力也具有重要意義。

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（責任編輯：陸順演）