讓數學素養在活動中自然“生長”

李榮

［摘 要］“大樹有多高”這節綜合與實踐課是通過觀察、實驗等探究活動，讓學生發現并驗證“同時同地，物體高度與影子長度成正比例關系”這一規律，從而運用規律解決相關問題，讓學生在動手中生長智慧，使學生的數學素養得到有效培養。

［關鍵詞］數學實驗；思考；學具操作

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）02-0037-04

一、課前慎思

“活動是認識的基礎，智慧從動作開始。”綜合與實踐課是幫助學生積累數學活動經驗、培養學生應用意識和創新意識的重要載體。如何通過蘇教版六年級下冊“大樹有多高”這一課教學，讓學生對測量樹的高度產生強烈的探究欲望，并在探究的過程中形成數學素養？筆者在課前做了如下分析。

1.條件制約，限制課堂實驗的開展

這節課涉及地理知識——太陽高度角，因此，開展課堂活動受到客觀條件的限制，具體表現在：①實施測量影子長度的活動需要考慮天氣，如果當天天氣不好就無法進行實驗；②由于實驗操作易受客觀因素影響，操作不規范則降低實驗成功率，以及活動時間有限，制約實驗樣本多樣性的采集，對實驗數據也會產生一定的誤差；③室外教學使課堂紀律難以保障，探究效果大打折扣。

2.工具開發，創造數學實驗的可能

工欲善其事必先利其器。針對上述問題，筆者依據科學原理，兼顧兒童年齡特征，開發了一套實驗工具（如圖1）。

3.學科融合，培植學習興趣的沃土

興趣是最好的老師。在小學數學教學中培養學生的學習興趣，可以使學生對不同的數學現象以及問題產生好奇，從而進行深入探究。有趣的情境創設、富有挑戰的問題設計、探索式的教學形式都能極好地激發學生的好奇心，培養學生的學習興趣。此外，數學不應是一門孤立的學科，應將各學科融入數學體系中，對此，教師要關注數學與其他學科的整合，使學生喜歡數學，會用數學和善用數學。如課堂伊始，給學生介紹太陽高度角計算軟件的使用方式；課中，通過給學生講述泰勒斯巧測金字塔高度的故事，讓學生巧算東方明珠塔的高度；課堂尾聲，介紹現代的測高工具。將數學知識與地理知識、數學文化、現代科技有效融合，可不斷激發學生的好奇心。

4.問題導向，引領深度學習的方法

問題是數學的心臟。綜合與實踐課是以真實問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動課。筆者通過設計合適的問題，引領學生開展學習活動：

（1）筆者引入問題情境：學校的操場上有一棵大樹，要想知道這棵大樹的高度，可以怎樣做？

（2）筆者在講述泰勒斯巧測金字塔高度的故事時，向學生提問：“為什么通過測量影子長度就能計算出金字塔的高度？影子的長度與物體的高度有什么關系呢？”

（3）在學生對影子的長度與物體的高度關系展開研究前，筆者又提問：“除了物體本身的高度，還有哪些因素也會影響影子的長度？”

（4）筆者提出本課探索的核心問題：“同時同地，物體的高度與影子的長度之間有什么關系？”“同時同地，物體的高度與影子的長度成正比例的數學原理是什么？”最后，在應用環節，筆者又拋出問題：“當受到條件限制，無法測量影子的長度時該怎么計算物體的高度？”

一個個問題緊密相連，環環相扣，使學生對知識有了深刻理解。

5.“歸納+演繹”，構建科學的數學結論

數學結論的形成一般有兩種方式：一種是從已有的事實出發，通過歸納和類比等推斷某些結果；另一種是從已有的定義、公理、定理等出發，推理證明。小學數學教材中有很多數學方法、結論、規律，在條件允許的情況下，教師有必要用“歸納+演繹”相結合的方式推出數學結論，以發展學生合情推理與演繹推理的能力。

6.小組協作，數學課堂高效的助力板

課程標準指出，數學課程要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使人人都能獲得良好的數學教育，使不同的人在數學上得到不同的發展。以學生自主參與為主的小組學習形式有別于課堂上教師的直接講授，能讓每個學生在活動中找到合適的“崗位”，如測量影子的長度時，小組分工如下：一名學生負責調整光源高度及光照角度，兩名學生負責物體的擺放與影子長度的測量，兩名學生負責數據的記錄，兩名學生負責數據的計算。學生雖各有分工，但卻共同經歷活動的全過程，得到的結論是在小組探討的基礎上達成的共識。小組成員之間相互配合、彼此關照、互相提醒，有效提高了學習效率，能力素養得到全方位提升。

二、課中篤行

1.課前談話，感受探索之趣

師（引出太陽角計算器，如圖2所示）：同學們，在不同的時間，太陽以不同的角度照射大地，你知道此刻太陽照射大地時所形成的角度是多少嗎？

（教師指導學生利用太陽角計算器計算不同時間太陽高度角）

【設計意圖】從太陽的照射角度入手，引入太陽角計算器，讓學生感知不同時間的太陽照射角度不同，為后續影子長度和物體高度的測量做鋪墊。這樣的設計體現綜合與實踐課從生活出發，向生活求索的特質。同時，太陽角計算器也以其新鮮有趣的形式使學生初步體驗課堂的快樂，為后續學習積蓄活力。

2.創設情境，用問題引領思考

師：同學們，學校的操場上有一棵大樹，這棵樹到底有多高呢？（揭題）要想知道一棵大樹的高度，可以怎樣做？

生1：可以爬上去。

生2：拿一把足夠長的尺子，豎起來量一量。

師：還有其他方法嗎？

生3：可以量出影子的長度。

師：量出影子的長度，這個想法有創意！兩千多年前，古希臘的一位智者也遇到了類似的問題，他的做法和生3所說的不謀而合。我們一起來聽一聽，看他是怎樣解決問題的。

（播放錄音）金字塔在建成的一千多年里，人們都無法測量出它的高度，因為它實在太高了。一位叫泰勒斯的智者游歷到埃及，法老向這位智者求助：“你能幫我們測量出金字塔的高度嗎？”泰勒斯經過一番思考后，說：“只需給我一根木棍，我就能測出金字塔的高度。”

泰勒斯選了一個陽光明媚的日子，將木棍直立在金字塔旁的地面上。等木棍的影子和木棍一樣長的時候，他先量了金字塔影子的長度和金字塔底面邊長的一半，再把這兩個長度加起來，這樣得到的數據就是金字塔的高度。

師：泰勒斯靠著測量影子長度的方法，計算出了金字塔的高度。同學們，我們想知道的是高度，測量的卻是影子長度，物體高度與影子長度之間存在怎樣的關系呢？請大膽猜一猜。

生4：成正比例關系。

師：真的是那樣嗎？驗證猜測是否正確的最好方法就是實驗。

【設計意圖】筆者從本課的核心問題出發，將學生的猜想和歷史故事相聯系，激發學生對利用測量影子長度來求得物體高度的探索興趣，為后續實驗積蓄經驗和力量。

3.積極思考，設計實驗

師：開始實驗前，老師還有一個問題，除了物體本身高度，還有哪些因素也會影響影子的長度？

生1：物體的位置。

生2：時間。

生3：光源高度、光照角度。

師：在室外，不同時間，太陽高度不同，照射地面的角度也不同，科學上將這一現象稱為太陽高度角。通過一個小視頻，來看看你們所說的有沒有道理。

（播放小視頻，證實學生所言）

師：還真的就像你們所說的那樣，影子的長度受到多種因素的影響。那怎樣才能避免不同位置給影子長度帶來的影響？

生4：固定位置不變。

師：怎樣避免光源高度、光照角度對影子長度產生的影響？

生5：統一光源高度、光照角度。

師：必須在同一時間，同一地點進行測量。

【設計意圖】實驗設計是數學實驗的重要組成部分，筆者引導學生自主參與實驗的設計過程，使學生感受影子長度除了與物體本身高度有關，還受到太陽高度角的影響，強化“同時同地”這一實驗條件的必要性，凸顯實驗的科學性、合理性。

4.分組活動，發現規律

師：用自制的實驗材料進行第一輪影子長度的測量。

實驗要求：（1）測一測。在已經固定太陽高度角的情況下（此時模擬的太陽高度角接近室外真實情況），擺放高度不同的物體；（2）算一算。測量影子長度后，填寫實驗記錄單（如表1）。

師：根據板演的數據和自己組內測得的數據進行比較、分析，有什么發現？

師：在考慮到誤差可能帶來的影響下，同一時間、同一地點，物體高度與影子長度是成正比例關系的，這就初步證明了我們的猜想。如果變換光源高度、光照角度或物體位置，情況又會怎樣？下面就讓我們進行第二輪實驗。

實驗要求：（1）調一調。小組自行調整光源高度、光照角度，確定物體擺放位置；（2）測一測。擺放高度不同的物體，測量影子長度后填寫實驗記錄單（如表2）；（3）算一算。算出物體高度與影子長度的比值；（4）想一想。小組比較并分析數據，完成記錄單（如表2）。

[表2 第二輪實驗記錄單][ 物體高度/cm 影子長度/cm 物體高度與影子

長度的比值 物體1 物體2 物體3 ][ 我們的結論：同樣的光源高度、光照角度，同樣的位置，物體高度與影子長度（? ? ?）正比例關系。（填“成”或“不成”）]

生：在同一時間、同一地點，物體的高度與影子長度成正比例關系。

【設計意圖】借助自制的測量儀工具，學生通過小組合作的方式，對照實驗記錄單，有序開展實驗，實驗的參與度和有效性得到了保證。從規定高度角到自主選擇高度角的兩次實驗操作，在提供足夠多的樣本的同時，讓學生從縱向與橫向兩個角度進行對比分析，感受到獲得結論過程的科學性，促進學生對知識的理解。

5.實驗分析，追本溯源

師：回到泰勒斯測金字塔高度的問題。你能運用今天學到的知識來揭秘泰勒斯是怎么計算金字塔高度的嗎？你能列出其中的數量關系嗎？

生1：金字塔高度∶（金字塔影子長度+金字塔底面邊長的一半）=木棍高度∶木棍影子長度。

生2：泰勒斯測算金字塔高度的奧秘，就是應用“同時同地，物體高度和影子長度成正比例關系”這一數學規律。

師：物體高度和影子長度究竟為什么會成正比例關系？

師（演繹原理）：如果將泰勒斯測量的過程用畫圖的方式表達出來，那么，以金字塔的垂直高度為一條邊，以金字塔底面邊長的一半加上金字塔的影子為另一條邊，連接這兩條邊的端點，可以畫出一個大三角形；以木棍為一條邊，以木棍的影子為另一條邊，連接這兩條邊的端點，可以畫出一個小三角形，而這個小三角形就是由大三角形按照一定的比例縮小得到的。

師：反觀我們的實驗，其實道理都是一樣的。都是三角形的等比例放大、縮小，所以對應邊的比值相等，即成正比例關系。

【設計意圖】在證實“同時同地，物體高度和影子長度成正比例關系”這一結論時，筆者再次借助泰勒斯測算金字塔高度的秘密揭示物體高度、影子長度的關系，引導學生追問其背后隱藏的數學原理，將數學課堂的思辨推向更深處。筆者借助示意圖進行直觀演繹說理，進一步將泰勒斯測算金字塔的原理具象化、形象化，進而抽象化，促進學生對知識的理解，讓學生知其然更知其所以然。

6.應用規律，總結延伸

（1）常規應用

師：校園里這棵大樹的高度問題還沒有解決，現在，你準備怎么做？（出示練習題，略）根據測得的數據，大家會求大樹的高度嗎？

師：通過查閱資料我們知道了教學樓的高度，那么如何計算某一時刻教學樓的影子長度？

（2）引導總結

師：通過本節課的學習，大家有哪些收獲？說說你的學習體會。

（3）課外延伸

師：東方明珠塔因周邊建筑林立測不到其影子長度，我們怎么才能測出其高度？

（4）文化延伸

師：認識了現代測高（距）工具以后，大家可在課后利用現代測量工具進行測高（距）實驗。

【設計意圖】數學的趣味性是學生熱愛數學學習的最大吸引力。課堂總結不僅要關注學生知識與技能的掌握，更要關注學生的學習過程和情感態度；除了常規的練習，課堂習題還要打破思維定式，以創新激發學生的想象力；數學文化能豐富學生認知的同時，還能為學生后續的學習留有探索的余韻。

綜合與實踐課以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，教師只有加強數學知識之間、數學與其他知識之間的聯系，才能使學生在學習過程中形成相應的數學素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張緬.數學素養在實驗中自然生長：“怎樣滾得遠”教學思考與實踐[J].小學數學教師，2020（6）：21-25.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

（責編 覃小慧）