發展學生數學運算能力的基本途徑分析

［摘? 要］ 實踐證明，新穎的教育理念，扎實的文化底蘊，多元化的教學手段，先進的運算思想等，是發展學生數學運算能力的重要因素. 文章從“親歷過程，感知運算意義”“注重策略，優化運算過程”“加強反思，形成良好習慣”三方面展開闡述.

［關鍵詞］ 運算能力；策略；數學素養

作者簡介：李春陽（1974—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.

運算能力是我國基礎教育的主要內容之一，體現著學生的基本數學素養. 一直以來，教師都很重視對學生運算能力的培養，但因運算問題導致的失分現象還是屢見不鮮. 其主要原因在于學生對運算的重視程度不夠或理解不夠精準，只是將目光集中在運算法則的記憶上，而后憑借經驗進行模仿解題，因對運算的意義缺乏理解，而導致失誤的產生［1］.

本文通過對數學運算教學進行分析，并結合學生認知特點等，談談在教學中提高學生運算能力的具體措施，以期引起各位同行的關注與思考.

親歷過程，感知運算意義

隨著時代的發展，繁雜的運算都可以借助先進的工具去解決，因而《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）對學生運算的要求并沒有在原來的基礎上提高. 但這并不代表我們可以放寬對運算的要求，降低對學生運算能力培養的要求. 而應結合學生的實際情況與運算的內涵，及時調整教學手段，尤其要轉變只注重計算技巧與熟練度的思想，要將目光轉移到對運算意義的理解上.

案例1? “平方差公式”的教學

“平方差公式”是學生步入初中階段后遇到的第一個重要的乘法公式，是學生整個數學學習生涯中的重要基礎，也是恒等式變形的主要依據. 這是一個具有特殊形式的乘法，是從一般到特殊的典范，因此教師可將“平方差公式”的運算教學過程定位成一個模板，供學生后期學習其他內容作參考.

教學時，教師可引導學生經歷該公式的形成過程，透徹理解該公式的結構特征與意義，為實際運算應用夯實基礎. 實踐表明，學生在運用該公式進行運算時，常出現的錯誤類型有：①符號錯誤，如（2m-5n）·（-2m-5n）=4m2-25n2；②系數忘記進行平方，如（2m-5n）（-2m-5n）= -2m2+5n2.

之所以會出現以上錯誤，是因為學生沒有徹底弄清楚該公式的結構特征和意義. 因此，教師在教學設計時，應從多角度進行引導，讓學生親歷該公式的形成過程，深刻理解其意義. 筆者在執教本節課時，采用了如下教學流程.

1. 情境創設，激發探究興趣

問題情境：一位狡猾的農場主，將一塊正方形的土地租給一位租客作養殖場. 一年后，該農場主跟這位租客協商，說我將這塊地的一邊收回4 m，另一邊給你增加4 m，租金不發生變化. 這位租客覺得土地面積和原來一樣，就悅然同意了. 你們覺得土地面積和原來一樣嗎？

面對這個情境，學生眾說紛紜，有學生認為一樣，有學生覺得農場主應該會選擇利于自己的租賃方案等. 學生的積極性都被這個情境調動了起來，一個個都表現出濃郁的探究欲.

2. 數形結合，引發探究行為

方法1：

如圖1，在一個邊長為a的正方形的左下角剪掉一個邊長為b的小正方形，剩下部分的面積為a2-b2. 如圖2，將陰影部分沿著虛線剪開重新拼接，所得的長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法2：

如圖3，在邊長為a的正方形中間剪下一個邊長為b的小正方形，此時陰影部分的面積是a2-b2. 如圖4，將圖3中的陰影部分，分解成四個小長方形并拼接，可構造一個新的長方形，此長方形面積為（a+b）（a-b）.

方法3：構造梯形

在一個邊長為a的正方形左下角剪掉一個邊長為b的小正方形，剩下圖形的面積為a2-b2. 如圖6，剪開陰影部分拼接，構造一個梯形，所得梯形面積為（a+b）（a-b）.

通過以上3種方法，都能直觀地看出a2-b2=（a+b）（a-b），當然，除了這幾種方法，還可以通過構造三角形、平行四邊形等方式來證明此公式成立.

3. 多元表征，深化理解

認知心理學提出，表征是指在對象不顯現下，用符號或符號集來替代該對象，一般以語言、圖形、文字、符號等方式呈現. 統一學習對象，并用多種形式描繪與表征，能深化學生對知識的理解.

平方差公式的表征可有：①語言表征，鼓勵學生通過對公式解讀，用口頭語言表達，以加強學生的數學表達能力；②符號表征，即用a2-b2=（a+b）（a-b）這個等式進行表征；③操作表征，即用取值的方法分別計算（a+b）（a-b）與a2-b2的值，通過列表分析，并在結果對比中進行猜想，最后證明它們之間存在怎樣的代數式關系；④模型表征，用□與○代表數、單項式或多項式，讓學生深層次理解a，b的實際意義，從而深化對公式的結構特征的認識，如（□+○）（□-○）=□2-○2.

學生通過實踐探索與多元表征對“平方差公式”不僅僅有了表面的認識，還對該公式的來龍去脈都有著深刻理解. 因親歷了概念的形成與發展過程，學生對此概念產生了更加形象、直觀、深刻的認識，為后期的學習夯實了基礎.

注重策略，優化運算過程

運算過程是指根據運算法則，從已知的對象中推導出結論的過程，其實質為一個推理的過程. 如高斯定理，當遇到1+2+3+…+99+100的計算時，高斯考慮到100+1=99+2=98+3=…=51+50=101，因此，該計算的結論為50×101=5050. 這種記載是否為他當時的計算策略，如今雖無法考證，但此結論的獲得必然經歷了一個運算推理的過程.

運算策略的滲透，可簡化運算，優化解題過程.

遇到計算求解的問題，一般學生都會首先結合自身的生活經驗，提取自己熟悉的運算方式. 傳統的運算策略傳授，一般就是直接介紹運算法則與通用通法，而忽略了學生的具體認知水平. 隨著新課改的推進，如今的運算策略滲透是結合了學生最近發展區而設計的，使學生在潛移默化中掌握一定的運算技巧.

中學階段的學生擁有較強的思維能力，有些學生甚至能歸納出自己獨有的計算策略，這種自主產生的能力，可解決遇到的多種問題. 因此，筆者認為在課堂教學中，教育者應注重對問題中所存在的數量關系的分析，借助圖形、表格等，幫助學生獲得數量關系中的實質聯系，并以檢驗的方式來確定式子的合理性.

同時，師生之間和諧的交流，也能讓學生猜想、嘗試更多，并在驗證中獲得答案. 或許有人會提出疑問：直接將計算方式告訴學生不就行了，為什么還要花費那么多時間引導學生感知其過程呢？

其實這是一個價值取向的問題，直接告訴學生運算規則，容易讓學生形成一種思維定式，遇到問題時就習慣性地用一種方式去解決. 長此以往，思維就產生惰性，從而導致學習變得一成不變，毫無創新可言.

教師應善于捕捉學生的思維生長點，及時激發學生思維的創造性，讓學生在運算能力上有所突破. 若教師一味地打壓學生的積極性，只允許學生用循規蹈矩的方式解決問題，不僅會影響學生運算能力的形成與發展，還會將學生的創新意識扼殺在搖籃中.

案例2? “一元一次方程”的教學

解方程：x+=x+1.

不少學生拿到此方程，都是按照常規運算方式，在等號的兩邊同時乘3，可得式子3x+1=x+3，通過移項合并同類項后，得2x=2，在此等式兩邊同時除以2，獲得x=1的結論；也有部分學生采取先移項合并同類項，然后將x的系數轉化成1；還有學生提出：是否可以將x和1，x和放在一起考慮，即將“x-1”視為一個整體，這樣就能快速獲得x=1的結論了.

按部就班的思維方式在運算過程中，能呈現出積極、有利的一面，但也存在負面影響. 學生常常用慣性思維去思考問題，長此以往就容易出現思維定式，從而影響運算效率，出現運算過程冗長、繁雜的現象，而思維也會處于僵化的狀態，難以呈現出思維的創造性與靈活性特征，從而阻礙了學生創新意識的形成與發展［2］.

上題中，第3種解題方法，運用整體思想，將“x-1”視為一個整體進行運算. 這種方法打破了學生的思維定式，使得解題過程變得輕松、簡便、快捷. 這種方法的應用不僅體現了數學思想方法在計算中的重要性，還彰顯了思維的靈活性與創新性，這也是促進學生核心素養形成與發展的基礎.

加強反思，形成良好習慣

弗賴登塔爾提出，反思是思維活動的核心與基本動力，缺乏反思，學生的思維就無法上升到更高的階層. 《課標》提出，人們用數學知識解決實際問題時，會經歷感知、感悟、建構與反思等思維過程，這能幫助學習者對客觀事物中的數學模式做出準確的判斷. 由此可見，反思在數學教學中的重要性. 學會自我反思是師生獲得成長的基本途徑，也是提升教學效率的根本.

運算過程中，養成良好的反思習慣，能幫助學生突破思維的障礙，讓學生及時發現錯誤的癥結，另辟蹊徑，獲得更好的解題方法. 初中運算過程中的反思類型，主要有以下幾種.

1. 對錯誤的成因反思

學生在運算時，難免會出現各種錯誤. 出現錯誤并不可怕，應對錯誤的方式彌足重要. 學生出現運算錯誤的原因多種多樣，常見的錯誤主要表現在新舊知識更替時，對概念、命題、符號間的關系理解得不清楚，出現認知上的編碼錯誤，或認知上的負遷移等.

案例3? “分式”的教學

課堂中，學生遇到了這樣一道計算題：+-.

巡視過程中，筆者發現有學生的解題過程如下：

原式=5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=3x-6.

很顯然，這個結論是錯誤的，然而出現這種錯誤的根源是什么呢？為了從根本上杜絕此類錯誤的再次發生，筆者引導學生仔細分析錯誤原因，以期找出問題的癥結. 通過教師的引導與學生的自主探究，在分析后，該生終于發現自己出現錯誤的原因在于將分式方程的去分母環節遷移到分式計算上了，這是典型的知識負遷移引起的錯誤.

一旦找到錯誤的根源，問題就好解決了. 此時，筆者因勢利導地提出：“這種解題方法顯然行不通，那是否可以從分式方程的角度來解決本題呢？”隨著此問的提出，學生自主進入合作交流的狀態，經討論分析，學生展示出了新的解題方法：

設+-=A，

去分母可得：

5（x+2）-4（x+3）+2（x-2）=（x+3）·（x+2）（x-2）A，

整理得：

3x-6=（x+3）（x+2）（x-2）A.

此時可順利得出結論.

從此過程來看，將錯誤當成一種教學資源，充分發揮其教學意義，即能幫助學生尋找出錯誤成因，又能啟發學生的思維，讓學生領悟知識間的內在聯系，從而厘清運算間的關系，提升運算能力.

2. 對運算過程的反思

教師不僅僅要關注學生的運算錯誤，還要重點關注學生的運算過程，看學生是否能規范、科學地應用運算法則進行運算，觀察學生是否能結合問題條件，探尋到科學、合理、便捷的運算方式［3］. 規范的運算過程，充分體現了學生的運算能力與數學素養.

案例4? “圖形推理”的計算

如圖7，在△ABC中，∠ACB為直角，已知AB=5，BC=12，CO⊥AB，點D為線段BO上的一點，且AC∥ED，DE=2，∠ADE<90°，分別連結CD，BE，若點P，O分別為BE，CD的中點. （1）分別求AO，PQ的長度，（2）若AB，PQ相交于點M，請寫出PM-MQ的值.

第（1）問，用射影定理或等面積法容易解得AO=. 求PQ的長，是用勾股定理（構造直角三角形），還是利用中位線（點P，Q分別為BE，CD的中點）定理呢？

BE，CD這兩條線段并不在一個三角形中，因此無法直接引用中位線定理來解決問題. 根據AC∥ED這個條件，可延長ED與BC相交于點F，可知∠CFD=∠BFE，且均為直角. 在直角三角形BEF中，點P為BE邊的中點，作PH與EF平行，且分別交AB，BC 邊于點R，H，那么PR=DE=1，RH=DF. 在直角三角形DFC中，作QG平行于DF， 與BC邊相交于點G，可知QG=FD. 再連結QR，容易證得四邊形GHRQ是一個矩 形，由此可知△PRQ為一個直角三角形，∠QRP=90°. 經推理可得PQ=.

第（2）問，從第（1）問可知PQ=，只要知道PM ∶ MQ的值，即可獲得問題的結論（過程略）.

從本題的解題過程來看，計算與圖形相關的線段長度，可以應用推理法來獲得結論. 學生在推理過程中，對照自身原有的認知結構，思考所采用的計算策略是否合理，從而有效地提升自身的運算能力，為核心素養的形成奠定基礎.

總之，運算能力是制約學生數學核心素養發展的一個重要因素，教師應在教學中精心設計教學過程，讓學生親歷定理、公式或法則的形成與發展過程，從內心深處感知運算的實際意義. 同時還要注重運算策略的點撥，鼓勵學生加強反思，以便優化運算過程，為形成良好的運算習慣奠定基礎.

參考文獻：

［1］曹才翰，章建躍. 數學教育心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2006.

［2］劉善娜，宋煜陽. 幾何直觀：運算概念教學的有效通道［J］. 教學月刊小學版（數學），2013 （04）：7-10.

［3］崔志榮. 解幾運算教學，讓學生吃點“虧”也好［J］. 數學通報，2018，57（09）：60-62，66.