一道中考數學試題的拓展與應用

鄭衛強

［摘 要］文章以一道中考數學試題為例，找到其與教材的對接點，引導學生體悟典型試題的發生、發散與發展過程，厘清問題的來龍去脈，尋找相同問題的統一解決方案，以加深學生對數學知識的理解，提升學生的思維水平，促進學生核心素養的發展。

［關鍵詞］中考數學；試題；拓展；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0035-04

中考數學試題是數學試題中的典型試題，通過對中考數學試題的分析與解答可以加深學生對數學知識的理解，提升學生的思維水平，促進學生核心素養的發展。在日常教學中，教師應加強對中考數學試題的研究與拓展，深挖中考數學試題中隱含的數學模型和數學思想方法，總結其中的重要結論，從而讓學生能夠“學一題，通一片”。下面，筆者以一道中考數學試題為例進行說明。

一、試題再現與拓展

試題 如圖1所示，直線[AB]交圓于點[A]、[B]，點[M]在圓上，點[P]在圓外，且點[M]、[P]在[AB]的同側，[∠AMB=50]°。設[∠APB=x°]，當點[P]移動時，求[x]的變化范圍，并說明理由。

分析：設[PB]與圓交于點[C]，連接[AC]（如圖2），根據同弧所對的圓周角相等，得[∠AMB=∠ACB=50°]，根據三角形一個外角大于與它不相鄰的一個內角，得[∠ACB>∠APB]，因為[∠APB=x°]，所以[50°>x°]，因此[x]的變化范圍為[0

拓展 當點[P]在圓的內部時，隨著點[P]的移動，求[x]的變化范圍，并說明理由。

與上述解法類似，構造圓周角，利用已知的50°角來確定[x]的變化范圍。如圖3所示，延長[AP]交圓于點[N]，連接[NB]，根據同弧所對的圓周角相等，得[∠AMB=∠ANB=50°]，根據三角形一個外角大于與它不相鄰的一個內角，得[∠APB>∠ANB]，因為[∠APB=x°]，所以[x°>50°]，因此[x]的變化范圍為[50

根據上述兩個問題的分析，我們可以總結出兩個數學模型。

模型一 如圖4所示，點[A]、[B]、[C]都在圓[O]上，點[M]在圓[O]外，點[N]在圓[O]內，則有結論：[∠BMC<∠BAC<∠BNC]，如果把頂點在圓內，兩邊與圓相交的角叫作圓內角，把頂點在圓外，兩邊與圓相交的角叫作圓外角，那么，上面的不等式可用文字語言表達為：圓外角<圓周角<圓內角。

模型二 如圖5所示，如果有一條固定長度的線段[AB]，且所對的[∠C]的大小固定，根據圓周角定理，知圓周角等于同弧所對的圓心角的一半，點[C]的運動軌跡是一段圓弧，如圖5中的[ACB]，這就是定弦定角有隱圓。

二、數學模型的應用拓展

應用1 已知在相對燈塔[A]、[B]的張角為56°的弓形海域內有一暗礁群，如圖6所示，某海監執法大隊正在對燈塔[A]、[B]的張角為55°的[C]處巡航維權，試問是否會有觸礁的危險。

分析：[BC]與[⊙O]相交于[E]，連接[AE]，如圖7所示，根據同弧所對的圓周角相等，得[∠AEB=∠ADB=56°]，因為[∠ACB=55°]，所以[∠ACB<∠AEB]，根據模型一“圓外角<圓周角<圓內角”可得點[C]在弓形海域外，所以沒有觸礁的危險。

應用2 利用所給圖形探究：（1）如圖8所示，圓的兩弦[AB]、[CD]交于圓內一點[P]，若[AC=120°]，[BD=30°]，求[∠APC]的度數；如圖9所示，圓的兩弦[AB]、[CD]交于圓外一點[P]，其他條件不變，求[∠APC]的度數。（2）在（1）中，我們把圖8和圖9中直線[AB]、[CD]的夾角分別叫作圓內角和圓外角。若[AC=m°]，[BD=n°]，請推導出圓內角和圓外角的計算公式。（3）圖8中，若[∠DPB=70°]，[AC-DB=20°]，請利用（2）中公式求[AC]和[DB]的度數，并寫出求解過程。

此題主要考查圓周角定理、弧長公式、三角形內心的定義、等腰直角三角形的性質，其中重點考查“定弦定角有隱圓”，因為本題的定角是135°，所以定角頂點與隱圓的圓心在定弦的兩旁，通過構造等腰直角三角形可獲得隱圓圓心。本題的另一個特殊之處是同一個角扮演了雙重角色，如[∠ADB]既是圓[D]的圓心角，又是圓[O]的圓周角，[∠GDF]既是圓[D]的圓心角，又是圓[O]的圓周角，應注意角色的轉換。

應用6 【發現】如圖16所示，[AB]為[⊙O]的一條弦，點[C]在弦[AB]所對的優弧上，[∠ACB]的度數變還是不變？其理由是什么？反過來，如果平面內線段[AB]的長度固定不變，[∠ACB]的大小確定不變，那么點[C]的運動軌跡是不是一個圓的圓弧？

【研究】我們先從一個特殊的例子開始。如圖17所示，設[AB=22]，直線[AB]上方一點[C]滿足[∠ACB=45°]，為了畫出點[C]所在的圓，必須確定點[C]所在圓的圓心，根據圓周角與圓心角的關系，我們應以[AB]為底邊構造一個等腰直角三角形[AOB]，再以[O]為圓心，[OA]為半徑畫圓，則點[C]在[⊙O]上。請根據思路在圖17中完成作圖。通過作圖與推理，我們可以得出一個一般性的結論，即若線段[AB]的長度已知，[∠ACB]的大小確定，則點[C]一定在某一個確定的圓上，這條弦所對圓心角的度數是定角的度數的2倍，這就是“定弦定角”模型。

【應用】（1）如圖18所示，[AB=23]，平面內一點[C]滿足[∠ACB=60°]，求[△ABC]的最大面積。（2）如圖19所示，已知正方形[ABCD]，以[AB]為腰向正方形內部作等腰[△BAE]，其中[BE=BA]，過點[E]作[EF⊥AB]于點[F]，點[P]是[△BEF]的內心。連接[CP]，若正方形[ABCD]的邊長為2，求線段[CP]的最小值。

從上面的問題可以看出，當定弦所對的角是銳角時，隱圓圓心與定角頂點在定弦同旁；當定弦所對的角是鈍角時，隱圓圓心與定角頂點在定弦兩旁。特別是當定角是鈍角時，不容易找到圓心，此時先找定角的補角，這個補角是一個銳角，這個銳角的2倍就是圓心角的度數。

三、思考與收獲

數學離不開解題。在解題中，要做好解后反思，反思解題思路，反思其中的數學模型，反思結論的拓展，這對于培養學生的數學核心素養尤為重要。中考數學試題是數學試題中的典型試題，教師應充分利用中考數學試題這個巨大的資源，做好試題研究與拓展，找到其與教材的對接點，在教學中引導學生體悟典型試題的發生、發散與發展過程，厘清問題的來龍去脈，尋找相同問題的統一解決方案，做好結論的推廣，從而讓學生能夠“學一題，通一片”。

（責任編輯 黃春香）