“述算”的內涵理解及實踐路向

劉玉勇

摘 要 《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“數學新課標”）在小學計算教學方面呈現了明顯的變化：重視了整體性和一致性，關注計算內容的前后整合和計算中思維的一致性理解。圍繞整體性和一致性，從整個小學階段的計算教學出發，對計算學習進行長程和多樣的“述”活動，培養學生對計算學習的“領悟”“反饋”與“反思”的能力；在計算教學的實踐中，通過對“述算”內涵的解析和發展價值的展望，探尋“述算”教學實踐的整體路向。

關鍵詞 計算教學 數學語言表達 “述算” 整體性 一致性

一、計算教學與計算的表達反饋

計算能力是學生學習數學所必備的能力，是貫穿于學生終生發展所必需的基本思維能力。就小學階段而言，計算占據了數學學習內容的半壁江山。以“小學數學計算教學”為關鍵詞在CNKI平臺檢索1980年至今的中文文獻，可以發現2019年有關計算的研究處于高峰，然后回落；但隨著2022年新課程方案及“數學新課標”的頒布，計算教學再次引起關注。研究主題均偏重于計算能力、教學策略和計算模式等，而對于如何培養學生用數學的語言來綜合表達和反饋計算過程的研究缺少深度關注，基于小學階段計算教學的整體性和一致性的學力提升專項研究也不多。計算常常以技能的形式外顯于數學教學中，造成了很多教師只關注計算能力訓練的價值，而忽視了學生在計算表述過程中思維互動、表達反饋等蘊含的潛在價值。小學數學計算教學也亟待從教師客體的“教”轉向學生主體的“學”，讓學生從隱性接受轉向顯性的主動共享。有鑒于此，本文基于計算教學的整體性、一致性和學生計算素養提升的視角，探究不同學段學生用數學語言表述計算過程及思維過程的特點和規律，即“述算”的特點和規律，以期更好地服務計算教學實踐。

“數學新課標”提出了素養導向的“三會”目標，即：“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”[1]。這三個目標分別對標了學生計算能力培養中的“關系發現和創新力培養”“數學運算和形式推理”“數據意識和模型意識”。可見，計算教學是實現“三會”目標的重要抓手，而如何“用數學的語言表達”計算是計算教學的應然需求。同時，在“數學新課標”11個核心詞中，“運算能力”是唯一以“能力”作為屬性來要求的，這充分凸顯了計算的基礎性和重要性，也意味著需要跨學段打通內容和思維的界限來提升學生的計算素養，從整體性、一致性的視角對計算內容和計算思維進行結構化的考察，關注學生的學程，通過“述”復現計算的過程和語言表達的質態，促進學生計算能力的高質量生長。

二、“述算”的內涵理解

“述算”指學生通過多種形式的數學語言表達對計算的發現和思考，達到計算思維的共享、爭鳴與創新和促進學生計算能力自主和持續提升的目標。按照計算內容及敘述難度的不同，借用SOLO分類理論思想，筆者將“述算”分為三層進階的內容結構。第一層內容是“述算程”，主要運用讀、說形式表述口算過程，提高學生心算能力；第二層內容是“述算理”，主要運用筆算“闡述運算思考”，提高學生綜合計算和運算理解能力；第三層內容是“述算律”，綜合運用多種表達形式“交流、發現與創新”，培養學生對計算思維的深度解讀的能力。“述算”的三階內涵在層次上是遞進的，三者彼此銜接，相互承載。

（一）“述算程”

“述算程”即一名學生先讀題，然后緊接著說出思考過程和結果，另一名學生則對計算全過程進行監控、判斷與評價（優化）。“述算程”主要用于口算、估算等簡單的低、中年級的“心算”計算教學情境中。“述算程”活動可以在正式的學校課堂教學環境中進行，也可以在非正式的家庭、社會教育背景下實施。通過口述的形式，將隱性計算思維顯性化，在記憶算式、讀算口算、判斷和優化反思中，發展學生的多元智能。

“述算程”實質是將“心算”外顯成“口述”，將“心算”的過程進行“慢化”“細化”“柔化”，通過“讀”“說”“評”將計算思維“研磨”“消化”“增值”。“述算程”重在培養學生用口述的形式表達計算過程中的思維狀態。

（二）“述算理”

“述算理”是指在混合運算等稍復雜的計算和數量關系的運算中，通過筆算為主的形式讓學生充分地表述出算理、算法和算序，并關聯計算的“算術”和一般定理，在計算敘述中理解算理、明晰算法、理順算序、優化“算術”、初悟“基本算律”，最后內化成個性化的計算思考。

“述算理”主要運用于中、高學段，重視算理和算法的聯袂表達，促進學生對各種基礎筆算的深度理解和基本關系思維的抽象與優化。

（三）“述算律”

“述算律”是學生先計算，然后再通過觀察、思考，進而發現和表達出計算群組中蘊含的新思考和新運算規律，獲得思維的跨越性增值。

在“述”中，學生通過合情或演繹推理形成新的計算模型，并借助模型發現和解決新問題。“述算律”將抽象、推理、模型、應用相互交融，在“算”與“述”顯隱交互中喚起學生的好奇心、求知欲，發展學生的想象力，為學生計算創新力的發展植下后繼生長的“種子”。“述算律”屬于計算表征的高階階段，與學生創新能力密切相關。在計算群組的情境對比中，學生的思維方式靈活切換并集約化組合，走出計算思維的“困境”，主動尋找運算中規律的新模型。

三、“述算”的實踐路向

圍繞“數學新課標”中的“三會”目標，“述算”教學中有其自身的實施原則和方式。

（一）“述算”的實踐原則

1.一致性原則。“述算”是學生計算學習的一種組織形式，在“述算程”“述算理”和“述算律”這三種形式中，都是以“述”的形式（口述、筆述）貫穿于計算全程。

“述算”活動的一致性要求在計算教學過程中：①用“述”來理順計算的前提、思維、結論之間的一致的邏輯自洽關系；②表述內容的重心應放在算理呈現、思維表達及思維創新上，培養學生拓展思維的習慣；③在交流中，教師要引導學生從計算學習的困厄引至理解再到清晰表達上，促進思維自主且深度發展；④要在表達中使學生思維從個體隱性的“發生”變成群體顯性的“發聲”，“表里一致”，在爭鳴與悅納中走向計算的高階思維。

2.整合性原則。“述算”從形式到內容都是整體構架：在組織形式上，活動小組通常采用兩人或多人合作，以組內協助或組際合作的形式完成“述算”過程；在內容上，包含了小學階段所有計算內容，通盤考慮不同學段計算內容的分布，形成基于計算內容的“三階”整體結構。當然，內容亦可向幼兒園或者初中進行整體銜接。在對“述算”進行整體構架后，學生計算能力培養要能更多地指向能力以外的成長。例如，通過“述算”活動，讓學生在溝通順暢、人際關系和諧、運算熱情釋放、計算價值補償、評價效果增值、群體計算內驅生長等方面，得到鍛煉和成長。另外，利用“述算”整體化結構形式，讓學習關系的賦權更具進階性，即從自我為中心的學習到課堂合作學習，再升格為“去中心化”的信息高速交換的“無邊界”學習。“述算”活動處于“教—學—評”周期的中、末端，通過讓學生“述學”“述評”活動的真實反饋，達到以“述”引“教”，整體推進計算的“教—學—評”一致性的閉環增值。

3.層進性原則。“述算”活動具有層進性。“述算程”主要是借助口算（估算）來表達計算過程中的陳述性、程序性問題；“述算理”主要是通過筆算來表述算理、混合性的運算秩序和基本定律；“述算律”則要通過深度思考，發現并闡述復雜、整合性的計算規律，并用規律解決問題。“述算程”“述算理”“述算律”融入在不同學段，在計算教學中要分別呈現出“認識事實”“理解觀念”和“像專家一樣研究數學”三種遞進的主體參與狀態，形成“三位一體”的學生“述算”能力逐步提升的層階結構。

4.思辨性原則。思辨性思維是一種系統性的思考過程，運用觀察、體驗、反思、溝通等多種方式方法，對事物進行認識、分析、辨別。因此，“述算”教學實踐中培養學生的思辨性思維尤為重要。在“述算”教學實踐中，有的老師在時間安排上缺乏穩定性和持續性；在教學內容安排上缺少整體前瞻性的目標指向，特別是缺乏長程的專項訓練安排，或者有的只重視計算結果的判斷，缺少思維過程表述的細化和深化；有時為了追求“述算”時效，只重視班級計算結論的統一呈現，而忽視了小組內平等個體的爭鳴與創新，出現碎片化教學的現象。因此，在計算教學中，教師要重視“述算”的思辨性的呈現。

堅持“述”的常態與動態化實施，讓思辨有時空，形成習慣；要重視面對面的計算多樣化與抽象化的表達，讓思辨有個性，激發創新；由點及面地培養學生的想象、推理、論證、理解表達等能力，讓思辨有合力，懂得思維；將個體真實表達和集體智慧共“述”相互結合，讓思辨有氛圍，學會共享。

（二）“述算”的實施方式

1.“述算程”的實施。“述算程”主要針對口算和估算。筆者從14年前就進行了口算訓練的關注與研究，實施主要過程為：（1）先準備一份口算題（無答案），孩子讀題，再讓其講出計算過程和結果；（2）另一人（同學、老師或者家長等）看題、聽讀、核驗，關注題目是否讀錯、計算過程是否簡潔合理、計算結果是否正確；（3）“讀算”結束后，另一人再進行反饋、修正、溝通。“述算程”活動可以在學生之間、師生之間、孩子與家長之間進行，對象多元、活動形式多樣、學練兼修。

“述算程”活動是低年級老師經常采用的形式，在實踐中可能會出現以下問題：缺少長程化的小組合作訓練，或缺少計算過程中思維表達力的呈現，造成“述算”活動多浮于淺表或過于零碎。因此，口算表達活動中需要給學生更多元的“述算”時空，在計算表達的多樣化和交流反饋的“慢”中增強學生的計算能力。同時，“述算程”訓練實施中要關注計算資源使用的“智慧”：如口算題卡可橫著讀、豎著讀、跳著讀、倒著讀、創編讀等多種形式，豐富有趣的資源利用形式可以培養學生基于計算的細致觀察力和多樣化的思維表達能力。

2.“述算理”的實施。“述算理”主要針對小學中、高年級學段的混合運算及常見數量關系（如方程、比例）的運算，對計算的算理、思維方式和運算規律及策略進行介紹、反思、發現、共享、評介與爭鳴。在“述算理”實施中需要關注以下幾點：

（1）要注意計算過程的一致性表達，形成計算的整體理解力。以小數乘法[0.35 × 0.7]運算為例，其筆算過程如下：

0.35 × 0.7 =（0.05 + 0.3）× 0.7 = 0.05 × 0.7 + 0.3 × 0.7 =（5 × 7）×（0.01 × 0.1）+（3 × 7）×（0.1 × 0.1）= 0.035 + 0.21 = 0.245

在筆算中，通過“運算律（乘法分配律） + 計數單位”這兩個核心概念的組合運算，小數乘法筆算算法初步形成。教師要進一步引導學生觀察、思考，總結得出“計數單位的個數和計數單位的個數相乘，計數單位和計數單位相乘”。因此，乘法算式就可以直接變成 0.35 × 0.7 =（35 × 7）×（0.01 × 0.1）= 0.245，其算理意義就表示（35 × 7）個（0.01 ×0.1）這樣計數單位的積，即數與量分別運算，數與數相乘，量與量相乘。

（2）要圍繞數量關系的闡述，提升整體抽象和分析能力。“廣義上的數量關系存在于數學的各個領域內容之中”[2]，因此，也要重視計算中數量關系的一般和抽象的“述”，建立關系間的關聯。例如，在正比例量之間變化規律上，教師要引導學生從常量和變量變化特點上發現規律，初步體會計算中的函數思想，為初中方程、不等式和函數的學習奠定基礎。

（3）要結合規律定理進行“實境化”表達，鍛煉演繹推理能力。在關注抽象的同時，也要重視演繹推理的表達，即將計算方法、“算序”“算術”、基本運算規律的文本表達或字母式表達進行個例化聯想并“反述”。例如“（a + b） × c = a × c + b × c，這個字母等式表示的關系，你可以聯想到什么樣的實際條件關系和問題？舉例說一說。”通過對乘法分配律進行“實境化”聯想，鍛煉學生演繹推理能力。

（4）要重視生活內容的具身融入，彰顯情境計算的價值。“具身認知……把身體整合到現有的認知科學中，使它成為認知科學可處理的對象。”[3]計算教學要能讓學生“沉浸”到真實情境中，包括生活情境、科學情境和數學情境。例如，在混合運算教學中，教材將運算順序和運算律的教學置于買衣服的生活情境中（如圖1），還可以置放于求圖形面積和的數學直觀情境里（如圖2）。

（5）要增加部分內容的教學比重，凸顯與段融合的前瞻性。“數學新課標”將方程后移到初中，將用字母表達的重心從“數”轉向“式”和“關系”，并增加課時，這樣的轉變為今后方程的教學做好銜接，也為下階段“述算律”的創新發現提供抽象理解的基礎。

3.“述算律”的實施。“述算律”實施主要通過設置挑戰性的計算問題，讓學生進行多樣性和創新式的探究，充分表述問題解決路徑或規律模型。“述算律”階段，教師要提供豐富的問題資源，激發學生發現運算規律和創新表達的意愿，進而促進深度思維的發展。

（1）創建“述”的可視。這里的“可視”，是指將運算規律問題借助圖形進行表征和理解，促進學生幾何直觀能力的發展。教材上除常見的四則運算律教學內容外，還有很多可供開發的計算教學資源。以蘇教版三年級下冊“有趣的乘法算式”中“頭同尾合十”的兩位數乘以兩位數計算規律的探索為例，如23 × 27就屬于“頭同尾合十”的計算規律，按照“頭加1乘頭，兩尾乘積接后頭（積未滿兩位，十位上補0）”的計算規律，用2 × （2 + 1） = 6，3 × 7 = 21，這個數百位是6，十位和個位合起來是21，結果是621。我們可以用平面圖形面積的知識來“可視化”理解“頭同尾合十”的計算規律，見圖3、圖4：將長20、寬3的長方形旋轉平移到長20、寬7長方形的右側，然后再和邊長20的正方形合在一起，三者的總面積為20 × 30，也就是2 × （2 + 1）個百，還剩一個長7、寬3的長方形面積21，相加是總面積，圖形呈現的是等積變形思想。

在數形結合的可視化思想激勵下，學生還可能引發“‘尾同頭合十會不會也有計算規律”的疑問，鼓勵學生利用畫圖可視策略進行速算規律的探尋，還可以通過創新作業的形式予以多樣思維呈現。

（2）創設“述”的深挖。“述算律”不能止步于問題解決的結果，還需要有一定的深度挖掘，拓展學生對問題的追問技巧和審辨意識。

如：11 × 11 ? ? ? = ?（ ?）

111 × 111 ? ? ? ? = ?（ ?）

1111 × 1111 ? ? = ?（ ?）

11111 × 11111 = ?（ ?）

上述題組中，可以用計算器計算前三道問題，學生在計算中通過觀察、對比，發現計算結果的特點，并用數學語言表述并共享速算規律；也可以讓學生列豎式計算發現速算算理。在上述算律探究中，“述算律”要關注：一方面要說出算式特點，再說出計算方法和結果的特點，實現“式”“理”“法”“律”的層進對應，述出“一致”；另一方面，要利用大的數據讓學生感受到算律思維的高價值。如，根據發現的規律，可以計算出“111111111 × 111111111的結果是多少”（12345678987654321），真切感受到用規律算比用計算器計算還要簡潔快速，述出“價值”；通過上述問題中數的結構特點，也可以引入“回文”及“回文數”的跨學科人文知識的“述”，感受到數學的神奇，述出“聯系”；同樣可以繼續引發學生思考和提問，如用10個“1”組成的數乘以10個“1”組成的數，是否還具有上述“回文數”的規律呢？結果是1234567900987654321，即當1的個數大于9個時，計算結果不是“回文數”，述出“嚴謹”。對計算問題進行多維挖掘，體現了“述”的深度化思想，也呈現了數學計算的簡潔性和科學性，在“述算律”的共享和爭鳴中，學生的計算素養得到提升。

（3）創造“述”的“神奇”。“興趣是最好的老師”，“算律”同樣可以制造奇趣的問題情境，激發學生主動參與探究的熱情。

在“算律”的支撐下，對計算資源、問題情境進行創新“包裝設計”，可以產生意想不到的神奇效果。例如，如圖5所設計的“讀心術”：從左至右分別為1—5號卡片，讓學生從1至31這些數中任意選一個數默記在心中，然后只要說出哪些卡片中有這個數，便能快速猜出學生想的這個數。

五張卡片的設計是“魔術”的關鍵：所有卡片上的第一個數用“偽裝”成2的0次方到2的4次方，通過規律運算，使每張牌第一個數就可以分別確定是“1、2、4、8、16”，牌上其他數字都是由這些牌的首個數字進行分解或有序連加。例如，在編制時，由于15 = 1 + 2 + 4 + 8，因此需要將15放在1、2、4、8所在的牌中，即從左往右第一、第二、第三和第四張牌中。猜數過程實質和編制卡片思路相反，是從分解再走向合并的過程。例如，有一個數在第一張和第五張就可以發現這個數是1 + 16 = 17。

由于牌上的數是1—31（最大31，因為1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31），因此，還可以將這些牌再繼續“包裝”成“日期魔術卡”，創編成“猜生日”的數學魔術，在“述規則”“述算律”中讓孩子們解密魔術，感受魔術的好玩和計算規律的神奇。

利用這樣的魔術原理還可以結合生活繼續創編，如圖6，設計出1—12的四張牌后，將數字可以“換裝”成十二生肖，則可以再開發出“生肖讀心卡”。如，某人生肖在第一張、第二張和第三張（首個數字1、2、4的卡片），則在不看卡片的情況下就可以快速口算出來是1 + 2 + 4 = 7，最后快速“讀心”結果就是“馬”。

對卡片進行編寫與“讀心”的活動，實質上是基于一定計算規則和規律的思維編譯和破譯的互逆過程。學生在卡片編寫、“包裝”“讀心”計算和關系轉化中，都基于充分的數學交流，在“述算律”“用算律”中培養他們的創新意識和能力。魔術中，“算律”促成了“隱身”，“包裝”形成了“趣味”，而“述”則是數學魔術再學習的“動力”。

（4）創生“述”的泛化。泛化這個概念最早源于巴甫洛夫有關條件反射的普遍化解釋。結合“數學新課標”，這里的“泛化”指從個別、具體的計算規律轉變成為一般的和跨內容的規律，最終實現知識的遷移和思維創新的增值。從行為主義角度來看，學習活動本質上是尋找與自己前置知識相似結構，再泛化遷移，實現知識的舉一反三和重構。“述算律”中，教師要對計算資源有序整理、合理分類、多樣盤活，創建便于學生泛化所需的資源。例如，以“計數單位”來整合數和運算，就讓算理有了一致性，便于遷移。在此核心概念引領下，學生計算思維、運算規律都可以從“計數單位”這個核心概念出發，提升學生運算能力。如圖7，從這幾個圖形抽取出的數及運算的模型則都是“公差為1的等差數列的和”。在左邊一維線段中，所抽象出的有序數線方法和規律運算模型，即數線時“從左往右逐點數線計數，計算方法是連續遞減自然數相加”，其他二維圖形也有相似的結構特征和數法規律。通過數線段算法模型的進一步遷移泛化，發現平面圖形和線段算法具有一致性。教師要引導學生進一步探究數學語言表達的核心“為什么都是3 + 2 + 1”，即數法上有什么相似的規律，算法和數法有什么對應關系，引導學生歸納總結出：都是先從某個點（線、面）出發，朝相同方向（角度）有序累計，再進行下個起點的有序計數和合并累加。通過有序尋點、有序計數、有序計算，規律統整和算法規律優化，讓“序”打通了數形結合的壁壘，培養了學生觀察、發現、表達和解決結構相似問題的能力。讓學生能準確理解并熟練轉換數學語言，掌握數學思維、表達和交流的工具[4]。

綜上訴述，抽象、推理和模型是數學計算的核心思想，“述”可以充分凸顯三者價值：“述算程”促成了計算抽象理解，“述算理”促進了計算理性分析，“述算律”促生了計算模型創生泛化。

[參 考 文 獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-6.

[2]馬云鵬.怎樣理解“數量關系”學習主題[J].小學數學教育，2022（6）：11.

[3]汪新建，張曜.心靈計算理論與具身認知的哲學反思[J].南京師大學報（社會科學版），2015（4）：109.

[4]陳旺富.小學數學語言轉換中表達能力的培養[J].中小學教學研究，2018（12）：78-80.

（責任編輯：楊紅波）