分析結構，有的放矢

陳琮化

【摘要】本文對“因式分解”的教學進行了系統地回顧和分析，著眼于培養和樹立學生的數學核心素養，幫助學生從整體入手，對學生的困惑進行分析梳理，再進行系統性解構，在“因式分解”學習過程中逐步形成知識結構化的學習，激發學生積極思考、敢于鉆研的能力，使學生熟練掌握“因式分解”的形式變化，靈活運用恰當的方法解題.

【關鍵詞】多項式結構分析；因式分解；教學思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出：“數與代數是數學知識體系的基礎之一，是學生認知數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石，可以幫助學生從數量的角度清晰準確地認識、理解和表達現實世界.”

“數與式”作為代數知識體系中的基本語言，用字母表示代數式及數量關系，用代數式的運算和推理進行一般性結論的表述和總結，以及借助代數式理解和分析實際情境中的某些簡單問題，能夠幫助學生實現對代數模塊體系知識的歸納和梳理、常見解題方法的總結和運用、重要數學思想的滲透和遷移以及數學核心素養的培養和樹立.

1 因式分解教材分析

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，對因式分解的具體要求是：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數為正整數）.同時，能利用因式分解法解數字系數的一元二次方程.

這也就意味著，因式分解的學習建立在“整式的乘法”的基礎上，對代數式的恒等變換提出了更高的要求.在實際的教學過程中，能夠幫助學生熟練、靈活地掌握因式分解，對后續多項式運算問題的處理、分式綜合運算、解一元二次方程組、二次函數、銳角三角函數等相關的恒等變形，以及對某些簡單的實際問題進行數學建模后的運算，都有舉足輕重的作用.

教材從整式的乘法開始教學，以“在代數式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式”作為引入，要求學生利用之前學習過的“整式的乘法”的相關知識，教師作為引導者的角色，引導學生通過啟發得出因式分解的定義，并對“整式的乘法”及“因式分解”之間的關系作出了明確的界定：“因式分解與整式乘法是方向相反的變形”.

在該內容的教學中，教師應通過啟發式的引導，幫助學生能夠深入體會到二者在恒等變形之間的互逆關系，進而在后續的教學中進一步讓學生在這樣的關系中感知、體會、觀察并掌握因式分解的基本方法，幫助學生明確認識到針對不同結構的多項式需要使用不同的、恰當的因式分解技巧.

其中，提公因式法選取“pa+pb+pc=pa+b+c”為切入點，引導學生觀察、總結組成多項式中的各項中具有的公因式，并利用“乘法分配律”的儲備知識，總結出“提公因式法分解因式”的一般性方法.

而因為在“整式的乘法”中，學生已學習掌握了平方差公式、完全平方公式的相關知識，教師只需要根據上文中提及的“互逆關系”即可引出“公式法分解因式”的常用結論：a2－b2=a+ba－b；a2±2ab+b2=a±b2.在引出結論后，教師需要對可利用平方差公式及完全平方公式進行因式分解的多項式進行結構化分析，幫助學生理解并掌握什么結構的多項式才可以使用這一基本方法進行因式分解.

通過上述教材分析，筆者感悟到教材本身對因式分解的定位主要是注重培養學生觀察、分析的數學技能，培養學生深入遷移數學知識的能力，另外也培養了學生的抽象能力和逆向思考能力，幫助學生能夠提高應用意識和創新意識，為后續代數知識體系的建構奠定更加牢固的基礎.

2 關于“因式分解”的教學思考

筆者在教學實踐過程中發現，學生在學習因式分解的過程中，往往會出現一些困惑和阻礙，圍繞這些問題，教師的教學也應從中進行深入的探索和調整.這主要集中體現在以下幾個方面.

2.1 什么是因式分解

學生對于因式分解概念的理解經常會陷入一個循環誤區.例如，有的學生將一個整式進行因式分解后，又利用整式乘法運算還原成多項式，這類錯誤在化簡求值、恒等變形類題目中很常見；又如，有的學生始終無法做到對多項式進行徹底的因式分解，主要原因是學生沒有理解為什么因式分解要徹底.

對于因式分解而言，可以類比整數的除法中要將合數進行徹底的分解為質因數的原理，幫助學生認識到將多項式進行徹底的因式分解，目的都是為了便于能夠在多項式的一些除法運算中進行合理、正確地約分運算.

在新課標視角下，理解性教學的觀念應深入課堂.“理解”對于概念性知識的學習來說至關重要，所以教師在教授因式分解概念的時候，要對教材整章的相關內容有單元性地整體化解讀，圍繞單元主題，將因式分解的核心概念與已學知識進行聯系.這并不是按部就班地根據教材進行講解，而是要根據教材中的實際情況，盡可能設計出真實問題，用引導性的方式，幫助學生形成概念性知識的理解力.

2.2 學習因式分解的意義是什么

在新課標視角下，尋找出知識之間的內在聯系，建立新知識與舊知識之間的普遍聯系和遷移關系，將課程內容具體化，并整合成具有內涵、可延伸性的大單元主題，是教師在本章內容教學中的重要著力點.

具體來說，對于整式的乘法而言，最終的運算結果均為整式.但整式的除法則不然，例如：x2除以x+1，可以表示成x2x+1，但這個結果并不是整式.與整數的除法類似，整式的除法也會出現可以約分的情況，例如：3x4x，在分子和分母中均存在公因式x，可以將x約去，得到結果3x3.這對于學生來說并不難理解.

但如果是較為復雜的整式除法，例如：x2+2xy+y2x2－y2，那么學生需要根據之前學習過的整式乘法公式，對分子和分母進行逆形式的處理，將原式轉化成：x+y2x+yx－y，通過觀察，可以將分子和分母中的公因式x+y約去，能得出最簡結果x+yx－y.這就是后續要學習的分式約分運算.

所以，為了能夠更好地掌握整式除法運算及分式綜合運算，學習因式分解的意義和必要性不言而喻.教師在處理這一部分課程內容時，要利用類比教學的方式，形成學生能夠適應和理解的知識遷移方式.

2.3 如何運用恰當的方法對多項式進行因式分解

很多學生在學習因式分解的過程中，無法熟練、靈活地運用恰當的方法對多項式進行因式分解.主要原因是學生對多項式的組成結構分析能力不足，無法快速、準確地分析多項式適用的因式分解方法.其中也有學生觀察能力、抽象能力、應用能力不足的因素.

在學習因式分解之前，學生已經學習了整式的乘法的相關知識.現筆者就三種因式分解的基本方法為切入點，提出一些對多項式組成結構解析的教學思考：

2.3.1 提公因式法

學習提公因式法，應首先分析多項式的組成結構，明確“公因式”的概念內涵，再從“乘法分配律”的儲備知識入手，進行多項式的因式分解.

例1 分解因式：2x2y－4xy2.

分析 首先該多項式是由2x2y和－4xy2兩個單項式組成，其中2xy為公因式，將其提取出后，根據“乘法分配律”的逆形式，能夠得出提取后各單項式剩余組成部分應分別為x和－2y，即可得出因式分解后的結果.

解 原式=2xyx－2y.

借助上述問題，教學中教師應著重講解如何辨別組成多項式的各單項式的公因式，并引導學生觀察各單項式的組成結構，類比整數中“最大公因數”的甄別方式，將各單項式進行逐一拆解，例如：2x2y=2·x·x·y；－4xy2=－2·2·x·y·y.通過觀察，即可明確2·x·y為二者的公因式.

提出公因式后，同樣類比整數乘法分配律的逆形式，利用整式的除法，求出單項式提取公因式后的結果，類比如下：

15+12=3×5+3×4=3×5+4；

2x2y－4xy2=2xyx－2y.

其次，教師在教學過程中，應引導學生避免出現一些常見的錯誤.

例2 分解因式：2xy2－3x2y+xy.

解 原式=xy2y－3x+1.

有的學生在處理這類問題時，會出現這樣的答案：2xy2－3x2y+xy=xy2y－3x，要引導學生注意對“1”和其他常數的處理.

另外，教師需引導學生學會觀察并甄別公因式存在的多樣性，

例3 分解因式：ax－y+bx－y.

解 原式=a+bx－y.

在此類因式分解中，公因式以整體的形式存在，例如本題中的x－y，需將其作為一個整體公因式進行提取.這對學生觀察多項式的組成結構提出了更高的要求.

2.3.2 公式法

學生前期已完成了平方差公式和完全平方公式的學習，因此對公式法因式分解的教學，應著重從多項式的特征結構入手，引導學生學會觀察需要進行因式分解的多項式是否適用于乘法公式.

例4 分解因式：4x2－9y2.

分析 該多項式為二次二項式，可以看成4x2和9y2的差，同時，根據積的乘方，明確4x2=2x2，9y2=3y2，滿足平方差公式的結構要求，可利用平方差公式進行因式分解.

解 原式=2x2－3y2

=2x+3y2x－3y.

在本題中，教師應幫助學生明確多項式若要滿足利用平方差公式因式分解的要求，必須能將各組成項轉化成兩個平方式相減的形式，若無法轉化，則無法利用平方差公式進行分解.但與此同時，若出現較為復雜的結果形式，則需要對分解后的結果做進一步的化簡處理.

例5 分解因式：x－2y2－9x2.

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y.

在本題中學生根據平方差公式因式分解后所得出的結果，并不是因式分解的最簡結果.遇到此類問題時，教師應進一步引導學生繼續觀察，是否已將多項式分解徹底，是否還能夠繼續進行因式分解，要引導學生觀察4x－2y以及－2x－2y中均存在公因式，需進一步進行分解.正確解法如下：

解 原式=x－2y2－3x2

=x－2y+3xx－2y－3x

=4x－2y－2x－2y

=－22x－yx+y.

綜上所述，對于復雜形式的平方差公式，學生往往會容易掉以輕心，認為運用平方差公式后就已結束多項式的因式分解.教師需通過講解例5，讓學生學會舉一反三，避免出現不必要的錯誤.

而對于完全平方公式來說，更是學生在學習公式法分解因式時的難點.相比平方差公式而言，其結構更為復雜，需求也更為嚴格.

例6 分解因式：4x2－12xy+9y2.

分析 根據完全平方公式的最簡結果的特征，明確能夠使用完全平方公式進行因式分解的多項式需滿足包含“兩式平方和”“兩式乘積的2倍”的結構.本題中4x2=2x2，9y2=3y2，12xy=2·2x·3y，因此該多項式滿足完全平方公式中的結構特征，可進行因式分解.

解 原式=2x2－2·2x·3y+3y2

=2x－3y2.

例7 分解因式：x2－6xy+4y2.

分析 該多項式中，4y2=2y2，6xy=2·x·3y，因此原式可化為：x2－2·x·3y+2y2，通過觀察和甄別發現該多項式并不滿足完全平方公式的結構，因此不能使用該公式對該式進行因式分解.

綜上所述，運用平方差公式和完全平方公式分解因式時，要熟悉公式的形式和特征，重點分析項數、系數和指數來選擇使用什么公式完成因式分解.在教學過程中可以適當列舉一些反面示例，加強學生對多項式組成結構的感知.

3 結語

要建立因式分解的知識結構，核心應從因式分解的概念出發，幫助學生能夠根據多項式的結構、組成，得出因式分解方法技巧的運用規律.學生需要經歷思維的逆向性轉變過程，要能夠從整體知識結構著手，靈活地運用因式分解的基本方法對多項式進行分解.將知識進行結構化教學、整體性單元教學，也是幫助學生樹立數學核心素養的重要途徑和方法.

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