二次函數(shù)中三角形面積最值問(wèn)題的解題策略

張曉

【摘要】初中數(shù)學(xué)教育在素質(zhì)化進(jìn)程中不斷改革，教學(xué)過(guò)程中素質(zhì)教育的理念滲透越來(lái)越強(qiáng).既往開展的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以二次函數(shù)問(wèn)題為例，傳統(tǒng)教學(xué)方式的不足越來(lái)越顯著，并沒有從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度切實(shí)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.本文針對(duì)初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中存在的不足進(jìn)行分析，從二次函數(shù)中三角形面積最值的問(wèn)題入手，從多元化解題思路的角度為優(yōu)化數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)提出建議.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；解題

隨著初中階段新課程改革進(jìn)程持續(xù)推進(jìn)，數(shù)學(xué)課改中將對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育作為重點(diǎn)發(fā)展方向.但目前初中階段的二次函數(shù)教學(xué)仍以常規(guī)的教學(xué)方式為主導(dǎo)，學(xué)生在面對(duì)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)思路不夠靈活，方法不夠多樣.長(zhǎng)此以往，學(xué)生可能逐漸失去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)態(tài)度不夠積極，成績(jī)下降[1].教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題并積極討論研究，在函數(shù)教學(xué)實(shí)踐中優(yōu)化教學(xué)模式，提升學(xué)生解題能力成為一項(xiàng)熱點(diǎn)課題.

素質(zhì)教育下，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)工作應(yīng)將重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生多元化解題能力、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性、滿足學(xué)生全方面發(fā)展的需求上.以二次函數(shù)中三角形面積的最值問(wèn)題為例，教學(xué)過(guò)程中教師可以通過(guò)改良教學(xué)方法，引入新的教學(xué)模式，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入新的活力.這樣有助于引導(dǎo)學(xué)生逐漸形成多元化的邏輯思維能力，解題思路更靈活多樣，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生學(xué)科成績(jī)及綜合素養(yǎng).

1 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題思路與多元化解題

初中階段，學(xué)生不同程度地了解了函數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容.年級(jí)升高后，函數(shù)內(nèi)容也將迎來(lái)更高的難度.學(xué)生理解抽象特征更顯著的內(nèi)容，解答函數(shù)問(wèn)題需要的理解力、學(xué)科素養(yǎng)都高出一個(gè)等級(jí).部分學(xué)生在二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)中成績(jī)不佳，可能是因?yàn)樽陨砝斫饽芰Σ蛔恪W(xué)習(xí)方式不正確，也可能是因?yàn)榻處煵捎玫慕虒W(xué)方式陳舊、死板.這些問(wèn)題普遍存在于各級(jí)初中學(xué)校的二次函數(shù)教學(xué)實(shí)踐中.學(xué)生在遇到解題方式自由度較高的問(wèn)題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)很大的困擾，解題時(shí)容易被固定思維所限制，不能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想觀念看待和解答問(wèn)題，最終的結(jié)果就是解題效率和正確率不高[2-3].

多元化的解題方法，重視的是解題方式的創(chuàng)新與探索，要求學(xué)生遇到不同的題目時(shí)能靈活地變換解題方式，臨危不懼.以二次函數(shù)中的三角形面積最值問(wèn)題為例，教學(xué)中引入多元化的教學(xué)方式，以多元化的涵義為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單角度理解問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思想看待問(wèn)題，在方法中融入課本基礎(chǔ)知識(shí)，切實(shí)發(fā)揮多元化教學(xué)模式效果，提升教學(xué)成效.

2 二次函數(shù)中三角形面積最值函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)

初中學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，求函數(shù)解析式的難度較高.這是因?yàn)椴糠謱W(xué)生解題思路單一、固定，面對(duì)求解函數(shù)問(wèn)題時(shí)的首選方式就是通過(guò)一般表達(dá)式解析，而對(duì)函數(shù)交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式的解析式不夠熟悉，運(yùn)用不熟練[5].一旦題目中限制了函數(shù)解析式的使用類型，這部分學(xué)生可能會(huì)手足無(wú)措，解決與數(shù)形結(jié)合相關(guān)的問(wèn)題難度大，正確率低.初中階段函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，除了要求學(xué)生掌握函數(shù)基礎(chǔ)概念與公式，還涉及數(shù)與形的結(jié)合等內(nèi)容.但部分學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)尚未建立起完整的知識(shí)體系，突然面對(duì)綜合性題目，很難在短時(shí)間內(nèi)理解和解答問(wèn)題[6-7].

分析近年來(lái)各大知名初中學(xué)校校內(nèi)的二次函數(shù)試題以及省中考試題，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題考查分?jǐn)?shù)占比較高，題目對(duì)學(xué)生的理解和數(shù)形結(jié)合能力有較高的要求，解題方法往往不固定.分析學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的解答，發(fā)現(xiàn)第一小問(wèn)概念性較強(qiáng)，學(xué)生如果熟悉函數(shù)基礎(chǔ)概念與公式，就能快速、準(zhǔn)確答題.而第二小問(wèn)中的難度較高，是因?yàn)轭}目的綜合性較強(qiáng)，學(xué)生難以把握題目中的關(guān)鍵信息，難以找到最簡(jiǎn)便的解題方法，可能在這一題上耗費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間，可能回答錯(cuò)誤.

3 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中三角形面積最值問(wèn)題的教學(xué)策略

3.1 強(qiáng)化對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維的培養(yǎng)

為了讓學(xué)生能高效率、高質(zhì)量地完成函數(shù)部分的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)效果果穩(wěn)健提升，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，并通過(guò)引入多種教學(xué)方法，幫助學(xué)生在面對(duì)不同類型的問(wèn)題時(shí)，能靈活應(yīng)用不同方法，既快速又準(zhǔn)確地解答各類函數(shù)問(wèn)題.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情的影響下，遇到難題時(shí)才不會(huì)產(chǎn)生挫敗感和厭煩的心理，而是會(huì)堅(jiān)持主動(dòng)尋求問(wèn)題的最佳解題方式.

初中二次函數(shù)教學(xué)中，常用的教學(xué)方式有聯(lián)系日常生活、轉(zhuǎn)化思維能力等.聯(lián)系日常生活可以將課本上的函數(shù)問(wèn)題具象化，讓學(xué)生的視野不必再拘泥于教材中的內(nèi)容，讓學(xué)生脫離函數(shù)中的抽象性，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.轉(zhuǎn)化思想實(shí)質(zhì)上是一種面對(duì)不同類型的問(wèn)題時(shí)，能夠采取某一種轉(zhuǎn)化的方法.轉(zhuǎn)化的歷程，能讓學(xué)生在面對(duì)難度高、陌生的問(wèn)題時(shí)，聯(lián)系自己熟悉的問(wèn)題或是有簡(jiǎn)便解題方法的問(wèn)題.這樣的思想方法在學(xué)習(xí)過(guò)程中的實(shí)際運(yùn)用，將大大提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率和效果[8]

下面以一道二次函數(shù)中三角形面積最值的問(wèn)題為例，分析教學(xué)中轉(zhuǎn)化思維的解題方式.

例 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-3，-2）和點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)P為第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求圖中拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)△BPC的面積取最大值時(shí)，求△BPC面積及點(diǎn)P的坐標(biāo).

將點(diǎn)D、點(diǎn)E左邊代入函數(shù)表達(dá)式，解得函數(shù)表達(dá)式為：y=-29x2+23x2+2.

（1）補(bǔ)形法：用補(bǔ)形方法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，如圖2，將斜三角形面積轉(zhuǎn)化成矩形面積減去三角形的面積.過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為M.過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PM，垂足為N，四邊形OBNM為矩形，則利用定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，求得三角形面積.

（2）分割法：以轉(zhuǎn)化的思想將斜三角形分割成底與高分別與坐標(biāo)軸平行的三角形，充分利用定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)來(lái)求三角形面積.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)F，△BPC就分割成△HPC和△HBP.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥PF于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PF，如圖3所示.

（3）平行線法與切線法：以補(bǔ)形和分割方法為基礎(chǔ)，可以延伸、轉(zhuǎn)化出平行線法與切線法.以切線法為例，如圖4，若P點(diǎn)在拋物線上使△BPC的面積達(dá)到最大值，須使PE∥BC且與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn).P點(diǎn)在拋物線上，PE與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，BC邊上的高才最大.

從以上用轉(zhuǎn)化思維解決二次函數(shù)中三角形面積最值的問(wèn)題中，可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想方法廣泛地蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)內(nèi)容之中.為了便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解，教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)需要切實(shí)從教材的知識(shí)出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想在教材上的眾多知識(shí)內(nèi)容之間建立關(guān)聯(lián).這樣學(xué)生就可以對(duì)教材內(nèi)容建立明確、具體化的知識(shí)架構(gòu)，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶與理解能力，在遇到各類問(wèn)題時(shí)能快速、靈活調(diào)用學(xué)到的知識(shí)，在原有的學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上對(duì)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想有更深刻的認(rèn)識(shí)，有更靈活的運(yùn)用能力[9].

初中階段為學(xué)生安排的教學(xué)活動(dòng)，往往具有一定的規(guī)律，那就是先一般后特殊、先簡(jiǎn)單后復(fù)雜、先直觀后抽象.如果能將轉(zhuǎn)化思維的教學(xué)同教學(xué)活動(dòng)的開展規(guī)律協(xié)調(diào)一致，形成思想方法與具體教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)融合，將有效增進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，從而提升學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的掌握和解決能力.

3.2 信息技術(shù)呈現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合過(guò)程具象化

二次函數(shù)中的三角形面積最值問(wèn)題，屬于函數(shù)與圖形有關(guān)的問(wèn)題，常規(guī)的教學(xué)方法下很大一部分學(xué)生很難直接在腦海中構(gòu)建出圖形結(jié)構(gòu).課堂教學(xué)過(guò)程中，如果教師能將教具、新媒體技術(shù)引入課堂環(huán)境中，以更加直觀的方式將教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)在黑板或多媒體上，能讓學(xué)生在初步接觸這類知識(shí)時(shí)省去自主想象圖形結(jié)構(gòu)的過(guò)程，直接觀察后接受新的數(shù)學(xué)知識(shí)，更便于起步階段的學(xué)習(xí)理解.久而久之，學(xué)生就能習(xí)慣根據(jù)題目直接構(gòu)思圖形結(jié)構(gòu)，逐漸形成函數(shù)知識(shí)的形象化思維能力.

在函數(shù)等內(nèi)容的課堂教學(xué)中引入多媒體技術(shù)，還有一點(diǎn)優(yōu)勢(shì)就是有助于形成良好的課堂氛圍[10].師生、生生間的互動(dòng)過(guò)程，需要借助課堂智慧互動(dòng)與信息設(shè)備間的多元互動(dòng)，避免較為枯燥的學(xué)習(xí)內(nèi)容招致學(xué)生的抵觸、反感，讓學(xué)生以興趣為導(dǎo)向逐步融入數(shù)形結(jié)合思想氛圍中，感受數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)三角形面積最值問(wèn)題中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì).讓學(xué)生在交流與互動(dòng)中找到以往二次函數(shù)方面學(xué)習(xí)的不足，帶著思考調(diào)整學(xué)習(xí)方法，發(fā)展轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)思想.

4 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合以上的分析內(nèi)容，可知在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)難度較高是很正常的現(xiàn)象.這是因?yàn)槎魏瘮?shù)這部分內(nèi)容具有顯著的抽象性特征，但學(xué)生面對(duì)的題目又常常是聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用的類型，增大了理解與解題難度.目前初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)方法，存在可改進(jìn)之處.例如在二次函數(shù)中三角形面積最值問(wèn)題的教學(xué)中，就可以引入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生以轉(zhuǎn)化、分割等思維靈活解題，學(xué)會(huì)多種解題思路.這樣在實(shí)際應(yīng)用中就可以根據(jù)題型和題目與實(shí)際相結(jié)合的特點(diǎn)，選取更加適宜的方式解決問(wèn)題.這樣解題思路清晰，得到的答案既準(zhǔn)確又高效.

教師應(yīng)圍繞二次函數(shù)內(nèi)容積極探索前沿教學(xué)方法，在教學(xué)過(guò)程中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維，讓學(xué)生從二次函數(shù)中三角形面積的最值問(wèn)題開始，將學(xué)習(xí)方法沿用到其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，逐漸能自主進(jìn)行多角度、多方法解題，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和學(xué)科綜合素養(yǎng).

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