習題教學也可積累經驗

瞿德軍

【摘 要】數學學習不應該一直被片面地認為是對知識的連續累加，真正有效的數學學習應該能夠訓練學生的思維，讓學生的思維在一次次的邏輯推理中變得嚴謹周全；促進學生的經驗積累，讓學生在經歷一個個探究活動和一道道習題的訓練后，全面加深解題思路分析和積累策略制定的經驗。這樣的數學學習才是創新性學習，學生的思維品質才能得到質的改善，創新意識和創新能力才能慢慢復蘇，學生的數學核心素養才能得到全面提升，為學生的成長成才打下基礎。

【關鍵詞】習題教學 經驗積累 思維訓練

經驗積累的重要性已經得到廣大教師的認同，并且得到一定程度的推廣和落實。但是，經過調研，筆者還是發現一些問題：教師只是片面地對數學思想方法滲透、數學活動體驗、空間觀念發展、邏輯思維訓練等進行大力推進，但是，這些動作只停留在新授環節。教師在新授環節還是可以做到盡心盡責的，但是一到了習題練習環節就松懈了，面對習題教學，大家普遍認為測評方式只是注重結果，也就是最終的得數，于是覺得吃力不討好，既然無論怎么努力都無法將新理念設計到練習題教學中，那么干脆走老路繼續之前的教法。這種風氣，從根本上否認了習題教學中可以滲透新理念的可能，也忽視了習題對積累數學經驗的積極作用。教師如果一直抱著這種心態去處理習題教學，那么就無法發揮習題教學的巨大潛力。

事實上，數學教學是離不開習題的，沒有習題的數學就不再是真正的數學，習題的重要地位不單體現在它有檢驗、反饋、評判學生課堂所學的功用，從長遠發展來看，長期練習可以改善學生的思維品質，積累大量的邏輯推導經驗和數學化思考模型。從經驗的形成機制來看，經驗不是一蹴而就的，其形成需要對一個過程反復進行深入的反思和分析以及不斷地批判和歸納。這樣，思維經過多條路徑的探索，經過正誤難易的辨析、權衡、取舍，最終對有價值的部分反復印證，獲得思維經驗。下次遇到類似的問題和情境時，回顧反思，提取經驗，解決問題時再運用、檢驗、加工、豐富，并產生新的經驗。經驗的積累就是在循環往復中慢慢完成的。因此，習題教學對經驗的積累、修正、完善起到了舉足輕重的作用。從教材的編寫來看，習題中滲透了大量的數學思想，融合數學知識、數學觀念、數學活動經驗的設計屢見不鮮。因為學生知識體系的構建單靠一節課的講授和一道例題的示范是無法實現的，數學基本活動經驗的積累是需要長期堅持的，而且需要方方面面執行到位。

一、猜想驗證，催化經驗再生長

許多數學家認為，數學結論是可以通過觀察總結出來的，而不是依靠邏輯推理一步步證明出來的。這種通過觀察總結出來的結論雖然有一定的依據，但是很大程度上還是靠直覺，未必正確，卻還是有其合理性，且符合人的認知規律和思維習慣，因此，這種結論有時為我們指明了研究的方向，也提供了參考。在觀察總結的過程中，由于缺乏嚴密、可靠、詳細的理論依據，學生的思路中會出現很大的“真空地帶”，這些“真空地帶”就需要學生用自己的合理想象和創造元素去填補，這也正是數學創新的一種重要途徑。

在教學中，教師組織學生進行觀察，學生通過觀察和初步思考，得出一些模糊、抽象、片面的結論，然后帶著這些結論片段去交流評析、引發猜想，再結合各方面的信息猜想出完整的結論。這個過程培養了學生的推理能力，更重要的是，學生在猜想時，原有的數學活動經驗被激活并運用，且在反思質疑中得到修正補充，而對猜想結論的驗證，又催生了新的經驗。

例如，筆者執教的“小數乘整數”一課（蘇教版數學五年級上冊P56“練一練”第1題）：

編者的原意是通過練習讓學生直觀地看出因數小數位數與積小數位數的對應關系，然后初步猜想出完整結論。教學設計時，一個問題反復浮現在筆者腦海里：如何實現這道題的價值最大化？那就要給這道題增加一點額外“職能”，這個附加“職能”雖然是無形的，但是有利于學生的長遠發展。

于是，筆者打亂了出題順序，最先出示較為復雜的算式：14.8×23=。面對這個“下馬威”，學生倍感吃力，于是忙不迭用筆算，此時筆者出面解圍：“大家可以不用筆算就知道結果，老師可以事先告知某一個算式的乘積。”

當筆者出示148×23=3404時，學生豁然開朗，不僅做出了第一道例題，而且脫口而出0.148×23與148×（ ）=34.04的結果。此時，筆者再趁熱打鐵，出示小數乘小數的算式14.8×2.3，引導學生有依據地猜想。筆者出示正確結果后，再次讓學生猜測小數乘小數的計算法則。這里的兩次猜想截然不同：第一次猜想是憑借先前的經驗靠著直覺和創新精神大膽推測，所有的經驗都是來自小數乘整數的探究經歷，是對原有經驗的補充和再生，增長新經驗；第二次猜想則完全是對猜想的驗證，是對前一次經驗的回顧、審視、修正和完善。兩次猜想讓學生感知到猜想其實是一種創造性思維活動，而不是瞎蒙、亂猜，他們逐漸形成數學猜想的意識。

二、數形結合，注重思維方式的培養

學習數時，離不開形的直觀演示；學習形時，少不了數的精確印證。這是數學學科的基本特征。而小學生的心理規律和認知特點又決定了他們對圖形的依賴性。因此，一旦遇到非常抽象且數量關系又特別復雜的題目時，教師務必幫助學生畫出圖形。但是，這只是教師的一種強制性行為，不是學生的一項技能。如何將數形結合的思想植入學生的認知結構中，讓數形結合成為學生的一種內在意識，培養學生根據數量關系繪圖或者根據圖形進行數量分析的動手能力呢？

例如，以下這道拓展題：

此題旨在引導學生將梯形面積公式與等差數列求和掛鉤，也就是通過知識遷移，將面積公式與數列求和公式統一起來，實現數形結合，發散學生的思維。如果教師只是按照常規教學，分別總結出兩個公式后，再進行形式上的對比歸納，就題論題，那么學生只會生硬機械地套用公式，達到表面上的數形結合，而且很快就會遺忘，學生的數學思維也沒有得到很好的訓練。

如果按照常規教學，聽懂的學生只是少數，一個經典題型也就成為擺設。因此，教師如何充分挖掘題目價值，才能讓全體學生都有所獲益，都能對梯形面積公式與等差數列求和的共通之處有清醒的認知？

筆者嘗試改編原題，創作出一個梯形，將梯形的上底分成若干單位長度，下底也分成若干單位長度，如上底為4、下底為8、高為5的梯形（見圖1），我們可以將上底分為4條線段，將下底分為8條線段，然后將高分成5層，這樣梯形就被分成一個個“磚塊”，這些磚塊的數量就是梯形的面積。于是，梯形的面積首次實現數字化，再將這些“磚塊”一層一層相加，磚塊數層層遞增，每層增加1個，得出總數，然后得出梯形的總“磚塊數”為4+5+6+7+8=30。此時，學生就會驚奇地發現，這就是一個等差數列，等差數列的和等于梯形面積。

雖然“磚塊”拼湊成的不是一個標準的梯形，有一條斜腰“凹凸不平”，但是，用凸出三角形去割補對應的凹入三角形（A割補A1，B割補B1，C割補C1），剛好可以轉化成一個標準的梯形。

三、捕捉生成，比較反思中積累經驗

課堂永遠是生成的，習題教學中學生經常會想出一些稀奇古怪的解法，也許這種思路與正常思路大相徑庭，甚至匪夷所思。這時，教師就要釋放更大的空間，讓學生來反思和改造自己的經驗，或者重新組合原有的經驗。教師也要機智地捕捉生成性資源，對教學過程中的“節外生枝”因勢利導，將一些打亂正常秩序、超出預設的想法及時引入正軌。

因此，數學活動經驗的積累需要注重教學過程的寬松度，放慢教學的節奏，釋放開放、個性化思考的空間，讓學生有足夠的時間去活動、感悟、反思。

例如，蘇教版數學二年級上冊“觀察物體”一課中有這樣一道題：

針對第（2）問，學生想出了四種擺法（見圖2）。

教師引導學生進行概括分類，在形成有序錯位拼擺的思維過程中，學生想到增加錯誤幅度，改一個側面重合為一條棱重合，于是催生了擺法5（見圖3）。

此時，筆者對學生的這種擺法大加贊賞，并且肯定他們的思維路徑，因為從學生的思維出發，只要有一條棱相連，這些方塊還算是一個整體，是一個有機組合。“一石激起千層浪”，受此啟發，更多新奇的擺法如雨后春筍般冒出來（見圖4）：

面對這些充滿創造性的想法，筆者引導學生再次進行分類、比較、總結，最終，他們列舉了所有合乎要求的擺法。在此過程中，交流、展示和質疑、評價，都能促進學生養成嚴謹的科學態度。

總之，對于習題教學，教師要一改以往只追求結果的思想，要更多關注過程中的活力與寬容度，在此過程中錘煉學生的思維品質，同時不斷積累活動經驗。

【參考文獻】

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