在開放的數學課堂中培養學生發散思維品質

梁修曦

摘要：新課程改革，除了讓學生掌握基礎知識和基本技能外，更注重培養學生的思維能力及創新意識.在高中數學課堂中，只有讓學生積極思考，大膽設想，從多角度嘗試解決問題，培養學生的發散思維品質，才可以為國家各領域培養創新人才.本文從教學實踐出發，通過五個案例對比，總結了一些開放式課堂的操作要點以及培養學生發散思維品質的方法.

關鍵詞：開放式課堂；發散思維；高中數學課堂；情境創設；信息技術

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）15-0065-03

發散思維是創造力的核心，是靈活應用知識的重要前提.數學課堂中要培養學生的發散思維，教師不僅要采用新穎的教學模式和先進的教學手段增添課堂的活力，更需要開放的態度和足夠的耐心，給學生足夠的平臺展示自己的思維潛力.1 開放的課堂能激發學生更大的潛力筆者在高中數學人教版（2019）必修二第六章《解三角形》復習時，遇到下面的例題.

例1已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若tanB=2tanC，b=1，求ΔABC面積的最大值.

學生1：由tanB=2tanC可得sinBcosC=2sinCcosB，（*）

進而sinA=3sinCcosB，cosB=a3c=a2+c2-b22ac，得到a2+3c2=3，

SΔABC=12acsinB=12ac1-c29a2=16-4a4+9a2，利用函數求最值可得面積最大值為38.

師：這是從正余弦定理、三角恒等變換和函數最值的角度思考的，同學們還有其他解法嗎？

學生2：這道題沒必要用三角恒等變換，利用三角形中的結論bcosC+ccosB=a，再聯立（*）式解方程，即可得cosB=a3c，后面與解法1相同.

師：確實，利用已有結論讓解題過程變得更快捷.還有更好的解法嗎？

學生3：借助圖形更簡單，因為tanB=2tanC，作右圖，問題轉化為：已知x2+4y2=1，求S=32xy的最大值.利用基本不等式，可求得面積的最大值為38.

師：非常棒，這個解法利用了數形結合的思想.而且綜合運用了第二章基本不等式的知識，解答方法更方便了！還有同學有不同的解法嗎？

學生4：從初中平面幾何的角度來思考這個問題，補形更簡單.將圖1補成圖2，使B為ED的中點，則ΔAEC為等腰三角形，S△ABC=34S△AEC，△AEC面積的最大值為12，從而△ABC面積的最大值為38.

師：太棒了！這個解法最簡潔！由此可見，思考問題的角度不同，解決問題的方法就不同，就會有很多意外的收獲.

在這段教學過程中，老師給了學生足夠的空間，讓學生充分思考和表達，突破章節學習的局限，突破高中學段的認知束縛，反而獲得了更好的解題途徑.

2 在開放的課堂中培養學生發散思維，需要教師更強的隨機應變能力

開放的數學課堂意味著課堂有很多不可控的地方，比如出現問題過于復雜、學生討論的過于激烈、學生的想法不太常見等一些問題，這就需要教師更強的隨機應變能力.

例2已知菱形ABCD的邊長為1，∠BAD=60°，現沿對角線BD將此菱形折成直二面角A-BD-C（如圖）.（1）求直線AC與面BCD所成的角；（2）求二面角A-CD-B的正弦值.

學生4：取BD的中點O，連接OA，OC，易證∠ACO為直線AC與面BCD所成的角，且∠ACO=45°.所以，直線直線AC與面BCD所成的角為45°.

學生5：可證AO⊥面BCD，故過O作OE⊥CD于E，連接AE，易證∠AEO為二面角A-CD-B的平面角.AO=32，OE=34，tan∠AEO=2，從而二面角A-CD-B的正弦值為255.

學生6：第（2）可以用三正弦定理，不需要做輔助線.

師：三正弦定理不是高考要求的內容，大家不必掌握.

老師在課堂上忽略了學生6的解法，下課后，學生6再次找到了老師，介紹了自己的好方法：設二面角A-CD-B的大小為α，由三正弦定理可得，sin∠ACO=sinαsin∠ACDsin∠ACD=104，從而sinα=255.

三正弦定理確實不是高考要求掌握的內容，但如果學生學習到了此結論，在解決某些二面角問題中，會有更簡潔的解法.而新課程改革正是要加強培養學生的自學能力，學生能掌握更多的知識，擁有更寬闊的眼界，老師為什么不能大大鼓勵呢？

3 在開放的課堂中培養學生發散思維，需要更好的情境創設

認知的需要是從實際情境中產生的，沒有情境，就很難有認知的需要，更不會引起思維的發散.新課標也提出教師要注重創設情境，并在實際的情境中培養出學生提出、分析、解決問題的能力．

例如，在高中數學人教版（2019）選擇性必修1第三章《圓錐曲線的方程》中講橢圓的概念時，引導學生一起來做實驗：取一條沒有彈性的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點F1和F2，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在畫圖板上慢慢移動，觀察畫出的圖形特征.

經過這樣的啟發和思考，學生不僅能總結出橢圓的定義，還能探究出定義中“距離之和為常數（大于F1F2）”的重要性，進而延伸構建出“繩長等于兩定點間的距離時，畫出圖形的是線段；繩長小于兩定點間的距離時，畫不出圖形”的完整知識體系.

4 在開放的課堂中，可應用更多的信息技術手段培養學生的發散思維

立體幾何學習對于學生的空間思維能力有著很高的要求，尤其是面對復雜的立體幾何圖形，教師只依靠粉筆和黑板，很難展現實物的真實效果，學生更難理解其中的線面平行、垂直關系．將信息技術應用于幾何教學，借助各種軟件可以輕松幫助學生構建空間圖形，上述問題迎刃而解，還能極大地培養學生的思維能力.

例3在棱長為42的正方體空盒內，有四個半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R的大球放在四個小球之上，與四個小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉盒子，五球相切不松動，則小球半徑的最大值為；大球體積的最小值為．

后來發現，借助Geogebra軟件很容易做出如下圖1模型，學生很快就有了求解思路，并提煉出簡易模型圖2，當正方體盒內四個小球最大時，四個小球相切，且與正方體側面相切，易求此時小球半徑r=424=2，則小球體積最大值為43πr3=823π，顯然大球此時最小，大球球心O與四個小球球心O1，O2，O3，O4構成一個正四棱錐，O1O2=2r=22，側棱OO1=R+2，設正方形O1O2O3O4的中心H1，則O1H1=2，高OH1=OO21-O1H21=R+22-22=R2+22R-2，將OH1向兩端延長交上底面于H，交下底面于K，則：HK=OH+OH1+H1K=R+OH1+r=42，故R+R2+22R-2+2=42，即R2+22R-2=32-R，解得R=524．

∴大球體積的最小值為43π×5243=125224π．

5 培養學生發散思維，仍應注重夯實學生的基礎知識

眾所周知，高中數學具備很強的綜合性與抽象性，要求學生具備一定的發散思維能力．而發散思維正是要有完善的知識結構、準確的知識領域觀念，還常常跨領域、跨層次，有時還想得更遠、更寬.因此我們的課堂既要開放，也需要重視學生基礎知識的夯實，讓學生深入地理解數學定義、公式、定理等基礎內容，為之后的學習與能力的培養提供有力的保障.2021年湖北高考數學第8題就是一個很好的例子.

例3有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）.

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

總之，在高中數學課堂上開放式的教學是大勢所趨，促進學生創新精神和培養創造能力也是十分迫切的．只有教師多多創設開放的學習環境，設計開放的教學課題，才能更好地培養學生的發散思維，強化學習的技能，推動新課標改革活動的持續發展，培養出符合社會發展要求的高素質人才.

參考文獻：

［1］?周霞.探究高中數學教學，培養學生發散思維［J］.中學數學，2020（01）：87-88.

[2] 趙明香.高中數學教學中學生發散性思維能力的培養策略［J］.數學大世界，2019（05）：5.

[3] 苗乃群.信息技術與高中數學課堂的有效融合與創新研究［J］.中國多媒體與網絡教學學報，2022（05）：79-81，102.

［責任編輯：李璟］