“三新”背景下的定理課的教學實踐與思考
——以“正弦定理”教學為例

劉萬穩

(江蘇省常州高級中學 213003)

課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據,是國家管理和評價課程的基礎．自《普通高中數學課程標準(2017年版2020修訂)》(下稱“新課標”)頒布以來,依據新課標編寫的新教材陸續投入使用.由江蘇鳳凰教育出版社高中數學教材編寫組編寫的新版教科書也應運而生．全國各省也陸續進入“新高考”階段,其中江蘇省于2018年啟動“新高考”,于2021年首次參加“新高考”．“三新”(新課標、新教材、新高考)背景,給高中數學課堂教學的改革帶來了機遇與挑戰．如何依據新課標、如何使用新教材、如何適應新高考,應該成為普通高中一線數學教師思考的課題．本文以“正弦定理”教學為例,談談在“三新”背景下對定理教學的思考．

蘇教版普通高中數學教科書必修第二冊(下稱“新教材”),“解三角形”一章引言部分從實際生活出發,提出了研究三角形中邊角關系的必要性．借助向量等手段,對任意三角形的邊角關系進行探索,培養學生的歸納、猜想、論證能力以及分析問題和解決問題的能力,同時讓學生在學習中感受數學的對稱美與和諧美．

1 教學重難點分析

此次教學對象是四星級高一年級創新班的學生,整體素質較高．“正弦定理”這一節內容教學安排約2課時.第一課時的教學重點是利用向量探究正弦定理的過程、正弦定理及其應用;教學難點是正弦定理的探究與證明,尤其是利用向量探究正弦定理,對于學生的認知水平有一定的要求．

2 教學實錄

為了敘述方便,我們把△ABC中的三個角A,B,C的對邊分別記為a,b,c．

師:前面已經學習了三角形一個重要的邊角關系式——余弦定理.余弦定理本身很重要,探究發現定理的過程也很重要!請大家回顧其探究過程,并簡述．

生:(經過計算)是一樣的結果．

圖1 圖2

師:建議給他掌聲(學生們贊同,鼓掌).請問該邊角關系式bsinC=csinB對任意三角形都成立嗎?

師:很好!請就這兩種情況分別驗證．

師:所以bsinC=csinB對任意三角形都成立．你還能有什么發現嗎?

師:很好!這個比式比原先的積式更對稱,更漂亮!

師:依據是什么?

生2:三角形邊角的對稱性．

生:三角形的各邊與它所對角的正弦的比相等．

師:很好!總結得很到位,這樣對于正弦定理的理解又上升了一個層次!

生1:幾何法．

生2:坐標法．

師:這兩種方法分別體現了什么重要的數學思想方法?

生:幾何法,化斜為直,化歸思想;坐標法,算兩次,方程思想．

師:很好!幾何法有沒有體現算兩次的思想?

生:有,對高算兩次．

師:非常好．試用幾何法證明正弦定理.

圖3 圖4 圖5

師:很棒!這種對高算兩次的思想過程簡潔,非常漂亮!還可以對三角形哪些特征量算兩次得到正弦定理?

生:面積．

師:很好．請大家完成課后習題第7題(3)利用面積算兩次證明正弦定理．三角形還有類似的特征量,對其算兩次得到正弦定理嗎?

生:(陷入沉思)感覺還有,但是現在想不到!

師:剛才我們探究并證明了正弦定理,接下來我們來應用正弦定理．請問正弦定理有幾個等式?

生:3個．

師:每個等式涉及三角形幾個基本元素?分別是什么?

例如在“孟德爾定律”的復習課中，教師可以引導學生對兩對等位基因的關系進行列表（表1）比較討論，從而了解孟德爾提出的“自由組合定律”只是對情況一的研究。教師可以要求學生對情況二、三進行分析與推理，并設計實驗證明。這種形式的復習課可以使學生從已知走向未知，拓展學生的求知空間，提高學生的科學探究意識與能力。

生:4個;分別是兩邊及其兩個對角．

師:很好!接下來,請看例題．

例1在△ABC中,已知A=30°,B=120°,b=12,求a．

變式 在△ABC中,已知A=30°,B=120°,b=12,求c．

設計意圖例題主要涉及利用正弦定理可以解決解三角形的兩種常見類型,再結合三角形內角和為180°進行變式求第三條邊;以及已知兩邊及其一邊對角時解的多種情形進行變式．

師:解三角形是已知三角形中3個基本元素(至少有一邊),求其他3個基本元素．那么,正弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?

生:已知兩角和任意一邊,求其他邊和角;也可以是已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,進而求出其他邊和角．

3 教學反思

(1)注重比較,挖掘新教材的編排意圖

“解三角形”是高中數學的重要內容,也是新高考的重點與熱點,近幾年大都以解答題的形式呈現.新課標涉及解三角形的“內容與要求”,即“借助向量的運算,探索三角形的邊長和角度的關系,掌握余弦定理、正弦定理;能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題”．新課標展現了平面向量研究幾何問題的功能性和一般方法,突出了向量的工具性作用．蘇教版高中數學新教材與舊教材相比,對“解三角形”的內容和編排順序做了很大調整,將正弦定理放在余弦定理之后,正弦定理和余弦定理的證明統一用向量法,這體現了新教材對平面向量作為工具的重視．在日常教學中,學生對于向量作為工具解決問題的意識不強.無論是定理(正弦定理、余弦定理等)、公式(兩角和與差的余弦公式等)和結論(如射影定理)的推導證明,還是利用向量解決問題,學生很難想到把向量作為工具．造成這種現象的原因,很大部分是學生沒有運用向量作為工具的意識,沒有充分體會到向量工具的優越性．

本章第一節通過向量的數量積運算將向量等式轉化為數量等式,得到余弦定理;第二節正弦定理的探究過程讓學生進一步感受這種轉化方法的價值．向量等式兩邊同時點乘不同的向量可能得到不同的數量關系,這種方法有利于培養學生的“數學探究”“自主研究”的能力,激發學生的求知欲,增強思維的發散性,提高學生數學學習的興趣．

(2)注重聯系,體現思維的深刻性

高中數學中的定理不是孤立存在的,而是共存于相關重要數學內容的定理體系之中．在定理體系中,用聯系的觀點去學習定理,有利于讓學生形成定理體系,有利于讓學生對定理體系有一個宏觀的認識和整體的把握．相反,讓學生孤立地學習定理,往往會造成學生腦海中定理體系的碎片化,無法形成相應的知識網絡．

(3)注重變化,體現思維的靈活性

高中數學定理的教學不僅要注重定理本身證明方法的變化,還要注意定理運用的情境的變化,以定理的教學為載體培養學生思維的靈活性與發散性．在本例中,正弦定理的證法多樣,靈活性強．新教材將正弦定理的證明方法以不同形式呈現,沿用了前一節的“向量式”問題導入,順其自然給出了向量法證明過程,并將作高法(化斜為直)作為思考題呈現給學生,而將面積法以課后證明題出現,外接圓法以課后探究題出現,具有一定的發散性．而作高法、面積法和外接圓法這些證法又可以統一,都可以看作是利用三角形的特征量算兩次得到正弦定理．具體而言,作高法是對三角形一邊上高算兩次,面積法是對三角形面積算兩次,外接圓法是對三角形外接圓的直徑算兩次．因此,正弦定理的證法呈現出多維性、靈活性、發散性,也具有一定的聚斂性．

(4)合情推理,體現思維的自然性

演繹推理往往用于證明,而合情推理往往用于發現．高中數學定理的教學要注重合情推理的運用,這樣可以讓定理的獲得更為自然．例如,對于向量等式數量化的處理,即向量等式作哪些特殊的數量積運算,學生首先想到的是兩邊平方得到余弦定理,然后兩邊同時點乘一個已知向量,進而引導學生將此推廣到兩邊同時點乘一個與已知向量平行的非零向量都可以得到射影定理,而平行和垂直是兩種特殊的位置關系,學生自然會聯想到兩邊同時點乘一個與已知向量垂直的向量．

(5)滲透美育,發現與欣賞數學美