變式教學讓數學概念從理解走向深入

山東省煙臺高新技術產業開發區益文小學 慕振亮

變式教學在數學教學中應用較為廣泛，上海華東師范大學顧泠沅教授在2021國際數學大會上介紹了關于變式教學的“青浦經驗”，將數學變式細分為概念變式和問題變式。這兩類變式雖有不同，但其相同屬性都是通過適當變式凸顯不變的因素。我們常說“萬變不離其宗”，“宗”便是問題的本質。概念變式是為了讓學生更好地理解概念的本質。數學概念作為小學階段數學判斷和初中階段邏輯推理中的基礎，學生只有真正理解其內涵，才能靈活運用數學概念，才能掌握數學基礎知識及運算技能，發展判斷推理和空間想象能力。在數學教學中，一個很重要的教學內容就是以核心數學概念作為主題的教學內容。本文就應用變式對數學概念教學做了一些努力和嘗試。

一、靈活借用變式教學關注數學概念的生成

要理解和形成數學概念，首先要把握這個數學概念的內涵，也就是概念“質”的特征，表示概念的本質含義是什么。概念的外延，即對象“量”的范圍。如以角的概念為例，在初中角的定義為具有公共端點的兩條射線組成的圖形。在這里，“公共端點”“射線”作為認識角的概念的基本特征，其本質特征就是具有頂點和兩條邊，張開角度的大小、兩條邊的長短這些外延的特征并不能改變角的本質屬性。

數學概念通常以文字的形式表述，也有的數學概念借助符號來表示。數學符號也是表達數學概念的重要形式，使用數學符號語言可以助推學生對數學概念的生成和理解，可以將數學概念的思維過程變得簡約和明確。如在低年級用圖表示和建立兩個數量間的關系，可以將其變化為用數學的文字語言對數量關系進行等價描述，用含有字母的等式來描述方程意義的語言表示。三者之間雖然形式不同，但本質意義相通，通過建立三者之間的聯系，建立數與形一一對應的數學思想。再如“雞兔同籠”問題，可以用一年級的畫圖法、二年級的拼湊法、三年級的假設法、高年級的方程法來解決，通過畫的方法來促進算的辦法，借助列表法來列方程，也就是假設計算法和畫圖法是一種方法，解方程和拼湊法是一種方法，通過具體的畫圖和拼湊，達到高階的計算和方程。如此，從某種角度講，畫圖和拼湊才是高階思維的源泉。因此，數學概念的形成過程中往往穿插著文字、符號、圖形等多元方法。

在實際操作中，如何更好地促進概念的生成？在變式教學中有哪些具體的做法呢？首先，創設一定的變式情境，面對具體現實問題，需要對特定情境進行重組和創造。教師通過一些實物、例子或模型，引入數學概念，從豐富的材料中抽象出數學概念，讓學生經歷從形象思維到邏輯思維的轉變、從粗淺感知到嚴謹概括的過程。在數學概念引出之時，往往會借助一些“像這樣的……是什么”的范式來定義概念。如在引入分數、負數的定義時，通過讓學生舉例來認識和理解一種新的數，引出分數、負數等概念。不過需要注意的是，豐富的感性材料雖然能拉近數學知識與生活的距離，但最終的落腳點要落在抽象的數學對象上。因此，教師要在大量的現實舉例中甄別出數學概念的非本質特征，抓住數學概念的本質特征，或者說概念內核應是變式教學創設情境的重點。

不同的層次和發展水平的情境導入可以幫助學生對情境進行分析和甄別，啟發不同水平的學生進行差異性活動。依據創設情境的層次性，教師需要在編制問題時，設置合理的梯度，將情境調整到合適的“層次差距”，使學生在層次性情境中逐步發展。比如，針對一年級的“幾”和“第幾”的問題，教師可以創設有層次的情境，通過變式提問讓學生進入情境。如圖1中：（1）誰是隊列中的第四個人？（2）寫出Sal在隊列中的序號；（3）如果Joe離開隊列去找另一本書，誰會變成隊列中的第五個人？學生會通過變化的人數，認識幾和第幾等數學概念，進一步厘清數學概念的本質問題。

圖1

二、運用變式教學關注數學概念的理解

在對數學概念進行定義以后，教師要適當地運用相對應的辨析題，通過一系列的變化來讓學生掌握概念的本質含義。在分析辨別數學概念時，有很多時候需要借助一定的數學推理、假設驗證，才能發掘出概念的內涵，揭示其本質。如正比例的定義，兩種相關聯的量的變化是一致的，兩種量的比值是一定的，那么我們就說這兩種量是成正比例的量。反之，如果兩個量之間的比值是變化的，或者兩個量的變化不是一致的，即不符合一個量增加，另外一個量也隨之增加，那么這兩種量就不成正比例，它們的關系就不是正比例關系。因此，判斷概念是否形成首先是要掌握概念的幾個關鍵要素。由此，教師可以設置相對應的變式辨析題，從概念的幾個特征及其非本質特征開始，幫助學生理解和掌握正比例的本質要點。

在變式教學過程中，可以通過改變一兩個特征，讓學生在變式中區分所提供的條件是否符合概念的含義，從而掌握概念的本質。如在方程的概念生成后，若要判斷給出的式子是否是方程，只需把握“未知數”“等式”兩個關鍵特征。針對這兩個特征，教師可以設置辨析題，比如，判斷下列式子是不是方程：（1）x+7；（2）14+6=20；（3）x÷5<30；（4）2x+6>18；（5） 4m+m=35；（6） 18+2y=360。在變式中理解概念，需要掌握概念的本質特征，為解方程打下基礎。借助這樣的概念判斷可以幫助學生加深對方程等基本概念的把握，通過比對概念的本質特征與非本質特征，讓學生在辨析中理解和把握數學概念的本質。

三、加強運用變式教學，使數學概念得以深化

數學概念是數學思維的起點，也是培養學生解決問題能力的最基本單元。只有將平時學習的數學基礎知識、基本概念理解透徹，才能在解決問題的過程中透過現象看到本質，從而梳理歸結問題的核心所在。要深化理解數學概念的變式教學，一是運用數學語言對數學概念進行多元表征，將數學概念和數學思想方法相結合；二是設置開放和發散思維的問題，讓學生掌握概念之間的關聯。

對數學概念的多角度理解，可以借助很多數學思想，如數形結合思想，通過變化看待數學對象的角度以及表征對象的方式，對數學對象進行多角度解析，達到進一步深化數學概念、理解數學概念本質的目的。如正比例，用文字語言描述就是兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩個量所對應的數比值一定，它們的關系就是成正比例關系；用符號語言表示就是=k（k一定）；用圖形語言描述就是畫一個正比例圖像。這就將同一個數學內容用不同的數學語言描述出來了。

此外，教師還可以通過編制開放性的問題來實現數學概念的拓展和深化。在教學中，基于問題進行變式，將做過的題目進行改編，通過增加條件或減少條件，將改編的要求、背景和過程告訴學生，可以幫助學生發現不同知識之間的聯系，進而找到解題的突破口。通過一題多解、一法多用和一題多變的形式讓學生理解數學概念之間的關系。選取“母題”進行拆解和重新組合，可以讓學生深化對概念的理解，幫助學生多角度、多層次地思考，從而提升學生的數學思維和關鍵能力。通過變換表征形式，可以突出概念的本質，設置變式訓練讓學生實現對數學概念的多角度理解，完成對數學概念理解的進一步深化，這也是過程性變式教學功能的體現。

教師可以利用基本圖形進行拓展變換來達到培養學生的空間觀念和創造能力的目的，借助基本圖形的變式操作，呈現連續、動態、有層次的遞進運動變化過程。如在圖形平移過程中抓住方向不變，變的是距離；在圖形旋轉過程中，抓住旋轉點固定不變，變的是旋轉的方向。學生在動手操作、體驗過程中逐步理解和掌握變式圖形之間不僅僅是形式上的變化，更是將幾何對象的本質屬性從復雜的非本質屬性中凸顯出來，深化了對概念的理解。在標準圖形變式和非標準圖形變式中，從兩條直線垂直的位置關系來看，引申為非標準圖形變式就是將互相垂直的兩條直線通過延長找到垂足。如畫普通三角形的高，先是標準圖形變式，引申為非標準圖形變式就是在鈍角三角形的底邊延長線上作鈍角三角形的高線。再從標準圖形變式為平行四邊形和梯形，通過改變圖形讓學生了解多邊形的本質含義，通過改編數學概念的非本質屬性，達到讓學生理解概念的本質屬性的目的，進一步培養學生的發散性思維和創新意識，深入理解和把握數學概念，從而落實數學學科素養，實現數學的育人價值。