數學活動中“深度理解”的教學初探

華中師范大學寶安附屬學校 萬小龍

學習數學不可或缺的方式是思考。數學學習的本質便是學習者憑借舊知和經驗對新知產生個人的感悟，個人的感悟是學生親身參與、自覺體驗的過程，是學生積累數學方法的過程，是學生慢慢學會用數學思想方法理解數學概念和命題的過程。下面，筆者以北師大版數學的教學案例為例，談一談在數學活動中幫助學生深度理解的一些做法。

一、親身體驗，深度理解之“葉”

對知識的深度理解需要學生在經歷數學活動過程中獲得的對于數學的體驗和認知，既包括學生的動手操作、認真閱讀和仔細觀察，又包含滲透于活動行為中的數學思考。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教學在注重數學“基礎知識”和“基本技能”的同時，還要增加積累“基本活動經驗”和發展數學“基本思想”。可見，數學活動強調親身體驗的重要性。特級教師張天孝也認為，親身體驗是數學教育目標現代演變的一個主要標志。

“古人計數”是北師大版數學一年級上冊第七單元第一課時的內容。在教學中，很多教師處理這個環節就是讓學生對著電腦屏幕數一數，用小棒擺一擺，在計算器上撥一撥，甚至有些教師擔心學生玩學具而減少學生用學具的次數，直接告訴學生數學結果，讓學生讀一讀、記一記，以此追求教學的“高效”。古人漫長歲月形成的智慧，在課堂中如果被壓縮成幾分鐘的內容在頭腦中一閃而過，學生就無法體會到古人的智慧成果。對此，筆者是這樣處理的：

羊圈里關了11只羊，牧羊人坐在羊圈旁，身邊有9顆小石子和1顆大石子。古時候，人們用石子記錄事物的數量，每出去一只羊，就在地上擺1顆小石子。當出來了10只羊時，牧羊人驚訝了，沒有可用的小石子了，怎么辦呢？同學們能幫牧羊人想想辦法嗎？

“可以用大石子來代替” “可以用小棒來代替” “可以去找小石子”……學生在問題的引導下，忙著幫牧羊人想辦法。筆者趁機追問一個學生：“你為什么不用小棒代替，也不用大石子，而要去找小石子呢？”學生回答說：“當每1只羊用小石子表示時，就不能用其他東西表示了。”其他學生也紛紛贊同。可問題是沒有那么多小石子，牧羊人需照看羊，又不能離開，怎么辦？學生又一次陷入思考中……這時，有個學生舉手說：“用大石子表示10。”筆者把大石子擺在第10個，問：“是這樣嗎？”有個學生急匆匆地說：“不對，這樣大石子還是表示1只羊。”“那怎么辦呢？”筆者把問題又一次拋給學生，并進一步提示學生，“剛才這個同學說大石子是表示第10個還是10個？”學生在教師的提示下回答：“10個”“不是第10個” “需把前面9個小石子拿走，就用1個大石子來表示10個”……這時，大部分學生對于教學難點 “10個一就是1個十”有了初步的認識。筆者站在學生的角度創設情境，讓學生的潛能得到了充分的激發和釋放。

由上述分析可以看出，深度理解的根本意圖是強調教育的“過程性目標”而不僅僅是“結果性目標”。教學難點是“悟出來、想出來的，而不是教會的”。正如杜威在《民主主義與教育》中指出，教育是一種生長，生長的具體過程和內在機制可以概括地表述為“經驗的改組或改造”，這個過程不是一個通過灌輸實現的被動過程，而是在個人積極主動地參與共同生活的過程中能動地實現的。

二、自覺感悟，深度理解之“莖”

學生的思維是一個由具體形象思維到抽象思維發展過渡的過程。學生在數學活動中未必能理解所學的數學知識，深度理解更是無從談起，那么怎樣解決這一現實存在的問題呢？

如在“古人計數”一課的學習中，學生用小石頭表示羊的數量，接著用小棒表示小羊的數量。學生用1根小棒表示1只羊，一邊數一邊擺1根小棒，在學生一共數了11根小棒時，筆者相機提問：“古人用1塊大石頭和1塊小石頭表示11塊小石頭，你們還能用什么辦法表示11根小棒？”

生1：可以用1根大棒和1根小棒表示。

師：還有什么辦法？

生2：可以把10根小棒捆在一起，這樣可以用1捆和1根表示11根小棒。

師： 1根和1捆都用“1”表示，它們的區別在哪里？這樣表示的好處是什么？

生1： 1根1根地數，數10根就是1捆。

生2： 1根和1捆都用了“1”，但單位不同。1捆里面有10根小棒。

接著筆者出示計數器，引導學生在個位上計數。

筆者在個位上撥1顆珠子，學生計數1；撥2顆珠子，學生計數2……當撥了10顆珠子時，筆者問學生：“接下來怎么處理？”

生：我會把個位上的10顆珠子去掉，在十位上撥1顆珠子。

師：在同學的演示過程中你發現了什么？

生1：我發現去掉了個位上的10顆珠子，在十位撥了1顆珠子。

生2：十位上的1顆珠子表示1個十，等于個位上去掉的10個一。

……

深度理解需要教師提供可探索的材料，讓學生在操作與思考中不斷探索、積淀新的知識，自動更新對新知識、新技能的新認知，從而在做中自覺理解，在觀察中發現，在發現中提升。這一過程就是學生自覺感悟的過程。

三、感悟思想方法，深度理解之“根”

深度理解不是記住知識符號，不是對知識的簡單占有，也不是對知識的表層學習，而是理解并促進學生對知識的邏輯要素和意義系統的轉化。

筆者仍以“古人計數”的教學為例，出示看圖寫數讓學生進行練習（見圖1）。

圖1

在學生寫完數后，筆者隨機提問：“你是怎樣想的？”在相互交流中師生達成共識：大石頭表示10塊小石頭，與2塊小石頭合并就是12塊小石頭；1串珠子中有10顆珠子，與4顆珠子合并就是14顆珠子；一排有10個小正方體，與另一排5個小正方體合并就是15個小正方體；1捆有10根小棒，與3根小棒合并就是13根小棒；十位上的1顆珠子表示10顆珠子，與個位上的6顆珠子合并就是16顆珠子。

有些教師在這個環節讓學生寫完數就結束教學了，但筆者認為，讓學生說自己的想法是必不可少的。在語言表達過程中，可以幫助學生鞏固所學知識。

筆者接著提出問題：“這5道看圖計數題中，你能說出它們之間相同的地方和不同的地方嗎？”在師生交流中，學生紛紛明白：相同的地方都是把“10個一看作1個十”，不同的地方是大石頭和小石頭不能像小棒、珠子和小方塊那樣直接看出來，但用小棒、珠子和小方塊來計數又太笨重了。計數器有標明“十位”和“個位”，可以很清楚看出“1個十就是10個一”的關系，并且表示起來更為簡潔。

看似樸素的語言，卻觸摸到了數學知識的本質。數學學習需要進行模仿、記憶和訓練，但不是死記硬背、機械操練，而是在學生理解和思考的基礎上積累學習經驗、感悟思想。

四、精神喚醒，深度理解之“魂”

要使學科經驗、學科思想、學科能力等關鍵目標深度達成，需要教師用問題來激活學生思維，從而啟迪學生智慧。如筆者在教學北師大版數學五年級下冊“長方體的表面積”一課時，圍繞題目（見圖2）讓學生展開思考交流，達到了較好的效果。

圖2

求下列長方體的面積。

上課伊始，筆者先讓學生獨立完成。大部分學生完成后，筆者點名生1在黑板上板書此題。

長方體紙盒的表面積：1 0×8×2+1 0×2×2+2×8×2=232cm2

①2 9×8=2 3 2 c m2；②3 0×1 8=5 4 0 c m2；③85×3=255cm2。

接著，生1饒有興致地陳述他的觀點:“選擇①，因為長方體的表面積是232cm2，①號包裝紙的面積也是232 cm2，所以選擇①號包裝紙。”同學們紛紛表示贊同。教師接著提問：“還有不同的想法嗎？”此時有部分學生點頭表示不同意生1的想法。

筆者很自信地拿出早已準備好的長方體牙膏盒給學生演示。提出問題：“用白板紙做牙膏盒，是不是剛好買這么大面積的白板紙呢？”學生在筆者的提示下，逐步明白：包裝紙的面積應該比長方體紙盒的表面積要大一些。

“究竟選幾號包裝紙呢？”生2提出選③號包裝紙，理由是③號的面積比長方體紙盒的表面積大，而②號包裝紙太大了，有些浪費。一些學生也隨聲附和。筆者放手讓學生討論，過了一會兒，大部分學生默認應該使用③號包裝紙，同時把目光投向筆者，希望得到老師的肯定。筆者提示：“對照課本中的圖，還有沒有不同的想法？相信你們還有不同的發現。”

這時，善于思考的生3高高地舉起手：“我不贊同選擇③號，因為在實際裁剪時，長方體的紙盒的上下面是10×8，而包裝紙是85×3，根本無法裁剪。”

“一語道破天機”，學生恍然大悟。這時，筆者再次提問：“學數學究竟為了什么？”

“老師，我們不能被計算的結果所欺騙，要學會根據題意具體分析。”

“老師，我們應結合生活經驗來學習數學。”

“老師，我們需認真思考出題人的意圖。”

……

通過以上教學，學生學會了用數學的眼光來看待問題，更培養了學生的數學意識。教學中教師要注重學生思維的發展，用啟迪式的教學喚醒學生的思維、發展學生的思維。