“合并抵消”大概念統攝下的運算律教學

鄭小龍

一、單元視角：單元要學什么

學生四年級學習《運算律》之前，已經學過乘加、乘減等兩步四則混合運算及有小括號的運算，后續還要學習小數、分數混合運算。學習本單元前對運算律有所體會，但未正式學習。學完運算律，后續還要在小數、分數領域應用。

本單元共安排8課時學習，分別是四則混合運算順序和認識中括號，加法交換律和乘法交換律，加法結合律，乘法結合律，乘法分配律和練習四。

縱觀8課時，無非2個板塊，一個是關于四則混合運算和中括號；一個是關于運算律意義及應用。由此可見，對于混合運算板塊學生有豐富的學習經驗，而對于運算律板塊學生第一次正式學習。

二、學生立場：有哪些學習節點

（一）學情分析

在教學中，我們發現學生對混合運算掌握較好，兩步混合運算順序和法則可以直接遷移到三步混合運算。而運算律這塊，學生出現問題較多，掌握不扎實。學生出現的典型錯誤主要有：

錯例A：

錯因分析：不能湊整的算成湊整。學生受數字特征的負遷移，忽視了運算順序。

錯例B：

錯因分析：學生或沒有觀察數字特征，或不能靈活運用運算律。

錯例C：

錯因分析：學生忽視運算符號，混淆乘法結合律和乘法分配律。

當學生學完整個單元的運算律后，各運算律更加容易混淆。隨著算式的變化，學生出現的錯誤更是五花八門。

（二）教材解讀

面對學生的錯題，我們往往會認為缺少訓練，通常用題海戰術鞏固，很少會追根溯源。這些錯題真正的根源在于缺失運算律意義的理解。究其原因，我們認為教材編排中對算理、算法和算律的定位有值得商榷之處。

我們知道，算理和算法在一起，算理是解決為什么可以得到這個計算結果的問題。算法是對算理熟能生巧后的概況，怎么得到這個結果。所以，算理解決“對”的問題，算法解決“快”的問題。算法和算理在一起，算法是怎么可以得到這個結果。算律是怎么可以比較快地得到這個結果。算法解決“對”的問題，算律解決“快”的問題。因此，算律是對算法的一次叛逆。

學生先學習算理，再學習算法，最后學習算律。算律的學習，必須向著學生的痛點而行，這個痛點正是算律的意義所在。如學習加法交換律和乘法交換律，教材都是呈現兩個數相加或相乘等于交換位置后的得數，這樣引出交換律，引導學生經歷探究規律并運用規律，從形上理解運算律，不利于理解運算律的意義，導致運算與運算律脫節。如果材料改成三個數連加，當第一個和第三個數能湊整，讓學生充分體會換位的必要性，交換律這樣上會形神兼備。通過交換位置，改變運算順序，但得數沒變，從而深刻理解運算律的意義。

（三）課標理解

《新課標》對運算律提出了兩方面的要求：一是探索并理解運算律（加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律、乘法對加法的分配律），能用字母表示運算律。二是能運用運算律進行簡便運算，解決相關的簡單實際問題，形成運算能力。

一是從運算、解決問題兩個目標看，要合理開展結構化學習。二是運算律作為一種數學思想的高度教學，建立“合并和抵消”的運算思想。同類事件，可交換順序再做，但不改變事件的本質。合并思想就是相同的事合并做，抵消思想就是不同的事抵消做。

綜上，我們發現加法乘法交換律、加法乘法結合律、乘法分配律都經歷了情境引入、發現規律和應用規律，更多停留在“形”上理解運算律，讓人感覺有形無神。我們認為可以從算法到算律，以猜想、推理、驗證的方式，把在加減法中認識到的運算思想推及乘除運算，形成運算的結構化知識，同時也符合學生認知，更能形神兼備。

三、結構整合：怎樣整合和拓展

基于以上思考，我們認為可以這樣整合和拓展：

一是把加法交換律和加法結合律整合成一節課，乘法交換律和乘法結合律整合成一節課。交換律都是交換位置改變運算順序，結合律是先算后面，再算前面，也是改變運算順序。本質上都是改變連加的運算順序，道理是一致的。理解改變依據就是三個數連加的意義，運算順序變了得數不變，這樣來理解運算律的意義。不同的是第一個內容是連加運算，第二個內容是連乘運算。學生掌握了加法運算律，自然會遷移到乘法運算律，推進結構化學習。

二是增加一節減法和除法運算性質的拓展課。學完加法、乘法的交換律和結合律，學生自然而然會繼續想減法、除法中有沒有運算律。小學階段，減法性質類似減法的結合律，除法性質類似除法的結合律。

三是保留《四則混合運算順序和認識中括號》、《乘法分配律》和單元練習課。

整合前8課時，整合后還是8課時。雖然課時一樣，但里面的內涵不同，學生對運算律的理解更加到位。

四、關鍵課例：大概念統攝下的單元教學

《加法運算律》是重點課，《乘法分配律》是難點課。現在我們將《加法運算律》這節課作為關鍵課例進行分析。首先確定教學目標：

知識點：對材料進行討論發現，在理解運算律的意義中認識運算律，并會用字母表示。

技能點：能把運算規律用自己的語言表達，能運用運算律巧算，解決簡單的實際問題，體會巧算的方便。

體驗點：加強對運算律的理解，體會加減法同級運算律為一個整體，形成“合并抵消”運算思想。

教學過程：

（一）情境引入，形成素材

選材：老師手中有10顆糖，淘氣又給了老師4顆，笑笑也給了老師3顆。老師現在有幾顆糖？

1.可以怎么列算式？

10+4+3 ? 10+3+4 ? 10+（4+3）

2.為什么可以這樣列式？說一說表示什么意思？

3.你能結合情境再舉一些像這樣的例子嗎？

15+5+6 ? ? 15+6+5 ? ?15+（5+6）

20+4+8 ? ? 20+8+4 ? ?20+（4+8）

……

【設計意圖：用拿糖的事導入新課。讓學生非常清晰的感知老師拿進糖與加上一個數的聯系，并聯系生活其他情景舉例，為探索運算律感受運算思想提供學習素材，以及充分的探討做準備，感受混合運算是對解決問題程序的一種綜合記錄?！?/p>

（二）討論素材，形成結構

選材：

10+4+3 ? ? ?10+3+4 ? ? ?10+（4+3）

15+5+6 ? ? ?15+6+5 ? ? ?15+（5+6）

20+4+8 ? ? ?20+8+4 ? ? ?20+（4+8）

……

1.仔細觀察上面的素材，小組討論發現了什么？

第一問：什么沒變？讓生明白，運算結果不變，事件也沒，都是拿進糖。

第二問：什么變了？事件的先后順序變了，交換了一下事件的先后順序。

第三問：這樣的變都可以嗎，因為不管怎么變，其結果不受影響。

2.用字母表示規律：a+b+c=a+c+b=a+（b+c）

3.引出運算律

像這樣的a+b+c=a+c+b我們稱為加法交換律。

像這樣的a+b+c=a+（b+c）我們稱為加法結合律。

【設計意圖：以現實素材為背景，幫助孩子在現實情境中理解領會運算思想，感受交換、合并只是事件的先后順序發生了改變，結果并沒有變化，從“形式”探究走向“意義”建構?！?/p>

4.感受運算律的簡便

在我們小學四年的學習中，以前有遇到過嗎？（出示書本素材）

三上第18頁，捐書活動（三位數連加）中出現：727+114+86

三上第22頁，結余多少錢中出現：653+97+203

第一問：三年級時按順序算是怎么算的？

第二問：現在你覺得還可以怎么算？

第三問：為什么按順序算不方面？

第四問：為什么用了運算律后變簡便了？

小結：看來用上加法交換律或結合律后，可以使得計算變得更簡便。

【設計意圖：通過具體例子，感受交換律、結合律帶來的計算便捷。】

5.小練習：快速算

27+95+73 ? ? 27+95+105 ? ?27+95+84

問題一：所有的加法計算都能用運算律后變簡便嗎？

問題二：什么時候能用交換律、結合律？什么時候不能用？

再次小結：使用加法交換律、結合律時，要考慮數字特征，當當交換或合并起來剛好是整十、整百數的時候我們才會去運用，才會起到簡便計算的效果。

【設計意圖：為什么要交換、合并？基于對數字特征的需要，當交換或合并起來剛好是整十、整百數的時候我們才會去合并。所以合并的前提是數字的特征需要，而且交換、合并前與合并后計算結果是不變的。讓學生感受到思想模型的產生是為了方便計算?！?/p>

（三）猜想拓展，減法延伸

1.問題一：是否在看到能湊整十、整百數時，就能去湊去用運算律。

舉例：314-198+2

能否用結合律變成314-（198+2）？為什么？

生：不能，計算結果不同，因為有減法，沒有減法結合律。

嘗試用糖果的情境來說一說兩個算式為什么不同。

2.追問問題二：那是不是有減法的同級運算就不能用交換律、結合律？

舉例：376+85-76 ? ? ?273-79-73 ? ?314-198-2

仔細觀察算式能否簡便計算？

結合分糖果的情境說一說為什么可以用交換律和結合律。

前兩個例子：讓學生明白，運算結果不變，事件也沒，都是拿進或者拿出糖。我們在用交換律時，要帶著符號換位置，符號是方向，也是事件的性質，交換后只是事件的先后順序變了。如果不帶著符號換位置，事件就會發生改變，例如+4表示拿進4顆，而-4表示拿出4 顆。

第三個例子：這題是孩子們比較熟悉的，在連減中可以先把減數先相加，再一起減掉，也就是相同的事可以合并做。

3.小結：在加減同級運算中，交換律就是：帶著符號換位置，只是改變了事件發生的先后順序。結合律：如果都是加，可以先把后面加數合起來再加，如果都是減，可以先把后面減數合起來再一起減，也就是相同事情合并做。

【設計意圖：從連加拓展到加減混合運算，感受減法中也有運算律。符號+數字，符號是方向，也是事件的性質，數字是數量，也是事件的程度（我們可以稱其為“向量”），在不改變結果的前提下，我們可以改變事件發生的序，但是絕對不能改變事件發生的方向和數量，表現在記錄上就是：帶著符號換位置?！?/p>

（四）提出思考，有效遷移

加減同級運算中，存在著交換律、結合律，想一想乘除法同級運算中，有這樣的規律嗎？他又會是怎么樣的呢？我們下一次再一起研究。

【設計意圖：從加減同級運算遷移到乘除法同級運算，留給孩子一個思考的空間，為后續的學習做準備?！?/p>