擴展的極簡(G′/G)展開法獲取桿中非線性波動方程的精確解及分析

范 凱,劉健康,孫 寶,李占龍

(1.太原科技大學 應用科學學院,太原 030024;2.太原科技大學 車輛與交通工程學院,太原 030024)

0 引言

對沖擊機械的研究起源于撞擊問題,部分沖擊機械設備中存在橫向尺寸比軸向尺寸小很多的部件,比如釬桿、錘桿和樁等。對此類部件沿軸向方向進行撞擊時,彈性桿是沖擊系統力學模型中的核心元件,必須考慮波動過程。劉德順等[1]基于經典線性波動方程研究了沖擊機械動力學,但存在微小變形假設和忽略泊松效應的理論局限,對要發生有限變形的高速或重載沖擊失效,無法分析泊松效應的效用。Liu等[2]在考慮泊松效應、有限變形的情況下,使用Hamilton變分原理導出如下形式的桿中非線性波動方程：

(1)

式中：u為軸向位移梯度;ρ為桿密度;ν為泊松比;E為彈性模量;G為剪切模量。顯然,方程(1)可以退化為經典的線性波動方程,進一步研究方程(1)的精確解有助于高速或重載沖擊下機械系統動力學問題研究的深入和突破。

非線性波動方程的精確解不僅可以圖形化地展示許多復雜的非線性現象,還允許對其機理進行解讀,是開展其他問題研究的重要基礎。Wang等[3]提出獲取非線性波動方程精確行波解的(G′/G)展開法,之后被廣泛應用[4-5],后續產生許多修改版,如有理(G′/G)展開法[6]、(1/G)展開法[7-9]、擴展的(G′/G)函數展開法[10-11]等。(1/G)展開法過程更簡潔,但獲得的基本解形式變少。獲取非線性波動方程的新的精確解是重要的課題[12],Pang等[10]把(G′/G)展開法的冪次從正整數推廣到負整數,獲取了KdV方程的新精確解,但未闡明擴展(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法獲取新精確解的機理。本文研究中,首先,把擴展(G′/G)展開法[10]的輔助方程變換為等價的極簡輔助方程,記為擴展的極簡(G′/G)展開法,并闡明擴展的極簡(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法是把2個Riccati方程的解以某種形式進行融合,從而獲得新精確解;其次,使用擴展的極簡(G′/G)展開法獲取方程(1)的精確行波解,并討論獲取到的26個精確解;最后,對扭結孤立波解及其對應的應變波函數進行數值模擬與分析。

1 擴展的極簡(G′/G)展開法

1.1 極簡的輔助方程及(G′/G)函數的解形式

定理1(G′/G)展開法輔助方程G″+λG′+μG=0可以簡化為極簡輔助方程G″+hG=0,其中,λ,μ為常數,h=(4μ-λ2)/4,G′=dG(ξ)/dξ。

通過極簡輔助方程的通解,在不同的條件下得到(G′/G)的解如下：

(2)

式中：C1、C2為自由常數,式(2)的結果可以進一步改寫為式(3)。

(3)

1.2 擴展的極簡(G′/G)展開法的注解

注解1擴展的極簡(G′/G)展開法只是把擴展(G′/G)展開法中的輔助方程修改為G″+hG=0,為了方便敘述,把修改后的方法記為擴展的極簡(G′/G)展開法。對于擴展的(G′/G)展開法,輔助方程選G″+hG=0不應只理解為是G″+λG′+μG=0中λ=0,μ=h的一種特殊情況,更好的理解應該是通過結合常數λ和h來使輔助方程的參數數量減少1個,因為使用這2個輔助方程得到的解完全等價,并能使整個計算過程更簡潔。

注解2對于擴展的極簡(G′/G)展開法,擬設解的形式如下：

(4)

當系數bi(i=1,…,m)為0時,退化為極簡(G′/G)展開法,有

(G′/G)′=(G″G-(G′)2)/G2(ξ)=-((G′/G)2-h

(5)

當式(4)中的系數ai(i=1,…,m)為0時,退化為極簡(G/G′)展開法,此時有

(G/G′)′=((G′)2-GG″)/(G′)2=1+GhG/(G′)2=1+h(G/G′)2

(6)

由式(5)和式(6)可知,當G滿足極簡輔助方程時,(G′/G)和(G/G′)分別滿足一個廣義Ricatti方程。因此對擴展的極簡(G′/G)展開法做出說明,擴展的極簡(G′/G)展開法可將2個Ricatti方程的解以某種形式融合在一起作為非線性波動方程的精確解,也可以說,擴展的極簡(G′/G)展開法可將非線性波動方程的解分解為2個Ricatti方程的解。

2 擴展的極簡(G′/G)展開法獲取桿中非線性波動模型的精確解

對方程(1)做行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct,然后取

p1=(-2(c2-E/ρ))/ (R2ν2(c2-G/ρ))

p2=3E/ρR2ν2(c2-G/ρ)

(7)

則方程(1)化為

U″″+p1U″+2p2((U′)2+UU″)+p2(U2U″+2U(U′)2)=0

(8)

使用平衡原理,得到方程(8)的擬設解為

U(ξ)=a0+a1G′/G+b1(G′/G)-1

(9)

把式(9)代入式(8),令(G′/G)的所有冪次項系數為0,得到如下非線性代數方程組：

求解上面11個方程組成的非線性代數方程組,得到4組非平凡解：

(10)

(11)

(12)

(13)

通過驗算發現,極簡(G′/G)展開法得到的解組就是解組3,極簡(G/G′)展開法的解組就是解組4,實例說明了擴展的極簡(G′/G)展開法獲得的解包含極簡(G′/G)展開法的解和極簡(G/G′)展開法的解。結合式(2)或(3),將式(10)—(13)的值代入式(9),得到方程(8)在不同參數條件下的不同精確解,結合行波變換式就可得到方程(1)的精確解。

耦合解組11) 當h<0,使用式(2),方程(1)具有如下形式的由雙曲函數構成的精確解：

2) 當h>0,使用式(2),方程(1)具有如下三角函數形式的精確解：

3)當h=0,此時b1=0,方程(1)的有理函數形式的精解為：

耦合解組21)當h<0,使用式(2),方程(1)具有如下由雙曲函數構成的精確解：

2) 當h>0,使用式(2),方程(1)的三角函數形式的精確行波解為：

3) 當h=0,此時b1=0,此時的解為前面的u5,6(x,t)。

解組31) 當h<0,方程(1)具有如下形式的精確解：

(14)

2) 當h>0,方程(1)的三角函數形式的精確解為：

3) 當h=0,此時的解為前面的u5,6。

解組41)當h<0,方程(1)具有如下形式的精確解：

2)當h>0,方程(1)的三角函數形式的精確行波解為：

3) 當h=0,此時b1=0,解退化為常數。

3 驗證及精確解的存在性分析

通過對所獲取的精確解的討論,展示擴展的極簡(G′/G)展開法或擴展(G′/G)展開法相比(G′/G)展開法能夠獲得新解的原因,即注釋2中的理論分析的驗證。分析精確解在實數域和材料正參數條件下的存在性。

3.1 精確解的討論及理論分析的實例驗證

參數C1和C2取值任意,相位ξ0造成行波的平移,所以考慮2個行波是否等價時,忽略相位ξ0。由此可得：① 極簡(G′/G)展開法獲得的解u11,12和解u17,18與用擴展的極簡(G′/G)展開法獲得的解u1,2和解u9,10分別相等,但缺省使用擴展的極簡(G′/G)函數展開法求得的解u3,4和u7,8;② 極簡(G/G′)展開法獲得的解u21,22和解u23,24與解u1,2和解u9,10分別相等,同樣缺省解u3,4和u7,8;③ 極簡(G′/G)展開法與極簡(G/G′)展開法除h=0時的解不同,其余情況分別等價。

更明確地說,u1,2和u9,10是使用擴展的極簡(G′/G)函數展開法求得的不同耦合解組下的解,而通過擴展的極簡(G′/G)函數展開法求得的解u3,4和u7,8不能通過極簡(G′/G)函數展開法或極簡(G/G′)展開法獲得。由此,對于極簡(G′/G)或(G/G′)函數展開法,認為u3,4和u7,8就是在行波擬設解中加入負或正冪次項而額外獲得的耦合解。忽略相位ξ0,極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法有相同的雙曲函數和三角函數解,但是由他們組合構成的擴展的極簡(G′/G)法卻得到了非線性方程的新解u3,4和u7,8。而這2個耦合解,在采用Jacobi橢圓函數展開法求解的文獻[2]中未獲得。

3.2 解的存在性分析

分析解u1,2的存在性：當h<0時,由式(10),代入式(7)中p1,p2的表達式有

8h=p2-p1=3E/(ρR2ν2(c2-G/ρ))+2(c2-E/ρ)/R2ν2(c2-G/ρ)?

c2=0.5(8GR2hν2+E)/(4R2hν2ρ-ρ)

由于c2大于0,考慮參數E,G,ρ都大于0的情況,推導出h<-E/(8GR2ν2)。要使u1,2為實數域上的解,則要p2小于0,得到c2

對于方程(1)的26個精確解,在實數域和正材料參數的條件下依次進行存在性分析,整理結果如下：

1) 不存在的解為u5,6,u7,8,u9,10,u15,16,u17,18,u23,24,u25,26;

2) 在h<0,h<-E/8GR2ν2的條件下存在的解為u1,2,u11,12,u21,22,u13,14,u19,20,其中u1,2=u11,12=u21,22,u13,14=u19,20;

3) 在h>0,h>E/4GR2ν2的條件下存在的解為u3,4;

在實數域中存在且互異的解可取u13,14,u21,22,u3,4,它們將作為數值模擬的可選解。

4 基于u13,14的非線性應變波及數值模擬分析

對于方程(1),軸向位移梯度u與軸向應變的關系為εx=u+0.5u2,可得到非線性應變波。不失一般性,取ξ0為0,以u13,14為例進行數值模擬分析。考慮由35CrMnSi鋼加工成的橫截面半徑R=0.14 m的桿,35CrMnSi鋼的材料參數取值為：

E=214.0 GPa,υ=0.274,ρ=7 600 kg/m3,G=0.5E/(1+υ)=84.0 GPa

(15)

根據解的存在性分析結果,代入式(15)中的參數和桿的半徑R=0.14 m,計算得h<-E/8GR2ν2=-216.5,精確行波解u13,14中的p2=3E/(R2ν2(ρc2-G)),整理可得非線性波速為：

(16)

畫出u13,14的正系數的三維數值模擬圖,如圖1所示,顯示為一個扭結孤立波,它是由方程(1)中的幾何非線性效應與橫向慣性和橫向剪切導致的色散效應達到一種平衡形成的。與解u13,14對應的軸向非線性應變波函數為

(17)

取h=-250,-500,-750,將式(15)中的數據和R=0.14 m代入式(17)。式(17)的三維數值模擬圖見圖2,可以看出式(17)代表1個鐘狀非線性應變波解。由非線性波速公式(16)可知,隨著桿半徑的增大,非線性波速增大;由式(17)的表達式可知,非線性波速增加,振幅增加。結合圖2可以清晰地發現,振幅增加對應正應變幅值變大,說明對于半徑越大的桿,鐘狀非線性應變波在其中傳播時,對材料的抗拉強度要求越高。

圖1 當h=-250時,式(14)中扭結孤立波解的三維數值模擬圖

圖2 當h=-250,-500,-750時,鐘狀非線性應變波解的三維數值模擬圖

5 結論

1) 通過理論分析,闡明通過擴展的極簡(G′/G)展開法不僅可以獲得極簡(G′/G)展開法與極簡(G/G′)展開法所獲取的非線性演化方程的精確解,還能獲得由2個Riccati方程精確解耦合成的解,且使整個計算過程更簡潔。

2) 通過對比分析使用擴展極簡(G′/G)展開法獲取的26個精確解,發現忽略初始相位下,極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法具有相同的雙曲和三角函數解,耦合解中不僅分布有極簡(G′/G)法與極簡(G/G′)法的精確解,還存在新形式的精確解,比如u3,4和u7,8就是新的精確行波解。

3) 梳理出3組在實數域存在且獨立的精確解,通過位移梯度解u13,14及對應的應變波函數的數值模擬和分析,發現方程(1)存在扭結位移梯度孤立波解,此時桿中能存在穩定傳播的鐘狀應變波,半徑越大,對材料的抗拉強度要求越高。