模式識(shí)別:結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué)*

童玉峰 (江蘇省蘇州高新區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校 215151)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》課程理念部分要求設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容,強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的載體．在組織課程內(nèi)容時(shí),重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑．重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程,處理好過程與結(jié)果的關(guān)系;重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述,處理好直觀與抽象的關(guān)系;重視學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的形成,處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系[1]．

模式識(shí)別是初中幾何教學(xué)重視知識(shí)的結(jié)構(gòu)化整合,是結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué),是完成上述任務(wù)的教學(xué)手段與載體．

1 深度教學(xué)

深度教學(xué)源于深度學(xué)習(xí)．黎加厚教授等人[2]在布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)的基礎(chǔ)上,認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí),并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中,能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系,并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中,作出決策和解決問題的學(xué)習(xí)．

郭元祥教授在對(duì)深度學(xué)習(xí)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上,認(rèn)為從深度學(xué)習(xí)走向深度教學(xué)有著必然性．深度教學(xué)是基于變革教學(xué)價(jià)值觀、知識(shí)觀、學(xué)習(xí)觀、教學(xué)過程觀、教學(xué)資源觀和評(píng)價(jià)觀的一整套教學(xué)理念和策略,是促進(jìn)學(xué)生學(xué)科知識(shí)、學(xué)科思想、學(xué)科能力和學(xué)科經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的教學(xué)模型[3]9．

余文森教授主張從如下四個(gè)視角理解深度教學(xué)的特征與要求[4]:(1)從學(xué)科的教學(xué)講,有深度的教學(xué)指的是體現(xiàn)和反映學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)．用學(xué)科特有的精神和文化去打造學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng),用學(xué)科特有的魅力和美感去激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力,這才是課堂教學(xué)應(yīng)有的深度．(2)從知識(shí)的角度講,有深度的教學(xué)指的是超越知識(shí)表面結(jié)構(gòu)而進(jìn)入深層結(jié)構(gòu)的教學(xué)．深層結(jié)構(gòu)是蘊(yùn)含在知識(shí)中的思維方式和價(jià)值傾向,它揭示的是知識(shí)的深層意義及知識(shí)背后的智慧意義、文化意義和價(jià)值觀念,反映的是人的精神世界和價(jià)值世界．(3)從教師角度講,有深度的教學(xué)指的是教師對(duì)教材鉆得深、研得透的教學(xué)．不能簡(jiǎn)單地把深度教學(xué)理解為僅僅是教學(xué)內(nèi)容有深度和難度,還需要學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)有深度和高度．(4)從學(xué)生角度講,有深度的教學(xué)就是讓學(xué)生進(jìn)行深度思維的教學(xué)．要求教師在傳授教材的知識(shí)內(nèi)容的同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生的思維深入到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)或再發(fā)現(xiàn)的過程中去．

郭元祥教授還認(rèn)為,深度教學(xué)有助于發(fā)展 學(xué)科核心素養(yǎng),教學(xué)中要關(guān)注學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)化、學(xué)科思想體系化、學(xué)科能力表現(xiàn)化和學(xué)科經(jīng)驗(yàn)連續(xù)化[3]160-164．

如上所述,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué),以完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu),促進(jìn)深度學(xué)習(xí)．初中幾何解題教學(xué)中的模式識(shí)別就是一種結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué)．

2 模式識(shí)別

2.1 模式識(shí)別概述

在幾何解題教學(xué)中,模式識(shí)別是基本圖形(或基本問題)的基本結(jié)論、基本思想和基本方法．我們往往可以通過對(duì)基本圖形(或基本問題)進(jìn)行各種變式,在解決問題的過程中探尋出基本圖形(或基本問題)及諸多變式的共同特征,概括出它們的一般規(guī)律,總結(jié)出基本圖形(或基本問題)的基本結(jié)論,歸納出一般的數(shù)學(xué)思想和方法,構(gòu)建出解決問題的模式．運(yùn)用遷移、化歸等數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)行直接識(shí)別應(yīng)用、間接識(shí)別應(yīng)用、轉(zhuǎn)化識(shí)別應(yīng)用、變式識(shí)別應(yīng)用、遷移識(shí)別應(yīng)用、拓展識(shí)別應(yīng)用,最終達(dá)到問題解決的目的．

圖1

2.2 模式識(shí)別舉例

2.2.1 模式的構(gòu)建與理解

例1如圖2,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D．

圖2

問題1 你能從題中得出哪些與角有關(guān)的結(jié)論,是如何得出的?

問題2 △ABC被AD所截得到的兩個(gè)三角形之間有什么關(guān)系,你是如何得到的?

問題3 由這兩個(gè)三角形相似,可以得到哪些線段之間特殊的數(shù)量關(guān)系?

問題4 根據(jù)上面的探究,你還能得出什么類似的結(jié)論,你是如何得到的?

問題5 你能對(duì)上述的探究和結(jié)論做一個(gè)小結(jié)嗎?(在直角三角形中,斜邊上的高將其分成兩個(gè)小的直角三角形,它們與原三角形相似．并且,存在著三組有比例中項(xiàng)的比例式．)

這個(gè)模式就是射影定理．初中階段不學(xué)習(xí)這一定理,而它恰是一類結(jié)構(gòu)特殊的相似三角形(有公共邊的兩個(gè)三角形)的特殊結(jié)論——存在以公共邊為比例中項(xiàng)的比例式．模式的構(gòu)建過程就是一個(gè)定理的探究過程,學(xué)生經(jīng)歷角相等到三角形相似,再到比例式的存在,最后得到等積式,是一個(gè)在逐步探究中逐步得到結(jié)論并形成結(jié)構(gòu)的過程,有利于對(duì)這一類幾何問題的解決．

例2如圖3,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A是⊙O上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),且OP=3,連接AP．

圖3 圖4

教學(xué)時(shí),教師可以提出如下的問題串:

問題1 觀察圖形,結(jié)合已知條件,在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

問題2AP的長度是如何變化的?你能通過計(jì)算來說明AP的最小值嗎?

問題3 你能通過計(jì)算來說明AP的最大值嗎?通過例題,可以得到什么樣的結(jié)論?(連接圓外一點(diǎn)與圓心并延長,與圓有兩個(gè)交點(diǎn),該點(diǎn)與遠(yuǎn)交點(diǎn)的距離就是最大值,與近交點(diǎn)的距離就是最小值.)

問題4 在問題解決過程中,重要的依據(jù)是什么?

例題從具體的問題出發(fā),在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中,觀察點(diǎn)A的位置與AP長度之間的關(guān)系,進(jìn)而猜想并證明AP的最大值與最小值,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,以及發(fā)現(xiàn)問題、合情推理能力;通過“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)進(jìn)行證明,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力,使其體會(huì)合情推理、演繹推理之間的相輔相成．

接著展示下面的問題:如圖4,⊙O的半徑仍然為2,點(diǎn)A仍是⊙O上的動(dòng)點(diǎn),將點(diǎn)P改變?yōu)椤袿上一點(diǎn),連接AP．教師繼續(xù)提出問題:

問題5 你能得到類似上面的問題嗎?如何去解決呢?

問題6 你還想探究什么問題?可以得到什么結(jié)論?你會(huì)證明嗎?

問題7 通過對(duì)前面三種不同位置關(guān)系的研究,同學(xué)們可以得到怎樣的一般結(jié)論?

問題8 你會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言來表示上面的結(jié)論嗎?(表1)

表1 用圖形語言和符號(hào)語言刻畫研究問題

在上面解決問題的過程中,構(gòu)建出一個(gè)“模式”——基本圖形的基本結(jié)論、基本思想和基本方法．基本圖形——連接點(diǎn)與圓上的一點(diǎn).基本結(jié)論——點(diǎn)連接圓心并延長,與圓有兩個(gè)交點(diǎn),該點(diǎn)與遠(yuǎn)交點(diǎn)的距離就是最大值,與近交點(diǎn)的距離就是最小值．基本思想——構(gòu)造三角形．證明這一結(jié)論的基本方法——利用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”．

如上的研究,是平面內(nèi)定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題．通過點(diǎn)與圓的三種不同位置關(guān)系的分類討論,研究了特殊位置關(guān)系與特殊數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,并找到了不同位置關(guān)系中數(shù)量關(guān)系的共性,歸納出不同圖形的共同特征與本質(zhì)屬性,進(jìn)而構(gòu)建出模式．

2.2.2 模式的識(shí)別與應(yīng)用

·直接識(shí)別應(yīng)用

例3如圖5,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AD=4,BD=9,則CD的長為．

圖5

此題中,可以直接識(shí)別出例1中的模式,由△ACD∽△CBD得到比例式,進(jìn)而得CD2=BD·AD=9×4=36,舍去負(fù)值,得到CD=6．

這里是對(duì)模式的直接識(shí)別和直接應(yīng)用,這是一種直覺思維,式是幾何直觀的外部表征．直接識(shí)別和應(yīng)用模式,可以縮短思維路徑,增加解題效果,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念．

·間接識(shí)別應(yīng)用

例4如圖6,在矩形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從C,D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)在邊BC,CD上移動(dòng)(其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止),其中點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是E的兩倍,連接AF和ED交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD=4,CD=2,則CP的最小值是．

圖6 圖7

這里的⊙Q是隱形的,需要根據(jù)Rt△APD找出隱圓,再結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)間接得到例2中的模式,然后運(yùn)用模式的結(jié)論與思想方法去解決問題．

·轉(zhuǎn)化識(shí)別應(yīng)用

例5如圖8,△ABC中,AB=AC,BC=16,AD⊥BC于點(diǎn)D．AD=6,P是半徑為4的⊙A上一動(dòng)點(diǎn),連接BP, 若E是BP的中點(diǎn),連接DE,則DE長的最大值為．

圖8

本題考查的是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形中位線定理,根據(jù)題意將DE長的最大值轉(zhuǎn)化為CP的最大值,再結(jié)合例2中的模式來解決問題．

·變式識(shí)別應(yīng)用

例6圖9是某小區(qū)內(nèi)“兒童樂園”的設(shè)計(jì)示意圖．已知⊙O的直徑AB為24 m,點(diǎn)C在⊙O上,且CA=CB．P為AB上一動(dòng)點(diǎn),連接CP并延長,交⊙O于點(diǎn)D．連接AD,BD．過點(diǎn)P分別作PE⊥AD,PF⊥BD,垂足分別為E,F．按設(shè)計(jì)要求,四邊形PEDF內(nèi)部為沙坑,陰影部分地面鋪設(shè)塑膠,圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．研究設(shè)計(jì)方案后發(fā)現(xiàn),沙坑(四邊形PEDF)的面積為49 m2時(shí),整體布局比較合理．試求當(dāng)四邊形PEDF的面積為49 m2時(shí)AP的長．

圖9

這里的△ACP與△DCA是例1的變式,雖然圖形不完全相同,但是它們都是通過兩角相等證明兩個(gè)三角形相似,然后通過對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式,進(jìn)而得到以公共邊為比例中項(xiàng)的比例式．所以,在用模式識(shí)別來解決數(shù)學(xué)問題時(shí),不僅要注意外形上的分析,還應(yīng)該對(duì)題目的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,而且要注意內(nèi)容上的理解,要能夠從一個(gè)孤立靜止的數(shù)學(xué)形式中找出關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)內(nèi)容．在解題過程中,不僅要注意方法、技巧和已有數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用,而且要揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容上的轉(zhuǎn)化,注意從內(nèi)容的聯(lián)系上去尋找解題思路[6]．

2.2.3 模式的反思與完善

上述的例1和例2是從基本圖形的屬性探究和不同分類中概括和抽象出模式的,在這一構(gòu)建的過程中,需要不斷地對(duì)過程、方法、結(jié)論等進(jìn)行反思,不斷地認(rèn)清模式的數(shù)學(xué)本質(zhì)．在模式識(shí)別應(yīng)用的過程中,模式本身也在不斷變化,需要我們不斷反思與完善．

如例1中的模式,從特殊的有公共邊的直角三角形相似結(jié)構(gòu)變化為有公共邊的一般三角形相似結(jié)構(gòu);還可以和其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合,如例6中,將變式后的模式嵌入圓的背景中,就是模式的進(jìn)一步發(fā)展．

再如例2中的模式,從一般的結(jié)構(gòu)發(fā)展成例4的隱圓結(jié)構(gòu),再發(fā)展到例5中通過三角形中位線定理轉(zhuǎn)化的模式．

3 模式識(shí)別教學(xué)是深度教學(xué)

3.1 模式識(shí)別教學(xué)是問題解決的深度教學(xué)

初中幾何模式識(shí)別符合一般問題解決的理論,是一個(gè)問題解決的認(rèn)知模式:通過對(duì)基本圖形的屬性探究和不同分類的研究,探尋其共同特征和共同屬性,概括一般規(guī)律,總結(jié)基本結(jié)論,歸納蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,構(gòu)建解決問題的模式．運(yùn)用遷移、化歸等數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)行直接識(shí)別應(yīng)用、間接識(shí)別應(yīng)用、轉(zhuǎn)化識(shí)別應(yīng)用、變式識(shí)別應(yīng)用、遷移識(shí)別應(yīng)用、拓展識(shí)別應(yīng)用等,探尋出解決這類問題的一般思路和方法,最終達(dá)到數(shù)學(xué)問題解決的目的．

如圖10所示,模式的構(gòu)建是一個(gè)開放多元的概括和抽象的過程,模式的識(shí)別是一個(gè)化歸的過程,模式的應(yīng)用是一個(gè)遷移的過程．因此,學(xué)生運(yùn)用模式識(shí)別學(xué)習(xí)是一種深度學(xué)習(xí),教師運(yùn)用模式識(shí)別教學(xué)是一種基于問題解決的深度教學(xué)．

圖10

3.2 模式識(shí)別教學(xué)是結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué)

·模式識(shí)別教學(xué)有助于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在模式識(shí)別教學(xué)中,教師通常可以采用如下的教學(xué)策略:

(1)以“模式的構(gòu)建—理解—識(shí)別—應(yīng)用—反思—完善”為教學(xué)與學(xué)習(xí)過程．在過程中引入知識(shí),關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系,在體系中去學(xué)習(xí)知識(shí),產(chǎn)生方法、經(jīng)驗(yàn),擴(kuò)充原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

(2)以結(jié)構(gòu)形成方式進(jìn)行教學(xué)．以若干例證為觀察對(duì)象,概括出這些例證共同的、本質(zhì)的特征與屬性,構(gòu)建模式,形成圖式．這樣形成的圖式有助于學(xué)生識(shí)別新的例證,更有助于識(shí)別模式和應(yīng)用模式．

(3)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中提出樣例．模式識(shí)別的課堂教學(xué)需要更加開放,鼓勵(lì)學(xué)生提出新圖式的樣例,并將其與基本圖形的基本結(jié)論進(jìn)行比照,加深對(duì)模式的理解．這樣的認(rèn)識(shí)和練習(xí)將使學(xué)生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的習(xí)慣．

(4)知識(shí)的綜合應(yīng)用．模式的構(gòu)建過程中會(huì)用到許多知識(shí),并且在識(shí)別應(yīng)用的過程中會(huì)更多地關(guān)注知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),形成特定的知識(shí)結(jié)構(gòu),在將陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)換為程序性知識(shí)的同時(shí)形成過程性知識(shí)．這樣的教學(xué),會(huì)使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加優(yōu)化、更加完善．

如上的闡述,形成了如圖11所示的一個(gè)學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程,所以初中幾何模式識(shí)別進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法和經(jīng)驗(yàn)的積累與遷移．讓學(xué)生在模式的構(gòu)建與理解中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,在模式的識(shí)別和應(yīng)用中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界,在模式的反思和完善中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,通過模式識(shí)別落實(shí)“四基”和“四能”,促成數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的落地．

圖11

·模式識(shí)別教學(xué)有助于形成學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

模式識(shí)別教學(xué)是通過對(duì)基本圖形的屬性探究和對(duì)基本圖形不同分類的研究,抽象出不同例證的共同特征與共同屬性來構(gòu)造模式——基本圖形的基本結(jié)論、基本思想與基本方法,在學(xué)生理解模式的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)全新的解決這類問題的例證．在后續(xù)出現(xiàn)要解決的例證時(shí),將其與構(gòu)建的模式進(jìn)行比照,發(fā)現(xiàn)圖形的共性、方法的共性,即識(shí)別出模式．然后運(yùn)用模式中蘊(yùn)含的基本思想和基本方法得到基本結(jié)論,即應(yīng)用模式．在模式的構(gòu)建、識(shí)別和應(yīng)用過程中,對(duì)模式進(jìn)行反思,包括反思圖形、結(jié)論、方法等,對(duì)模式進(jìn)行矯正和完善,也有可能形成新的模式．這樣便構(gòu)成了一個(gè)教學(xué)結(jié)構(gòu),如圖12所示．

圖12

在這樣的教學(xué)的長期影響下,學(xué)生會(huì)在快速、高效解決問題的過程中獲取成功的體驗(yàn),進(jìn)而產(chǎn)生一種積極的心態(tài),在這種積極心態(tài)的影響下,學(xué)生也會(huì)自主、主動(dòng)地嘗試著去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建新的模式,并嘗試著運(yùn)用模式識(shí)別去解決問題．當(dāng)他們?cè)俅斡辛顺晒w驗(yàn)后,這種嘗試便得到了強(qiáng)化．那么這樣的教學(xué)過程就是一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程,這樣的教學(xué)結(jié)構(gòu)滋生出一個(gè)高效的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)．

總之,模式識(shí)別這種結(jié)構(gòu)化的深度教學(xué)有助于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),有助于落實(shí)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值．