例論常規方法受阻時的解題教學*

孔祥武 (江蘇省常州市第一中學 213003)

羅海兵 (江蘇省淮安市淮陰區教師發展中心 223399)

1 問題的提出

章建躍博士認為:注重通性通法才是好的數學教學[1]．淡化技巧﹑注重通性通法也早已成為教師們的共識．然而,就算知道并熟悉了這些常規的通性通法,當碰到一些非典型問題時,解題者依然會捉襟見肘．有些看上去挺正常的題目,做起來卻不是那么回事,或是因為復雜的運算而畏葸不前,或是因為常規方法不具可操作性而難以為繼,這時解題者常常陷入進退兩難的尷尬境地．當常規方法受阻時,解題者如何在常規方法和變換方法的糾結中突圍?同時,倘若常規方法失效了,我們被迫選擇了非常規方法,有些教師不知不覺中又把解題教學搞成了“題型+技巧”的展示,淡化了通性通法,突顯了特殊技巧．加之2022年新高考Ⅰ卷整體難度頗大,現在各校高三教學隨之普遍加大了難度,變化多端的技巧讓學生無所適從,作為解題指導者的我們該如何破局?

2 常用教學形式

講題容易破局難,成敗關鍵在教研．筆者以為碰到常規方法受阻的問題,一定要加強研究．只有建立在自己深入研究的基礎上,才能更好地指導學生解題．研究有了深度,課堂才有力度,教學才有效度．筆者經常基于這些非常規問題,引導學生從以下四個維度展開學習,現擷取一例以說明問題．

(1)求圓D的方程．

①若圓D關于直線l1對稱,求n的值;

②若m>0,n>0,求證:mn+m-n為常數．

前面的思路自然清晰,但運算過程讓人望而生畏,解題陷入窘境,常規方法似乎失效了,怎么辦?

2.1 引導學生主動求變,另辟蹊徑

解題受阻時要引導學生學會換一個視角看問題．正因為求交點復雜,代入后繁上加繁,我們可不可以另辟蹊徑轉而設出這個交點呢?

正所謂退一步海闊天空,窮則思變,換一個角度,調整思維的觸角,通過主動求變來突破．解題教學中我們要引導學生學會“及時止損”,勇敢地放棄原來的想法,或許會“柳暗花明又一村”．

2.2 引導學生知難而進,調整優化

常規方法真的無效嗎?有時可行與不可行也是相對的,因人而異的．解題者囿于自身水平,倘若實在想不出其他有效方法,也可以選擇不忘初心,迎難而上．解題教學中我們可以引導學生繼續審視自己原來的常規思路,進行調整優化．沿續最初的解法,我們選擇硬算解之,“明知山有虎,偏向虎山行”．初步嘗試后,學生發現項比較多,式比較亂．在學生經歷“苦楚”之后,筆者適時引導學生以m為主元進行整理,整理成m的二次方程后再觀察,得到如下解法．

但這種方法需要強大的“運算修為”作支撐,同時要運用因式分解技巧,因此曲高和寡,很少有人能“修成正果”．

2.3 引導學生尋根究底,追本溯源

多一些想,方能少一點算．學生都十分驚嘆,為解法的簡潔美所折服．像這樣沿著命題者的足跡,居高臨下,往往會產生優美的解法．

2.4 引導學生躬身自省,解題反思

題不僅要會解,更要會“品”．引導學生解題后反思也是解題教學的重要環節,可以幫助學生把理念升華．教師大致可以引導學生從以下角度再回顧:反思有無其他解法——拓展思維多樣性;反思有無疏漏之處——確保思維嚴密性;反思提煉活動經驗——形成方法遷移性;反思策略是否合理——提升解題實戰性．筆者在引導學生反思該例題的時候,總覺得“不淋漓盡致,不痛快”．解法2的解答過程總覺得過于驚心動魄,其中因式分解提取公因子3m+1和3n+1在解題中具有很大的不確定性,這就使得這種方法缺少很好的適用性．難道這一因式分解過程就不能從其他角度發現端倪嗎?筆者順勢把問題拋給了學生．

每一個解題的人都有自己的經驗,可以根據自己的經驗總結出若干條有用的要訣．教學中教師要善于引領學生進行解題反思,提煉活動經驗.比如,就本題學生提煉出如下解題啟示:做解析幾何題要注意數形結合思想;解交點困難時可以設交點;對于凌亂的式子,要選擇一個主元進行整理;遇到復雜的代數表達式要注意因式分解技巧．這樣的解題心法與經典例題相結合,有血有肉,使解題方法更有生命力,有助于實現方法遷移．

3 幾點教學啟示

3.1 要重視非常規問題挖掘——忌淺嘗輒止

常規方法受阻了,恰恰說明我們碰到的問題非典型、不一般,教師要深入研究,往往能積極促成自己更新解題觀念,拓寬解題思路,彌補經驗不足．同時筆者認為“常規”與“非常規”具有相對性和階段性．現在的“非常規”問題隨著研究的深入或是將來的“常規”問題．高考題中必然會有一定比例的“非常規”試題,以更好地實現甄別和選拔功能．就像f(x)=x·ex與g(x)=lnx·x相類似的同構技巧,剛開始出現時,大家往往驚嘆于它的神奇,覺得“非常規”,但隨著高考題推波助瀾,逐漸引起大家關注,如今大家都已見怪不怪,覺得很“常規”了,所以我們的解題研究和教學要有前瞻性．比如解法2中提及的因式分解和主元整理技巧,看上去技巧性過強,有些“非常規”,卻與2022年新高考數學Ⅰ卷的第22題有異曲同工之妙;解法3中用斜率來表示角的思想與2021年八省適應性考試數學卷第21題如出一轍．因此,我們平常碰到常規方法失效的問題時,一定不能簡單冠以“非常規”的帽子,淺嘗輒止．這些問題的出現恰恰是提升我們解題能力的重要契機,也許不經意間會與高考題來一場美麗的“邂逅”．

3.2 不要輕易否定常規方法——忌劍走偏鋒

碰到常規方法受阻的問題,我們也不能輕易否定常規方法．常規方法暫時失效,不代表真的無效．常規方法通常有著廣泛的“群眾基礎”,具有普適性,脫離了常規方法玩技巧,容易劍走偏鋒,未必能達到好的教學效果．常規方法也屬于通性通法．堅持通性通法,不僅能經常回顧和復習基本知識﹑基本方法和基本技能,而且能以“不變”的思考方式來應對“萬變”的數學問題[2]．解題教學中碰到常規方法不能解決的問題時,若能想出不同于常規方法的解法,同時又能基于常規方法作改進,引導學生從失敗走向成功,這樣的教學往往更能直擊學生要害,更具說服力,能引起學生認同．

3.3 要暴露思維調控的過程——忌包辦代替

非常規性問題的解題教學活動中教師要注意暴露自己的思維調控過程,向學生展示預判﹑調整﹑抉擇的真實過程,給他們示范自己是如何從失敗走向成功的．只有真實的解題教學,才會使學生受到啟迪,引導他們正視困難、面對挫折,從解題模仿到解題創造．哪怕常規方法最終被確定是無效的,教師也切忌包辦代替,直接把自己成功的經驗和結論告訴學生,因為不經歷挫折的經驗“來也匆匆,去也匆匆”．讓學生經歷其中,才更容易幫他們理解﹑接受和形成遷移．

常規問題,要做到熟練化,熟是純熟自如,化是出神入化,不熟不化,更要多練,待到后來,自然熟能生巧,變化無窮．由此看來,常規方法如能嫻熟運用也很有威力．碰到常規方法受阻的問題,思考時要堅持先常規方法后非常規方法,教學時要堅持通性通法為主,巧解妙招為輔,這樣的教學才能既扎實又靈動,讓不同層次的學生各有所得．