必備學具巧運用 快樂高效提素養*

杭 靜 (江蘇省興化市板橋初級中學 225700)

1 問題的提出

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:“學生的學習應是一個主動的過程,認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式”[1],并要求教師組織學生親歷實驗操作、觀察猜想、推理驗證等數學教學活動,激發學生學習興趣,引發學生積極思考,引導學生在真實情境中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題,從而獲得基礎知識,掌握基本技能,領悟基本數學思想與方法,積累數學基本活動經驗,培養良好的數學學習習慣,形成積極的情感、態度和價值觀,提升核心素養.要達到以上目標,學具的運用不失為一個重要的載體.

所謂學具,是指可供學生在開展學習活動時直接操作的用具.本文所說的學具主要指直尺、三角板、圓規、量角器等學習工具.由于這些學具是每一位學生在數學學習時所必備的,因此我們稱之為學生的必備學具,它們是很重要的教學資源.如何合理使用學生的必備學具,構建快樂高效的課堂活動,有效提升學生的核心素養,是一個值得認真研究的課題.下面談談我們的做法與思考,供研討.

2 運用必備學具的案例

2.1 運用必備學具理解核心概念

數學概念是構成數學理論體系的基石,是對客觀世界中的數量關系、空間形式及結構聯系的精辟概括,是數學對象本質屬性的反映,是中學數學基礎知識的核心.深刻理解數學概念是學好數學的關鍵,因為數學概念是進行準確判斷和正確推理的基礎,是提高解題能力和進行自主學習的保證．數學概念的教學是數學教學的重要組成部分,而運用必備學具可以加深學生對核心概念本質的理解．

案例1軸對稱圖形概念的教學.

同學們,我們已經知道軸對稱圖形的概念,下面請大家一起來尋找身邊的軸對稱圖形．我們每個人都有一副三角板和一個量角器(圖1)．

圖1

(1)在這三件學具中,可以看作是軸對稱圖形的是(填字母代號),并指出它的對稱軸;

(2)請先用這三個圖形中的兩個擺出一個軸對稱圖案,再畫出它的草圖(只需畫出一種)．

設計意圖軸對稱圖形是初中數學的核心概念之一,在教授軸對稱圖形的概念后,引導學生利用自己十分熟悉的必備學具來進行軸對稱圖形的識別與設計,以加深學生對軸對稱圖形概念的理解.在這個設計中,既要用概念去進行判斷,又要用概念去指導操作,既有封閉性的問題,又有開放性的問題,能簡潔高效地檢測學生對軸對稱概念的掌握與運用情況.

教學說明 由于對必備學具十分熟悉,因此問題一提出學生便興趣盎然,紛紛動起手來,有的還不滿足于設計一種圖案．對于問題(1)學生均能正確判斷,而問題(2)是一個開放性問題,隨著解題者思考角度的不同,設計的圖案也各異,絕大多數學生設計的圖案如圖2所示,也有學生設計出類似于圖3的圖案,靈活運用了軸對稱圖形的概念,體現出思維的靈活性、廣闊性和創造性．

圖2

圖3

2.2 運用必備學具探究發現結論

法則、定理、公式的教學是初中數學教學中又一重要組成部分,法則、定理、公式是解題的有力武器,是學生形成關鍵能力的主要渠道.但許多法則、定理、公式是有前提條件的,如果改變前提條件,就可能是另一片天地.因此在法則、定理、公式的教學中,既要重視強調這些前提條件,避免使用時出現似是而非的錯誤,又要在學生知識儲備許可的情況下,適當引導學生去掉這些前提條件,去探索新的結論,進而完善學生的知識體系,提高學生的探究能力,發展學生的核心素養.

案例2勾股定理的教學.

同學們已經知道,勾股定理在直角三角形中才能成立,即在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.那么,對一般三角形,這個結論是否成立?如果不成立,又有怎樣的結論呢?你能利用手中的學具說明你的猜想的合理性嗎?

設計意圖勾股定理是對直角三角形而言的,但有些學生忽視這個前提條件,在一般三角形中也運用勾股定理而導致錯誤.因此,必須通過數學活動來強化學生對勾股定理前提條件的認識,可以利用舉反例來強化,也可以通過探索非直角三角形中三邊之間的數量關系來強化.而利用必備學具來探索非直角三角形中三邊之間的數量關系,工具唾手可得,結論一目了然,過程快樂高效.

教學說明 勾股定理在非直角三角形中不成立,有些教師是通過舉反例來強化的,還有些教師通過幾何畫板將直角三角形變為銳角三角形和鈍角三角形,再讓學生計算有關面積,進而概括出非直角三角形中三邊之間的數量關系,以此進行強化．這里,引導學生通過必備學具(圓規)演示將直角三角形的直角變換成銳角和鈍角,在角的兩條夾邊長度不變的情況下,發現角的對邊分別變短和變長了,進而概括出結論,直觀明了.學生將探索得到的新結論與勾股定理整合,構成了一個完整的知識體系.

2.3 運用必備學具突破重點難點

在數學學習中,有許多重點、難點需要教師通過組織數學活動幫助學生去突破,解難釋疑是教師的天職.可組織的數學活動是多種多樣的,而利用學生的必備學具組織的數學活動最為經濟且高效.學生動手操作,通過學具的接拼與組合,再進行詳細的觀察與測量,對得到的數據進行分析比較,從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性,形成自己的完整數學認知,重點、難點得到突破,必備能力得到提升,核心素養得到發展.

案例3探索全等三角形的條件的教學[2].

議一議

(1)當兩個三角形的1對元素分別相等時,它們一定全等嗎?

(2)當兩個三角形的2對元素分別相等時,它們一定全等嗎?

(3)當兩個三角形的3對元素對應相等時,它們一定全等嗎?

請學生先獨立思考,再小組內交流,最后全班展示,分別列舉出只有1對元素、2對元素、3對元素對應相等的所有情況,并利用身邊的學具說明三角形是否一定全等.

設計意圖利用全等三角形的概念判定兩個三角形全等,需要說明三邊和三角分別相等,比較復雜,如何簡化判定條件是教學的重點,也是難點.這里提出的三個問題,從簡單到復雜,讓學生通過獨立思考、組內交流、全班展示,自主探索三角形全等的條件.學生充分利用自己的必備學具和教師的教具,對不全等的情況舉出反例,得到至少需要3對元素(其中至少有1對邊)相等才可能全等的猜想,順利進入本節課研究的重點,提高了課堂教學的效率.

教學說明 學生對必備學具了如指掌,因此在獨立思考、組內交流的基礎上,全班展示時,充分利用學具列舉反例,效果極佳[3].

(1)1對元素相等的情況有2種:一邊、一角,此時三角形不一定全等.

一邊:如圖4,兩塊三角板有1條邊相等,但它們不全等;

圖4

一角:如圖4,兩塊三角板都有1個角是直角,但它們不全等.

（1）顯著降低水稻各部位稻米中鎘和砷的含量且提升稻米產量。（2）有利于酸性鎘污染土壤改良和鎘/砷在水稻根表的吸附固定，可抑制鎘和砷向水稻內部遷移。

(2)2對元素相等的情況有3種:兩邊、一邊一角、兩角,此時三角形也不一定全等.

兩邊:如圖5,以圓規的兩腳為腰組成的等腰三角形中,當頂角分別為銳角和鈍角時,它們有2條邊分別相等,但它們不全等;

圖5

一邊一角:如圖4,兩塊三角板有1條邊和1個直角分別相等,但它們不全等;

兩角:我們用的小等腰直角三角板和老師用的大等腰直角三角板,三個角都分別相等(當然滿足兩個角相等),但它們不全等.

(3)3對元素分別相等的情況有4種:三角、兩邊一角、兩角一邊、三邊．

三角分別相等的反例如前,但對于其余三種情況下兩個三角形是否全等,學生們激烈地爭論著,看法不一,最后都向教師投來了求助的目光.

教師在總結歸納的基礎上,明確本節課研究的主題:探究兩邊及其夾角相等的兩個三角形是否全等．

這里,學生用必備學具學習數學、理解數學、應用數學,深感必備學具的魅力,學生學得生動活潑,富有個性．

2.4 運用必備學具培養問題意識

案例4三角形內角和定理及其推論的教學.

我們在學習角的時候,曾用一副三角板拼出了一些特殊角.現在我們又學習了三角形的內角和定理及其推論,利用三角板就可以設計出運用這些知識來解決的新問題.例如,將一副三角板按圖6的方式重疊,則∠1的度數為( )．

圖6

A．45° B．60° C．75° D．105°

請用你們手中的一副三角板,擺出新圖案,提出新問題,先組內交流,再派小組代表展示,比一比,看誰提出的問題多!

設計意圖以學生熟悉的用三角板拼特殊角入手,抓住前后知識的聯系,充分利用學生的知識最近發展區,通過教師的示范,引導學生拾級而上,不斷變換三角板的位置,去發現和提出問題,積累發現和提出問題的經驗,達到培養學生問題意識的目的．

教學說明 利用學生的必備學具設計問題是中考命題的熱點,這類問題難度適中,背景公平,利于操作,使考生備感親切．當教師布置任務后,學生十分興奮,很快投入到問題的設計中,提出了許多高質量的問題:(1)如圖7,使一副三角板一條直角邊重合,另一條直角邊平行,求∠1的度數;(2)如圖8,使一副三角板兩條斜邊平行,直角頂點分別在另一個三角形的斜邊上,求∠BMD的度數;(3)如圖9,讓一副三角板直角邊與斜邊平行,一個三角形直角頂點在另一個三角形直角邊所在的直線上,求∠CED的度數;(4)如圖10,將兩個三角形重疊擺放,求∠2的度數;等等.在進行交流展示時,學生對各個問題進行了分析求解,并對有些問題進行了變式拓展,提出了新的問題.如對問題(4),有學生提出新問題:如果改變兩個三角形重疊的位置,則∠1的大小是否發生變化?如果設∠1=α,你會用∠1來表示∠2嗎?學生從解題者變為命題者,這個角色的轉換使學生的關鍵能力得到了提高,核心素養得到了發展.

圖7 圖8

圖9 圖10

3 思考與建議

3.1 要充分認識必備學具的特有價值

必備學具作為學生手中的重要資源,有著特有的價值.從經濟的角度來看,必備學具就在學生的手邊,取放自由,經濟方便,可直接觸摸,任意擺弄;從熟悉的角度來看,學生在小學就與必備學具打交道,相處數年,對必備學具各自的功能十分熟悉,可依需選擇,隨時更換;從功能的角度來看,由于學生對必備學具十分熟悉,在數學教學中科學有效地使用必備學具創設合理適時的動手操作活動,給學生提供動手的機會,即可拉近學生與數學的距離,進而喚起學生的學習興趣,調動學生學習的積極性.必備學具所代表的客觀事物可以較清晰地呈現,因此能激發學生的直覺思維,使抽象的數學知識變得直觀形象,有利于學生更好地理解掌握,會使數學學習變得自然、輕松、快樂、高效.因此,教師要充分認識必備學具的特有價值,在教學中充分用好這一資源,讓學生在必備學具的操作中深刻理解核心概念,探究發現數學結論,有效突破重點難點,不斷培養問題意識,助力學生提升學習效果,形成關鍵能力,使核心素養的培養落地生根.

3.2 要深度研究必備學具的運用策略

教師備課時,在認真研讀課標和教材的基礎上,要考慮如何將必備學具與教學內容有機地結合起來,深度研究必備學具運用的策略,讓必備學具為提高教學效益添磚加瓦.(1)在變換中運用.在必備學具的多種變換中突出事物的本質屬性,從而使學生對概念本質特征的理解更加清楚,對結論來龍去脈的探究更加明白.如案例1中,學生都是利用等腰直角三角板和量角器進行構造的,教學中可提問:用一塊含30°的直角三角板和量角器可以構造嗎?為什么?再如案例2中是用圓規來探究結論的,教學中可提問:變換為等腰直角三角板如何探究結論?(2)在合作中運用.在必備學具的運用中,一般學生都是單打獨斗,他們總是只選擇自己的必備學具,而不是與同學或老師進行合作.因此,教師要營造學具“短斤少兩”的氛圍,當學生發現必備學具不夠用時,對合作的要求就自然變成了學生的需求,學生就會變“要我合作”為“我要合作”,這恰恰是合作學習的最美風景.如案例1中可要求學生設計出復雜一點的軸對稱圖案,案例3中尋找三個角相等的兩個三角形是否全等的反例時教師可舉起手中的三角板,案例4中可要求學生設計難度大一些的題目. (3)在解題中運用.在數學解題中,必備學具更有其用武之地(這方面的例子很多,限于篇幅,從略).在例題教學中,教師可借助典型問題引導學生學會運用必備學具去分析問題、解決問題,提升學生的解題能力.

3.3 要關注必備學具操作中的數學思維

在運用必備學具進行操作的過程中,操作只是載體,是表象,關鍵是數學思維,這才是內在的核心.在課堂教學中,我們要及時引導學生關注必備學具操作過程中所反映出的數學本質,引領自己的數學思維,實現必備學具操作活動的內化.(1)在操作前引領.利用學生對必備學具十分熟悉的優勢,讓學生在操作前將必備學具“隱形”,對操作后的結果展開數學想象,再把想象的樣子在草稿紙上畫張草圖,最后操作必備學具進行驗證.這就使得學生的思維充分外顯,并得到有效引領,能更好地培養學生的空間想象能力,發展空間觀念.(2)在操作中引領.在必備學具的操作中,要求學生每次操作時都說明理由,即用已經學習過的數學知識來進行數學思維.一般來說,學生對實驗操作如何抽象成數學問題會感到比較困難,即不會進行數學表達.為此,教師要不斷引導學生將具體的操作及相關的結論進行數學抽象并轉化為數學問題,來培養學生發現問題、提出問題的能力.(3)在操作后引領.對通過操作必備學具得到的數學結論,要求學生根據操作得到的啟示,運用不同的思維方法,用邏輯推理來證實(或證偽),提高分析問題和解決問題的能力,并用課堂的生成性資源來規范學生的表達,讓學生學會用數學的語言來表達世界.

必備學具雖然結構都很簡單,但科學使用卻大有講究.如何根據教學的具體內容靈活運用必備學具助力教與學,構建快樂高效的課堂,提升教學質量,值得我們去深度研究.