一道解析幾何試題的求解探究之旅*

廣東省中山市煙洲中學 (528401) 周建剛

解析幾何中涉及到的動點及相關的最值問題常常是高考和模擬考的熱點和難點,是學生比較畏懼的題型之一,因其內涵豐富,解法靈活,備受命題者的青睞.本文對2022年南昌市一模第12題求解進行研究,從不同的角度給出四種解法,并對就其命制進行追根溯源.

1 試題呈現與分析

已知A(-1,0),B(3,0),點P是圓O:x2+y2=45上的一個動點,則sin∠APB的最大值為( ).

試題背景平和、內涵豐富,從知識層面看,主要考查圓的幾何性質、圓上動點相關角的最值等知識;從能力層面看突出考查學生運算求解、思考探究、邏輯推理等方面的能力;試題的思維過程和運算思路凸顯了能力立意的命題思想,較好地體現了對解析幾何中綜合函數、不等式、解三角形等核心內容和思想方法的考查,也能較好地檢測學生的學習潛能和數學素養.

2 解法探究

思路1 幾何問題代數化

評注：先設點P坐標根據中垂線關系表示外接圓圓心M,再建立目標函數利用圓的參數方程,結合輔助角公式求最值,解題思路較為常規,但運算過程較復雜.

思路2 運用到角公式

評注：利用圓的參數方程設先設點P坐標,進而表示直線PA、PB的斜率,借助到角公式表示出∠APB的正切值,再利用輔助角公式求相應的最值,本解法對于學生而言好算但不好想,到角公式是教材之外的補充知識,學生接觸的不多,需要強化和積累.

思路3 運用柯西不等式

評注：先根據圓的對稱性利用三角形的面積建立關于∠APB的正切函數關系,再根據柯西不等式求最值,極大簡化運算過程,簡潔明了.

3 追根溯源 總結提升

湘教版普通高中課程標準試驗教科書《數學(必修二)》第260頁習題如下:

如圖1,足球運動員在國際標準足球場上沿下列直線方向帶球推進,試尋找最佳的射門位置,使得射門的命中角最大.

圖1

(1)沿著貼近球場邊線AB的直線推進;

(2)沿與底線成45°夾角的直線CD推進,并推廣到推進路線與底線成α角的情形.

3.1 問題探源

本題源于歷史上經典的米勒問題.1471年,德國數學家、天文學家米勒向教授提出了一個有趣的問題:在地球表面的什么部位,一根垂直的懸桿呈現最長(即可視角最大)?上述最大視角問題因是米勒首先提出的,故被稱為“米勒問題”.米勒問題廣泛存在于各種實際問題中,例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點等.

3.2 問題轉化

將上述模型一般化,可得到如下數學問題:如圖2,設M、N是銳角∠AOB的邊OA上的兩點,試在邊OB上找一點P,使得∠MPN最大.

圖2

對上述米勒問題,我們有如下重要的米勒定理:

已知點M、N是∠AOB的邊OA上的兩個定點,點P是邊OB上一動點,則當且僅當ΔMPN的外接圓與邊OB相切于點P時,∠MPN最大.

結合米勒定理,對于文中的解析幾何試題,我們可從另外一個視角給出解答.

評注：最大視角問題在各類試題中頻頻亮相,常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查,若能從題設中挖掘出隱含其中的米勒問題模型,并能直接運用米勒定理解題,將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度,從而使得問題順利解決.

3.3 真題溯源

以米勒問題為背景的最大張角問題在歷年高考試題中屢見不鮮而又經久不衰,如1986年高考全國卷理科第5題、2005年高考浙江卷理科17題、2010年高考江蘇卷17題等.若能從題設中挖掘、識別出隱含的米勒問題模型,將有效的突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維容量,從而使得問題順利解決.倘若無法及時提取該模型,很容易成為考生難以逾越的鴻溝,下面給出幾道真題以示參考.

例1 (2004年全國卷)在直角坐標系中,給定兩點M(1,4),N(-1,2),在x軸的正半軸上求一點P,使得∠MPN最大,則點P坐標為.

圖3

例3 (2005年浙江高考題節選)已知橢圓的中心在原點,焦點F1、F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準線l與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1;若點P在直線l上運動,求∠F1PF2的最大值.

4 結語

本文通過研究一道解幾題解法,獲同類問題的一般求解,即巧妙借助米勒定理處理此類問題,達到目標明確,過程簡潔,事半功倍之效.數學家波利亞曾說過:“掌握數學就意味著善于解題”.所以數學問題的解決僅僅是一個開端,更重要的是解題后的反思與回顧,以便深刻地揭示問題的本質.在解題教學的過程中,教師要多引導學生多角度思考解題思路,深入挖掘問題本質,尋求巧妙的解題方法,并及時歸納總結規律和結論,從而提高教學效率.