基于一道高考題的高三數(shù)學復(fù)習設(shè)計

華佳

摘要：新高考試題發(fā)生了很大的變化，數(shù)學教學也跟著發(fā)生變化.新高考更注重對學生素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)學生抓住關(guān)鍵因素，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)、關(guān)鍵和規(guī)律.本文以2022年高考三角函數(shù)問題為例，探討如何培養(yǎng)學生數(shù)學運算求解能力、數(shù)學推理論證能力和數(shù)據(jù)分析能力.

關(guān)鍵詞：新高考；三角函數(shù)；課堂教學

2022年全國高考數(shù)學一卷解答題第18題三角函數(shù)試題滲透了新課程的理念.很多學生覺得該題很難，其實這題考查了學生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識和技能的掌握，著重考查學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)，指引著我們正確的教學導(dǎo)向，若學生掌握這些知識并擁有這些能力，便能迎刃而解.

1真題展示

設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1） 若C=2π3，求B;

（2） 求a2+b2c2的最小值.

試題表述簡潔明了，有兩道小題，由淺入深.試題主要考查了三角函數(shù)中的二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式，簡單的三角恒等變換、同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦定理、余弦定理重要的基礎(chǔ)知識.此外考查學生對三角基本概念和公式的靈活運用，考查學生的運算、轉(zhuǎn)化與化歸、逆向思維等能力.

對于第（1）題，由于式子比較容易變形，學生比較容易做出來.方法1：先用二倍角公式化簡cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B，因為B∈0，π3，易得sinB=cos（A+B）=-cosC=12，即可得出角B=π6.方法2：先對角相乘cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA，移項可得cosA-sin2B+cos（A+2B）=0，因為已知的是角C，要求的是角A，所以顯然是把角A用角B、C來表示，得出-cos（B+C）-sin2B+cos（π-C+B）=0，然后兩角和的余弦公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡得出-2cosB（sinB+cosC）=0，即可得出sinB=-cosC.

2障礙分析

障礙一：學生看到a2+b2，就很容易聯(lián)想到余弦定理a2+b2=c2+2abcosC，得a2+b2c2=1+2abcosCc2，然后邊化角得1-2sinAsin2Bsin2C，但無法繼續(xù)做下去.因為題目沒有直接揭示A、B、C間的關(guān)系，由第一題得出的sinB=-cosC這個重要結(jié)論可知角B和C的關(guān)系，這個是本題的突破口.

障礙二：運用正弦定理邊化角a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C，要想往下做也是和障礙一一樣找A、B、C間的關(guān)系.

障礙三：學生想到第一題結(jié)論的運用，把sinB=-cosC平方得cos2C=sin2B=1-cos2B，聯(lián)想到余弦定理a2+b2-c22ab2+a2+c2-b22ac2=1，運算量很大，不易解出來.

3障礙解除

障礙一和障礙二化簡后的式子相當于有三個變量，要求函數(shù)的最小值就是要去消元，即去找角A、B、C間的關(guān)系.而如何去找呢？需要抓住第一題得出sinB=-cosC的這個結(jié)論.在三角形中sinB=-cosC=sinC-π2，這里得出角C是鈍角，所以角B、C-π2都屬于0，π2，又因為y=sinx在0，π2上是單調(diào)遞增的，所以得出B=C-π2，這是本題的突破口.

在三角形ABC中，有一些很重要的結(jié)論：若A+B=π2，則有cosA=sinB；反之若sinB=cosA，則有A+B=π2.利用逆向思維，由sinB=-cosC可以得出一些結(jié)論？由于sinB=-cosC=cos（π-C），因為是在三角形中，可以得到B+π-C=π2，所以得到C=π2+B.此時找到了角A、B、C間的關(guān)系，第二題就迎刃而解.

障礙一解法：因為B=C-π2，這里把角A、B都用角C表示，盡量使分母簡潔A=π-B-C=3π2-2C，所以a2+b2c2=1+2abcosCc2=1-2sinAsin2Bsin2C=1+2sin3π2-2CsinC-π2cosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2（1-2sin2C）（1-sin2C）sin2C=-5+2sin2C+4sin2C≥-5+42，當且僅當2sin2C=4sin2C，即當sin2C=22取到最小值.

障礙二解法：因為B=C-π2，這里把角A、B都用角C表示，盡量使分母簡潔.a2+b2C2=sin2A+sin2Bsin2C=sin23π2-2C+sin2C-π2sin2C，最后化簡和上面的解法一樣.當然，這里只要消元用角B、C表示也可以.

4教學啟示

高考數(shù)學從江蘇卷到全國卷，三角函數(shù)這個知識點考查有重大的變化，以前江蘇卷的三角函數(shù)題基本上放在解答題的第一題或者第二題的位置，學生很快能做出來，大部分可以得滿分，或者因為解題規(guī)范扣很少的分數(shù).現(xiàn)在，全國卷將試題放在解答題位置的第二題，與江蘇卷相比難度有所提升，學生得分明顯下降.三角函數(shù)一直是高考卷的得分重頭，我們老師可以在以下幾個方面幫助學生學好三角函數(shù).

4.1立足課本內(nèi)容，夯實基礎(chǔ)知識

三角是高考考查的重點.三角函數(shù)這一章中出現(xiàn)大量的三角公式，這是該章的基本知識點，也是高考考查的重點，這些公式有緊密的聯(lián)系.和差角公式具有一般的意義，誘導(dǎo)公式、倍角公式等都可以看作它的特例.學習時要充分利用這種聯(lián)系，避免對公式的死記硬背.這類題目不難，主要考查學生對三角基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度.只有讓學生熟練掌握三角公式和對公式的轉(zhuǎn)化，形成牢固的知識根基，才能使學生思維能力和解題能力有進一步的提升.

例1（數(shù)學必修第二冊第48頁）在△ABC中，已知cosA=45，B=π3，b=3，求ac.

思路分析1：已知兩角和一邊，求另外兩邊，有的同學想到用兩次余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc=3+c2-a223c=45，cosB=a2+c2-b22ac=12，進行聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)方程組不容易解出來.

思路分析2：看到b和B即對角和對邊，想到用正弦定理asinA=bsinB，得出a=65是關(guān)鍵點，接下來已知兩角和兩角對應(yīng)的邊，要把另外一邊求出來，學生繼續(xù)想到用正弦定理，需要把sinC求出.根據(jù)三角形內(nèi)角和C=23π-A，所以sinC=sin23π-A，求出sinC=43+310，再由正弦定理csinC=bsinB，得出c=43+35.

思路分析3：由正弦定理得出a=65，學生利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，都可以化成關(guān)于c的一元二次方程25c2-403c+39=0，從而求出c.

素養(yǎng)回顧：本題是數(shù)學必修第二冊第48頁上的一道題，考查了解三角形中正余弦定理的靈活運用和兩角差的正弦公式.在解三角形中，已知兩邊和它們的夾角或者已知三邊，利用余弦定理較為方便.已知兩角和任一邊或者兩邊和其中一邊的對角，則利用正弦定理較為合適.這題思路3較為簡潔.高考中解三角形經(jīng)常與三角函數(shù)的公式結(jié)合在一起進行考查，這就要求學生牢固掌握每個知識，靈活運用并選擇最合適的方法進行求解.引導(dǎo)學生在解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)條件進行變形，提高學生的推理能力和數(shù)學運算能力.

4.2把握高考方向，培養(yǎng)學生運算能力

三角函數(shù)這一章要求學生能夠了解同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、二倍角公式等運算特點，正確進行運算；能夠根據(jù)式中角和函數(shù)名的特征，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，進行合理的三角恒等變換來解決問題.

例2已知cosα+π4=35，π2≤α≤3π2，求cos2α+π4的值.

思路1：看到兩角和的余弦，想到展開得cosα-sinα=325，然后平方得1-2sinαcosα=1825，即sin2α=725.有的同學做到這感覺已經(jīng)快做出來了，用同角三角函數(shù)平方和關(guān)系把sin2α求出來就行了，發(fā)現(xiàn)這里π2≤α≤3π2，則π≤2α≤3π，由這個范圍正負沒辦法確定，還要回過去計算并縮小α的范圍.因為π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，又因為cosα+π4＞0，所以角α+π4可以縮小到3π2≤α+π4≤7π4，進一步將角α縮小到5π4≤α≤3π2，即5π2≤2α≤3π，角2α在第二象限，所以cos2α取負的，問題就迎刃而解了.

思路2：看到求cos2α+π4的值，用兩角和的余弦展開，則只要求sin2α、cos2α即可.要產(chǎn)生二倍角則需要對已知條件用二倍角公式，即cos2α+π2=2cos2α+π4-1=-sin2α=-725，然后求cos2α，和思路1步驟一樣.

思路3：求cos2α，也可以把cosα求出來，通過角的變換cosα=cosα+π4-π4=22cosα+π4+sinα+π4，sinα+π4由同角三角函數(shù)求出，但是正負號也要通過前文中縮小角的范圍的分析來判斷.

思路4：這里的cos2α還可以通過sin2α+π2=2sinα+π4cosα+π4進行求解.

素養(yǎng)回顧：三角函數(shù)公式較多，所以一道題有很多條思路，但是不管是先對條件展開還是由求二倍角，或者從結(jié)論展開，知道要從條件得出結(jié)論，都要進行計算.這里要求學生熟練運用兩角和差公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式來進行計算，同時還要注重角的范圍的計算來決定正負.所以我們要進行有效的三角訓練，提高正確率，培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)能力.

4.3重視思考過程

三角高考題要求學生靈活運用三角公式，主動思考，找問題的突破口.西方一位教育家曾說過：“教學，重要的是傾聽學生的想法；學習，重要的是說出自己的思路.”這就說明學習數(shù)學注重學生的深度思考過程.數(shù)學的學習不只是聽老師傳授，也不是進行題海戰(zhàn)術(shù)，而是重在學習數(shù)學的思維方法，提升思維能力.學生用數(shù)學思維去分析問題和解決問題，通過對問題的研究與思考，提高學生的數(shù)學能力和素養(yǎng).

4.4注重知識整合

高考數(shù)學命題確實是“以能力立意”，命題者經(jīng)過深思熟慮的研究所得，經(jīng)常在知識交匯處設(shè)計命題.而這些綜合性的問題，就是源于課本的基本知識和基本問題.學生越注重對知識的整合，認識結(jié)構(gòu)越完善，數(shù)學學習的效果就越好.三角的公式比較多，教師在教學中以問題或題目導(dǎo)入，引導(dǎo)學生由淺入深，由點到面找這些公式間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學知識體系框架，完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu).解題中尋找知識內(nèi)部聯(lián)系，把握問題的本質(zhì)，從而探索到解決問題的高效方法.新課程標準強調(diào)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，這個就是尋找知識間邏輯聯(lián)系和把握知識本質(zhì)的過程.現(xiàn)在高考更加強調(diào)考查知識的綜合性，對同一層面的知識、方法、技能，能夠融會貫通，形成完整的知識體系；對不同層面的知識、方法、技能，能夠緊密聯(lián)系，找到內(nèi)在的邏輯聯(lián)系.

參考文獻：

［1］ 王思儉.怎樣學會數(shù)學思考［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

［2］ 王思儉.高考數(shù)學試題從哪兒來［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.

［3］ 教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.