滲透歸納思想提升學生的數學思維品質

沈天嬌

歸納是從部分到整體、從特殊到一般、從個別到普遍的推理。歸納思想可以理解為從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結論的思維能力，是學生在數學學習中必須掌握的一種高階思想方法。在初中數學的教學中，教師不僅要注重數學基礎知識與基本技能的傳授，還要重視學生對數學思想方法的掌握，引導學生從數學的角度思考問題，以切實提高學生的數學思維能力。基于此，筆者以數學思想方法中的歸納思想為切入點，著重探討了在初中數學教學中滲透歸納思想的可行教學策略，以期幫助學生高效學習數學知識，解答數學問題，切實提升學生的數學思維品質。

一、分解運算過程，科學轉化

部分初中生的抽象思維能力與變通能力稍有欠缺，很難從不同角度、用不同方法去思考和分析問題，這反映出的就是思維品質的缺失。為了幫助學生夯實計算基礎，提高運算能力，教師可以采用分解運算過程、歸納運算思路的方式，促使學生發現并總結運算規律，讓學生學會融會貫通，實現高效的簡便運算。

以人教版初中數學八年級上冊“因式分解”相關內容的教學為例，這一課涉及十字相乘法的教學。十字相乘法是指方程從x?+（p+q）x+pq到（x+p）（x+q）的基本轉化，是學生進行因式分解、解答一元二次方程相關問題應該掌握的一種轉化思路。在具體的教學過程中，教師可以先出示一些例題，讓學生進行轉化，并引導學生歸納和總結它們的規律，讓學生掌握十字相乘法的基本思路。接著，教師可以準備一些題目，讓學生應用十字相乘法進行因式分解，引導學生用口訣的方式歸納“拆兩頭，湊中間”“叉著乘，橫著寫”等分解方法。最后，教師可以引入二次項系數不為1的二次三項式ax?+bx+c，引導學生按照十字相乘法的邏輯和思路，思考這種題中的常數項、二次項系數與一次性系數應該如何對應，以進一步強化學生的歸納思想，讓學生學會舉一反三、融會貫通，進而提高學生的數學解題能力和知識應用能力。

二、分析數量關系，驗證猜測

歸納思想的關鍵是培養學生思考問題、分析問題的數學思維方式。數學知識之間具有內在關聯，教師要通過針對性訓練，逐步提高學生的歸納推理能力，幫助學生理解數學學習的基本規律，掌握解答數學題目的基本思路與技巧，建構數學解題模型。這樣，當學生遇到同類型題目時，他們會更容易找到解題的切入點，并運用歸納的思維模式對問題作出直觀判斷，分析數量關系，進而提高數學學習能力。

以人教版初中數學八年級上冊“因式分解”相關內容的教學為例，其涉及“提取公因式”的教學。在教學過程中，教師可以先準備一些簡單的題目，如計算3x?-3x和（m+4）（m-4）等，讓學生進行回顧訓練，比較思考a（a+1）（a-1）=a?-a與a?-a=a（a+1）（a-1）這兩種運算方法的聯系與區別，借此幫助學生理解整式乘法的計算，并逆向得到因式分解的基本概念。接著，教師可以準備一些具有探究性和一定難度的因式分解類題目，讓學生根據剛才提取公因式的思路，找出這些題目中的公因式，并引導學生歸納得出確定公因式的系數、字母（多項式）和指數的方法。其中，公式數的系數為各項系數的最大公因數，字母（多項式）必須是各項都有才能提取，指數取相同字母（或多項式）的最低次冪。

三、利用錯題資源，多向建構

在初中數學教學中滲透歸納思想時，教師要重視對錯題的反思和錯題資源的利用。首先，教師要引導學生學會歸納和總結錯題產生的原因，如審題不清、思維定式、概念模糊等，這樣才能對癥下藥解決問題。其次，教師要善于利用錯題，讓學生進行有效的反思，并主動發現問題、分析問題，將錯題轉化為促進教學的資源。最后，教師要善于根據學生容易出錯的題目，及時調整教學，改進教學策略，以確保數學課堂的教學質量。

例如，有一道題目是這樣的：關于x的方程ax?-2x+1=0有兩個實數根，則a的取值范圍是? ?。這道題的難度不大，學生根據題目表述就能想到用一元二次方程的根的判別式解題，即題目中關于x的方程ax?-2x+1=0有兩個實數根，那么判別式△=b?-4ac=（-2）?-4×a×1≥0，解得a≤1。于是，很多學生就會把a≤1作為最終的答案填進去，但這一答案其實是錯誤的。針對此種情況，教師可以引導學生細讀這道題，反思是否遺漏題目中隱含的信息，是否找到了題目中設置的“陷阱”，是否認真梳理題目中的細節性信息。在這樣的引導下，有的學生會想到并提出：“關于x的方程ax?-2x+1=0有兩個實數根，這就證明該方程一定是一元二次方程，所以a不能為0。”從而讓其他學生意識到這道題考查的知識點不僅是一元二次方程的根的情況，還包括一元二次方程的定義。在此基礎上，學生會重新梳理這道題的解題思路，并修正錯誤答案。之后，教師可以準備一些同類型的題目，讓學生進行鞏固練習，并歸納出這類題的易錯點，加深對相關知識的理解。

四、加強變式訓練，提煉本質

變式類訓練有助于拓展學生思維的寬度與深度，提升學生的思維品質，具有重要的教學作用。教師在數學教學中滲透歸納思想時，可以將變式類訓練作為引導學生辯證思考的切入點，讓學生從不同角度出發，思考同一考點的不同出題形式，抓住問題考查的本質知識，并從中提煉解題方法與解題思路，建構數學解題模型，從而促進學生歸納能力與邏輯思維能力的發展。

例如，在分解因式（x-4）（x-2）（x-1）（x+1）-72時，教師可以引導學生認真觀察題目結構，讓學生發現（x-4）（x+1）=x?-3x-4，（x-2）（x-1）=x?-3x+2，它們的二次項、一次項完全相同，那么就可以引入一個新元進行降次處理，設x?-3x-1=a，那么原式=

[（x-4）（x+1）][（x-2）（x-1）]-72=（x?-3x-4）（x?-3x+2）-72=（a-3）（a+3）-72=a?-81=（a+9）（a-9）=（x?-3x+8）（x?-3x-10）=（x?-3x+8）（x-5）（x+2），順利完成了因式分解的要求。

又如這樣一道題：已知（x?+y?+1）（x?+y?+3）=8，則x?+y?=? ?。在解題時，教師可以引導學生把x?+y?作為一個整體來考慮，將x?+y?代換為t，則原式變為（t+1）（t+3）=8。

（t+1）（t+3）=8可化簡為（t+5）（t-1）=0，解得t1=-5，t2=1，又因為t=x?+y?≥0，所以t1=-5應舍去，可以確定x?+y?的值只能是1。

在變式訓練中，教師要帶領學生歸納和總結換元法求解的思路，通過引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量，以達到化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式的簡化運算的效果。

五、指導動手實驗，發現規律

動手實驗是初中階段數學學習的重要方式，在實驗中，學生會經歷產生問題、提出假設、思考論證、實驗證明等過程。在學生自主進行實驗時，教師可以適時介入指導，讓學生通過動手操作與動腦思考，歸納和發現實驗中的數學規律，體驗與經歷知識的形成過程，以幫助學生理解抽象的數學知識，促進學生動手實踐能力與歸納總結能力的共同提高。

以折疊問題為例，這一直是很多學生頭疼的數學問題，由于對折疊的實質理解不夠透徹，學生在解決這類問題時感到難度很大。基于此，教師可以開展有關折疊問題的實驗探究活動，準備一些常見的折疊問題，如矩形折疊、翻折變換、三角形中的折疊、紙片折疊等，讓學生通過動手操作，把握折疊引起的“變”與“不變”，并觀察折疊前后的對應關系。這種方式非常清晰直觀，能讓學生將頭腦中想象的折疊變化得到驗證。通過動手操作，學生能歸納得出折疊問題的實質，即圖形的軸對稱變換，折疊之后圖形的形狀與大小不變，對應邊與對應角相等。在此基礎上，教師可以再準備一些學生平時比較頭疼的折疊類數學問題，讓學生進行鞏固練習。

例如，有這樣一道題：如圖1沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點C落在點E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積。學生通過實際折紙操作會更直觀地理解折疊過程中的變與不變，歸納出重合部分實際上就是以折痕為底邊的等腰三角形，并將其應用到解題中。

六、打開學科視角，邏輯推理

打開學科視角是指教師可以把數學教學與其他學科結合起來，打破不同學科間的邊界，創造性地將其他學科的知識點和學習方法作為素材引入數學課堂。這種學科之間相互交叉滲透的方式，一方面可以調動學生學習數學的積極性，幫助學生鞏固多學科知識，另一方面可以促使學生發現不同學科的知識學習之間的共性，有助于發展學生的邏輯推理能力，讓學生掌握科學的學習方法。

例如，在教學人教版初中數學九年級下冊“反比例函數”的相關內容時，教師可以將其與初中物理結合起來，為學生播放關于電流電阻實驗的視頻，讓學生觀察實驗并記錄實驗數據，分析電流與電阻之間的關系。通過對實驗數據的歸納與分析，學生得出在同一電路中，通過某段導體的電流與這段導體的電阻成反比，從而建構出反比例函數的數學模型。

同時，電流、電壓、電阻、功率等參數間存在著多種換算關系，涉及多種數學模型，這都是教師在數學課堂上可以引入和拓展的內容。需要注意的是，教師一定要保持數學課堂的出發點，不能把重點放在物理實驗上。教師可以通過播放物理實驗視頻或者出示數據的方式讓學生進行分析，構建數學模型，打造新穎高效的初中數學課堂。

（作者單位：

江蘇省南通中學附屬實驗學校）