解后反思　變錯為寶

［摘? 要］ 反思使數學教學活動成了有目標、有思想的數學研究性活動，其極大程度上鍛煉了學生的思維，提高了學生的解題能力. 在教學中，教師應為學生提供一定的反思時間和空間，進而在幫助學生夯實基礎的同時，拓寬學生的數學視野，提高學生的解題技能，發展學生的學習能力.

［關鍵詞］ 反思；研究性活動；學習能力

在高中數學教學中，經常會出現學生“一錯再錯”的現象，究其原因，除了基礎知識掌握不牢，解題經驗不足外，就是沒有形成良好的反思習慣. 在高中數學教學中，一些教師為了追求“高速度、大容量”，錯題講評時大多以教師講授為主，將“標準答案”直接呈現給學生，讓學生對比訂正. 當然，給出“標準答案”后，教師也會給學生一定的時間思考，但思考的內容大多限于對答案的認識，這樣難以體現學生的思維過程，不利于學生解題能力的提升. 要知道，解題能力高低并不是看學生會解多少道題，而是看解題的質量. 要提高解題質量，就需要學生不斷反思解題過程，以此總結經驗、吸取教訓，提高解題效率和準確率. 筆者在錯題講評過程中，改變傳統的“對答案”教學模式，引導學生解后反思，找到錯因，從而“變錯為寶”，有效提高學生的解題能力.

反思審題過程，培養審題習慣

考試后學生經常有這樣的感慨：明明這個類型的題目會做，怎么就錯了呢？解后反思發現，之所以出錯，是因為審題不清，獲取信息不全，解題時盲目套用——這一方面反映學生解題時心浮氣躁，另一方面反映學生缺乏良好的審題習慣. 在錯題講評中，教師可以引導學生反思審題過程，提醒學生在反思中發現哪些信息采集時出現了遺漏，讓學生通過自我修補提升解題信心.

例1 設全集U=｛x

x≥2，x∈N｝，集合A=｛x

x2≥5，x∈N｝，則CUA=____.

對于大多數學生來講，該題難度不大，按照預期大多數學生能順利完成，但是考試結果并不如此. 學生的錯誤答案集中在［2，］，分析錯因不難發現，學生解題時沒有注意到“x∈N”這一條件，沒有認清x的含義. 當然，也有部分學生忘記使用集合符號，給出的錯解為2.

例2 復數z=（a<0），其中i為虛數單位，z=，則a的值為____.

本題主要考查的是復數的四則運算，因為z==，z===，所以a2=25. 又a<0，故a=-5. 然部分學生給出的答案為±5或5，可見這部分學生解題時漏看了條件“a<0”，另外有部分學生習慣性地取正.

從以上錯解反饋來看，學生的解題思路是正確的，然因信息遺漏而引發了錯誤，嚴重影響了學生數學成績的提升. 要知道，審題是解題的前提，只有正確審題才可能得到正確的答案，因此教學中教師要關注學生審題能力的培養. 基于以上錯誤，教師可以先讓學生自我反思：考試時是如何審題的，獲得過哪些信息？遺漏了哪些信息？是什么原因造成信息遺漏的？審題時哪些條件是比較清楚的？哪些條件是不清楚的？不清楚的原因是什么？對于一些較為復雜的題目，除了以上內容外，還要反思：題目中有哪些隱含條件？條件和條件、條件和結論之間存在怎么的關系？這些關系有沒有被發現？有沒有被合理利用？以后審題時需要什么？等等. 通過反思審題過程不僅可以使學生深層次理解題目，而且可以有效避免信息遺漏，培養學生良好的審題習慣.

反思解題過程，避免思維定式

部分教師為了課堂上能夠講更多的題，在日常教學中常常壓縮概念、公式等基礎知識的教學時間，使得學生對基本知識或方法的理解不深，甚至理解錯誤，故常常出現錯用或濫用，直接影響了解題準確率. 在教學中，除了教師改變教學手段和教學方法外，還可以引導學生反思，為學生提供重新理解基本知識和方法的時間與空間，以此突破思維定式的束縛，提高解題速度和準確率.

例3 已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-，則sinθ+cosθ=______.

本題是一道基礎題，主要考查三角函數的運算. 在平時練習中，學生經常做“sinθ+cosθ”“sinθ-cosθ”“sinθ·cosθ”這樣的“知一求二”的問題，部分教師常常引導學生利用整體代換法求解，并強調利用解方程法雖然能夠求解，但是運算復雜，久而久之，學生就形成了思維定式，習慣巧解卻忽視通法，因此求解例3時苦苦探尋整體代換法，最終無功而返，即使回到了最初的解方程法，得到了準確答案，卻浪費了寶貴的解題時間，得不償失.

其實，在解題過程中，因受思維定式的影響而引發錯誤的現象有很多. 比如，因思維定式學生不假思索地將同向不等式相加推廣至同向不等式相減；又如，計算sin（30°+60°）時，因思維定式學生利用乘法分配律給出了這樣的錯解：sin（30°+60°）=sin30°+sin60°. 對于以上的類似錯誤，若學生解題后能夠反思所使用的基礎知識和基本方法，就很有可能及時發現并糾正錯誤，以此提高解題速度和準確率.

反思探究過程，確定解題思路

高中數學題目是復雜多變的，大部分題目需要進行探究才能順利求解，因此探究是高中數學的必經之路. 解題后教師要給學生時間和空間反思探究過程，回顧當時解題是如何重組和再生信息的，如何為已知和結論架橋鋪路的. 通過反思重現學生的思維過程，讓學生思考：哪個步驟走了彎路？為什么會走彎路？如何避免走彎路？解題時出現了哪些錯誤？為什么會出錯？后面如何進行調整？等等. 這樣通過反思探究過程讓學生知道哪些思路和方法是需要傳承的，哪些是需要改進的，解題中哪部分是成功的，哪部分是失敗的，等等. 這樣反思有利于學生確定正確的解題思路.

例4 已知ab=，a，b∈（0，1），則+的最小值為______.

本題作為模擬考試中的最后一道填空題，其難度較大，學生的得分率較低. 課后調研發現，有的學生解題時沒有找到正確的解題思路，而是根據已知猜測，當a=b=時+取最小值，因此將6填空；有的學生兩次利用基本不等式計算，但應用時未考慮兩次取等號的條件是否同時成立，因此得到錯解3+2.

反思解題過程不難發現，本題求解的關鍵是消元，即將二元問題轉化為一元問題，化簡后應用基本不等式求最小值，但要通過配湊使其滿足“二定”的條件. 學生之所以沒有找到解題突破口，就是缺乏簡化思想，使探究變得越來越復雜，最終誤入歧途.

對于這些典型問題有必要引導學生進行細致而深入的反思，從而在反思中總結出帶有規律的經驗，形成完善的解題策略，深化理解元認知，便于學生解題時快速找到突破口，提高解題效率.

反思運算過程，提高數學運算素養

數學運算過程也是一個演繹推理的過程，數學運算是每一個高中生都應具備的基本技能. 解題時可以發現，幾乎所有的解題過程都會涉及具體運算，因此若學生的運算能力不強，不僅會影響解題效率，而且可能導致錯誤. 為了提高學生的運算能力，除了必要的練習外，教師還要引導學生對運算過程進行反思：在運算過程中應用運算技巧是否有必要？運算過程是否可以進一步優化？這樣反思可以將運算技巧“模塊化”，有利于提高學生的運算能力.

例5 如圖1所示，已知橢圓O：+y2=1的右焦點為F，點B，C分別為橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y=-2上的一個動點（與y軸的交點除外），直線PC交橢圓于另一點M.

（1）當直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積.

（2）記直線BM，BP的斜率分別為k，k，①求證：k·k為定值；②求·的取值范圍.

例5的難度并不在解題思路上，而是運算. 從試卷反饋來看，大多數學生能順利完成問題（1）的求解. 問題（1）雖然也涉及運算，但是具體值的運算，是學生擅長的，故大多數學生能夠輕松求解. 問題（2）為含參運算，很多學生因運算能力不過關，最終沒有算到最后. 對于問題（2）主要有兩類解法，一類是設點，另一類是設斜率. 其中設點又分兩種：①設點P（m，-2），m≠0，求出點M的坐標，這樣即可得到兩個目標函數，然后研究定值和取值范圍；②設點M（x，y），x≠0，求出點P的坐標，由此易得兩個目標函數，將目標函數消元后得到關于x（或y）的函數式，最后求得定值和取值范圍. 設斜率共分三種：①設直線PM：y=kx-1；②設直線BM：y=kx+1；③設直線PB：y=kx+1. （解題過程略）

從本題的解答過程可以看出，本題大體涉及以下運算：求兩直線的交點；求直線與橢圓的交點；消元；由兩點表示斜率；研究y=x-型函數的單調性；向量的數量積運算. 這里通過反思可以讓學生知曉自己哪方面的運算還比較薄弱，然后利用針對性訓練提升運算能力.

其實，很多學生之所以解題時突然運算中斷，就是因為其運算能力薄弱，尤其面對一些含參運算時表現得突出. 反思解題過程中的運算，不僅為學生進行針對性訓練提供了方向，而且有利于學生選擇一條最適合自己的解題之路，將問題解決到底.

反思拓展延伸，優化認知結構

解決同一問題往往有多種方法，因此解題后經常要思考：該題是否還有其他解法？不同解法間有什么聯系？以前是否遇到過相似的問題？以前的解法是否適用該題？該題的方法、結論能否解決之前類似的問題？等等. 這樣思考可以將一些相似或相關的內容串聯起來，有利于優化學生認知，豐富學生的解題經驗，拓展學生的數學思維，提升學生的解題能力.

例6 圖2為一個半圓柱的水渠，圖3為其橫斷面，點C為半圓弧ACB的中點，渠寬2 m.

（1）若渠中水深CD為0.4 m，求水面的寬.

（2）現將水渠進行改造，使其橫斷面成為等腰梯形，要求：①不準填土；②水渠底面與地面平行. 改造后底寬為何值時，所挖出的土量最少？

本題難度適中，焦點在水渠的改造上，解法靈活，教師可以鼓勵學生求解后進行反思，從而借助一題多解，發散學生的思維，提高學生的應變能力.

由以上解答思路不難發現，學生對切線方程求解有不同的認知，所以呈現出了不同解法. 在試題講評過程中，如果能夠對這些解法進行細致分析并分析到底，可以達到豐富學生解題經驗，發散學生思維的效果. 另外，通過對比分析不難發現，思路1到思路3雖然出發點不同，但是存在一定的一致性，即都引入了兩個變量，并根據相切得到了關于兩個變量的等式，將該等式引入目標函數消元，從而實現了簡化；對于思路4，其引入角作變量，這一巧妙的設法大大降低了運算量，思路靈活. 這樣思考不同解法的本質，更易于學生發現規律，使學生既總結了方法，又鍛煉了思維.

總之，在日常教學中，教師切勿盲目地讓學生“刷題”，應為學生提供反思的時間和空間，通過反思總結知識、方法、經驗，幫助學生將其內化為能力. 另外，通過反思能有效地將學生從“題海”中解放出來，通過再認識、再發現、再創造，讓學生學會數學思考、學會數學學習.

作者簡介：陳玲（1984—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.