關于一道圓錐曲線問題的解析探究與思考

［摘? 要］ 對圓錐曲線綜合題開展探究分析，總結解題策略，有助于提升學生的解題能力. 探究時要注重三大環(huán)節(jié)：過程分析、方法總結、多解探究. 文章結合實例開展圓錐曲線問題的解析探究，總結分步突破的方法思路，并論述解后思考.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；證明；分步突破；數(shù)形結合

圓錐曲線是高中數(shù)學的重點知識，其問題常作為壓軸題出現(xiàn)在試卷上，現(xiàn)筆者結合一道典型的圓錐曲線問題開展解析探究以及方法總結.

3. 解后評析

上述求解過程采用了數(shù)形結合、分步構建等方法，主要體現(xiàn)在第（2）問的三角形面積關系的證明中，屬于數(shù)量關系證明問題. 對于該類問題，可以立足問題條件繪制圖象，基于問題特點構建三角形面積模型，通過聯(lián)立整合來推導關系. 具體求解時可以按照如下步驟去剖析.

步驟1：解析問題條件，整合圓錐曲線、幾何要素之間的關系，基于位置關系繪制圖象.

步驟2：設定坐標，聯(lián)立圓錐曲線、直線方程，利用韋達定理推導坐標參數(shù)之間的關系.

步驟3：結合目標問題構建模型，將所求問題轉化為參數(shù)問題，如面積關系、線段關系等問題.

步驟4：構建參數(shù)條件與問題數(shù)式之間的關系，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)等完成求解過程.

解法拓展，另解探究

上述第（2）問為核心之問，主要考查學生的綜合能力. 實際上該問可采用不同思路來突破，除了上述直接構建面積模型、探索關鍵點坐標外，還可以通過分析關鍵點的位置關系、三角形的幾何特性來求解. 下面進一步探究.

評析 上述證明從三角形的幾何特性入手，先確定△MFD為直角三角形且點N為斜邊MD上的中點，然后基于線段關系來構建三角形的面積關系. 圓錐曲線問題中常見幾何三角形，求解時要注意對三角形特性的分析，包括直角、等邊，以及中點、垂足等.

解后思考，教學探討

圓錐曲線問題是高中數(shù)學的重難點問題，往往題設條件眾多，類型多樣，但解題時可以按照上述三大步驟構建思路. 在此筆者再提出幾點建議.

1. 歸納總結問題，形成解題策略

上文以一道圓錐曲線綜合題為例開展分步探究，并針對該類問題構建了相應的解題策略，稱其為“三步突破法”. “三步突破法”可實現(xiàn)對問題條件的解讀建模、整合處理，以及問題的分析運算，是對解題三個步驟的串聯(lián)構建. 在探究教學中，教師要引導學生感知分步突破解題的優(yōu)勢，幫助學生整合思路，深刻理解解題策略. 同時，教學中教師要注意兩點：一是注意拆解問題條件，引導學生思考條件與問題之間的關系；二是解題“分步”時，不僅是解題步驟的分步，還是解題思維的分步，要引導學生理解“分步”的內(nèi)涵.

2. 拓展解題思路，探索一題多解

探索一題多解是圓錐曲線綜合題的重要教學環(huán)節(jié)，有助于拓展學生的解題思維，幫助學生積累解題經(jīng)驗. 多解探究可分三步進行：一是關注問題特點，總結問題類型；二是總結常規(guī)方法，透視切入視角；三是基于關鍵點和視角拓展解法. 如上文證明三角形的面積關系時，總結了常規(guī)的破解方法——建立面積模型，轉化為對應數(shù)式，基于聯(lián)合條件來推導數(shù)式關系. 而后續(xù)拓展探究則從幾何視角入手，通過分析關鍵點的位置關系、三角形的幾何特性來推導三角形的面積關系.

3. 探究數(shù)形結合，深化模型構建

上文的問題探究，整體上采用了數(shù)形結合思想方法，即先挖掘問題條件，解讀分析后繪制圖象，充分利用直觀圖象推導關鍵條件并開展運算. 實際上核心過程有兩個：一是圖象構建，即以“數(shù)”構“形”，挖掘問題條件，整合歸納，包括問題中的位置關系、數(shù)量關系、特殊性質(zhì)等；二是由“形”析“數(shù)”，即根據(jù)直觀圖象來分析幾何特性（包括三角形的幾何特性、圓錐曲線的幾何特性），推導隱性條件. 在教學中，教師可根據(jù)上述數(shù)形結合的兩個核心過程來指導學生掌握直觀圖象、數(shù)學模型的構建思路及技巧.

作者簡介：朱新保（1983—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數(shù)學教學與研究工作.