學科育人導向下問題驅動式單元復習課教學實踐與思考

［摘? 要］ “如何發揮學科育人價值”是教育工作者當前迫切需要思考的問題，也是對教育本真的不懈追求. 現結合一節“圓”單元復習課的問題設計和課堂教學實例，探究如何通過問題驅動式課堂教學創設新的復習課生態，讓學生在數學課堂中獲得生長，從而達到數學學科育人的目的.

［關鍵詞］ 學科育人；問題驅動；單元復習課

作者簡介：熊俊（1988—），碩士研究生，中學一級教師，從事中學數學教學與研究工作，曾獲南京市初中數學優質課大賽一等獎，主持南京市教育科學規劃第十二期個人課題“學科育人導向下問題驅動式教學模式在初中數學復習課教學中的實踐研究”（Lc1010）.

黨的十八大報告把立德樹人作為教育的根本任務，“學科育人”成為教育領域的熱點問題，那么數學學科如何培養人呢？［1］在此背景下，筆者開展了“學科育人導向下問題驅動式初中數學復習課教學實踐研究”的課題研究. 本文以蘇科版九年級數學上冊“圓”單元復習作為研究對象進行教學實踐，擬簡單呈現這節復習課的問題設計、教學實施和實踐反思，與同人交流，以期得到更多、更好的復習課教學成果.

問題驅動式“圓”單元復習課的問題設計及教學實施

問題? 在圓中畫兩條弦，你會有哪些發現？

【設計意圖】

通過“在圓中畫兩條弦”這個問題，促發學生思考兩條弦與圓的不同構圖，促使學生運用分類思想分析解決問題. 在每一種構圖的基礎上進一步思考“有哪些發現”引發學生挖掘圖形之間的關系，引導學生討論知識之間的聯系，驅動學生自主構建本章的知識體系. 相比于教師主導下的復習回顧，“在圓中畫兩條弦”的新問題可以激發學生的興趣，一個切入口寬廣的問題也會讓每一個學生都能參與進來. 此外，該問題廣度較寬，能夠不斷延伸，學力較強的學生可以利用充足的時間去思考、關聯、轉化，從兩條弦的位置關系深入思考數量關系. 在此過程中，學生知識體系的建立和思維能力的生長不斷螺旋上升.

【教學實施】

師：在圓中畫兩條弦，你會怎么畫呢？試試看.

（學生開始畫圖）

師：畫好后標記好點，觀察圖形，你有哪些發現？請寫下來.

（學生展開思考，教師巡視、捕捉生成性資源）

師：畫兩條弦，你是怎么想的？

生1：兩條弦的位置沒定，我畫了兩條平行弦（圓心同側或異側）和兩條互相垂直的弦（如圖1、圖2、圖3所示）.

師：有哪些發現？

生2：兩條平行弦所夾的弧相等；（垂徑定理）垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧.

師：你知道垂徑定理和圓的什么屬性有關嗎？

生3：軸對稱性，直徑是圓的對稱軸.

師：平行弦所夾弧相等又如何證明呢？

生4：根據圖1，我們可以連接BC，因為AB∥CD，所以∠ABC=∠BCD，所以=.

師：由∠ABC=∠BCD得到=的依據是什么？

生5：我認為由∠ABC=∠BCD不能直接得到=，應根據“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”先得到圓心角相等，然后由“三量關系定理”才能得到弧相等.

師：能具體說說“三量關系定理”嗎？

生5：在同圓或等圓中，等弧、等弦、相等的圓心角可以互相轉化.

師：“三量關系定理”和圓的什么屬性有關呢？

生6：圓的旋轉不變性.

師：異側的情況可以類似地證明.

（此時教師完成板書1）

師：在圓中畫兩條弦，還有不同的畫法嗎？

生7：我畫了兩條特殊的相交弦，它們組成了一個圓周角，圓周角是圓心角的一半.

師：這是圓周角定理，還有補充嗎？

生8：同弧或等弧所對的圓周角都相等.? 比如，我們再畫幾個同弧所對的圓周角∠A1，∠A2，∠A3，因為都是圓心角∠O的一半，所以都相等.

師：若是同弦所對的圓周角還保持這樣的特性嗎？畫一畫.

生9：同弦所對的圓周角分為上、下兩個，同側的圓周角都相等，但異側的圓周角是互補的關系.

師：大家看，在思考構圖問題時，我們常常需要分類討論.那么同弦所對的兩側的圓周角互補是如何得到的呢？

生10：圓內接四邊形對角互補.

師：你能證明“圓內接四邊形對角互補”嗎？

生10：還是根據圓周角定理，將兩個圓周角轉化到圓心角正好拼成360°，圓周角是圓心角的一半，即180°.

（此時教師完成板書2）

師：還有其他想法嗎？

生11：如果弦AB是直徑，連接BC，AC，那么∠ACB是直角，因為直徑所對的圓周角是直角.

師：特殊的弦對著特殊的圓周角. 反過來也成立，即90°的圓周角所對的弦是直徑.

（此時教師完成板書3）

師：畫兩條弦，除了考慮位置關系還能想到什么呢？

生12：數量關系.

師：若是兩條相等的弦呢？

生13：若是兩條相等的平行弦，連接AC，BD，我們可以得到一個矩形.

師：大家想想如何證明.

生14：如圖7所示，根據AB=CD得=，由AB∥CD得=，相加得到=，也就是半圓，于是∠C=∠B=90°.? 同理可證∠CAB=∠CDB=90°.? 于是ACDB為矩形.

師：若是兩條等弦相交呢？又有什么發現？

生15：類似于等弦平行，如圖8所示，可得=，于是∠CAB=∠ACD，根據等角對等邊得到AP=CP，PB=PD.

生16：如圖8所示，連接OA，OC，由OA=OC和AP=CP可以證明OP所在直線垂直平分AC和BD，是整個圖形的對稱軸.

生17：相互垂直是特殊的相交，前面的結論都成立.

師：大家再仔細看看，這里藏了“一線三垂直”的基本圖形，但它們并不是全等哦（如圖9所示）.

師：如果把弦看作圓的內接線段，那么這條弦所在的直線與圓有什么關系呢？

生18：這條直線與圓相交.

師：直線與圓還有什么關系呢？

生19：根據圓心與直線的距離d和半徑r來判斷.? 當dr時，直線和圓沒有交點，直線與圓相離.

（教師此時完成板書4）

師：在直線與圓的位置關系中，哪一種情況最特殊？具體說一說.

生20：相切最特殊. 若直線與圓相切，則圓心與切點連接的半徑與直線垂直；若直線與圓相交的一點與圓心連接的半徑與直線垂直，則圓與直線相切.

生21：過圓外一點P作圓的切線兩條，且切線長相等.

師：在切線長定理的基本圖形中，你還有哪些發現？

生22：OP是∠APB的平分線.

生23：OP垂直平分AB，由PA=PB，OA=OB，以及垂直平分線判定定理可證.

生24：再添一條切線，會出現三角形的內切圓，可以用等積法求內切圓的半徑.

師：三角形與圓還有其他關系嗎？

生25：還有內接三角形與外接圓.

師：不妨連接三個切點，☉O就成了△ABF的外接圓了. 內接三角形ABF的內角與誰有關？

生26：內接三角形的內角是外接圓的圓周角，所以∠AFB=∠AOB. 根據切線的性質定理得∠APB+∠AOB=180°，所以∠AFB= （180°-∠APB）.

師：與圓有關的圖形，最簡單的是“點”，然后有直線、三角形、四邊形、正多邊形等. 幾何圖形之間的關系緊密，解決圖形問題時要多關聯相關圖形. 比如三角形隱藏的外接圓.

（此時教師完成板書5）

師：至此，我們建立了圓內外相關元素之間的關聯體系. 大家可以看到：圖形萬般變化皆歸一個系統，問題不盡相同方法皆能統一.

例題? 如圖12所示，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的☉O交AB，AC分別于點D，E. 求證：DB=CE.

【設計意圖】

在復習課章節知識體系建立完成的基礎上，設計例題并借用本章知識解決. 本題要證明的是DB=CE，可以從不同視角入手：若定位為等弦，則可以關聯轉化到圓心角、等弧、圓周角等圓內部元素來思考；若定位為等線段，則可以聯系到全等或等角對等邊；若能想象到切線長，則可以挖掘隱圓條件. 通過對證明對象不同定位，讓學生再一次親歷分類與轉化，讓數學思想方法內化于心. 這樣一道例題包羅萬象，卻又萬法歸宗.

【教學實施】

師：對于DB，CE你是如何定位的？又如何證明它們相等？

（學生獨立思考、探尋證法，教師巡視、捕捉生成性資源）

生27：如圖13所示，因為AB=AC，若能證明AD=AE，就可以得到DB=CE. 連接DE，形成圓內接四邊形BDEC，得∠B=∠AED，∠C=∠ADE. 根據AB=AC以及等邊對等角可得∠B=∠C，再由等量代換推得∠ADE =∠AED，所以AD=AE.

生28：如圖14所示，因為AB=AC，所以∠B=∠C，可證=，進一步得=. 由弧等可得弦等，所以DB=CE.

生29：利用三角形全等證明.? 如圖15所示，連接BE，CD，由BC是直徑得∠CDB=∠BEC=90°，結合∠B=∠C和BC=CB，得Rt△BCD≌Rt△CBE，所以BD=CE.

生30：根據圓心角相等可得弦等. 如圖16所示，連接OD，OE，得到等腰三角形BOD和等腰三角形COE.? 由AB=AC可得∠B=∠C，再根據三角形內角和的性質得圓心角∠BOD=∠COE，所以BD=CE.

生31：如圖17所示，過點O作OH⊥AB于H，作OF⊥AC于F.? 根據AB=AC，O是BC的中點，易證AO是∠BAC的平分線，于是OH=OF. 以O為圓心、OH為半徑作小☉O與AB，AC相切于點H，F，由切線長定理可得AH=AF，于是BH=CF，再根據垂徑定理可得2BH=2CF，即BD=CE.

生32：在圖17中，也可以先證明Rt△BOH≌Rt△COF，于是BH=CF，再利用垂徑定理得到2BH=2CF，即BD=CE.

學科育人導向下問題驅動式單元復習課的實踐思考

1. 堅持育人導向，讓學習真正發生并經歷

學科教學是育人主陣地，作為基礎學科的數學，絕不應該僅僅是傳遞知識的載體，應以其獨特的學科特點擔負起學科育人的使命.? 但長期以來，數學學科具有嚴謹的邏輯體系和高度的理性精神，部分教師一直以傳授知識為目的，甚至理解為培養學生的解題能力，忽視了學生對數學學科完整性的體驗，必然不能培養學生良好的數學情懷，導致數學失去了教育價值和育人本質. 在以學科育人為導向的問題驅動式教學理念下，本節課設計了“在圓中畫兩條弦”的明線主問題，既能引導學生回顧圓的相關知識，又能引領學生經歷基本圖形的形成過程，感受圖形結構的變化，讓學生的思維和知識共同成長出來！同時，本節課還埋進了“分類”“轉化”以及“特殊與一般”數學思想方法的暗線，學生思維的生長離不開數學思想方法的內化，在數學學習中體悟到數學思想方法，能讓學生產生獲得感，從而促進學生思維大步成長. 這樣的明暗雙線在課堂中給學生進行研究活動留足了時間，也給予了學生不同程度的思維發展空間.? 這樣的每一個學生都能思考的課堂方有一種思維生長的活力和生命成長的張力.

2. 讓復習課在循環中不斷重設開端

如何創新復習課教學，特別是中考復習課？筆者認為，創新復習課教學就是打破機械重復，需要教師研究教材，智慧整合教學資源，在復習課新一輪次的循環中創新故事的開端，讓復習課帶給學生“生生不息”的生命成長體驗感［2］. 就本節課來說，通過“圓與兩條弦的組合構圖”的想法給學生一次“重生”的學習體驗，而不是剛剛開始就看到結局的乏味. 在“不同以往”的設計中，讓學生耳目一新，潛移默化地引導學生面對問題時可以通過不同角度去思考，無形中也滲透了創新能力的培養，這將學生從數學課堂引進了更高更遠卻很貼近生命成長的地方.

3. 捕捉生成性資源，促動學生思維生長

問題驅動式教學的目的是將教師本位轉變成學生本位——以學定教，教師作為問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者，利用問題驅動課堂發展，利用學生即時生成性資源促使課堂生長，建立一種以學生為主體、以專業領域內的各種問題為學習起點、以問題為核心規劃學習內容的課堂，使得學生人人能夠參與其中，不同的學生獲得不同程度的發展. 在這樣的課堂中，學生即時生成性資源是串聯課堂的關鍵，教師要及時捕捉這些生成性資源，甄別有效的生成性資源，靈活利用生成性資源，促使課堂高效發展和學生思維快速成長.? 在這樣的課堂中，教師要多關注師生互動交流、生生互動交流，需要教師充分發揮教學智慧組織引導.

4. 雕刻板書設計，構建知識生長脈絡

問題驅動式教學下學生人人有所思考，教師可以利用多媒體呈現不同的生成性資源，這些豐富各異的生成性資源是學生的學習經歷，從“指劍亂舞”“思維發散”到建立緊密知識體系的過程需要雕刻一張結構化的板書來讓學生摸清知識生長脈絡，就好比大家各自將不同的思維板塊拼在一起最終組成一幅絕美的畫卷，每頻回眸，一目芳容收眼底，一覽眾山萬壑生.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］卜以樓. 生長型構架下實數復習課的教學實踐與思考［J］. 中學數學，2016（06）：40-43.