對一道中考幾何壓軸題的探究與反思

董濤

［摘? 要］ 2021年福建省中考數學試卷第25題是一道以正方形為背景，證明線段數量關系為定值的幾何壓軸題，該題的圖形結構經典，能一題多解，可考查學生的思維廣度、深度、創造性及解題能力，文章對此題圖形結構進行分析，并探究解法、拓展延伸、解后反思.

［關鍵詞］ 數量關系；構造；含參運算；一題多解

試題呈現

如圖1所示，在正方形ABCD中，點E，F為邊AB的兩個三等分點，點A關于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G，求證：A′C=2A′B.

解后反思

1. 執果索因，為何定形

定形的根本原因一定是數，三角形定形往往是因為具備判定兩個三角形相似的條件，如定兩個角的大小、定三邊比值不變、定兩邊比值不變及定一角大小等.追尋定形原因，有助于探尋求解思路，恰當地進行邊角轉化.

2. 明確構圖過程，分析圖形結構

一個復雜圖形的生成就是在題目條件不斷累積下一個又一個基本圖形的有序組合，當出現等邊三角形、等腰直角三角形時，圖中就會有特殊角度的角、數量關系不變的角和線段、中點、角平分線、垂直平分線、中位線，全等或相似等關系的圖形，這些都為后面數量關系的轉化和線段長度的計算提供了條件.

3. 探尋橋梁，確定求解方法

對于定形的幾何綜合題，題目條件通常沒有具體線段的長度，無論直接聯系，還是間接聯系，都需引入參數進行運算. 求解時要能恰當地選擇勾股定理、相似三角形的性質或三角函數進行直接計算或列方程.

4. 構造基本圖形或關系圖形，提升運算能力

幾何背景下的運算同空間觀念、邏輯推理能力分不開，這里的運算能力指的是通過識別、構造基本形和關系圖形進行簡化運算. 構造的關鍵是發現圖中不變的幾何量.

5. 滲透模型思想和構造思想

將“模型思想和構造思想”滲透進初中幾何教學之中，既可以增強學生的空間觀念和創新意識、應用意識，又能培養學生的思維能力，提高學生的數學學科素養.