培養直觀想象的核心素養教學策略

鄒婷婷

［摘? 要］ 直觀想象是數學核心素養之一，培養學生的直觀想象能力能夠發展學生的抽象思維，能讓學生將抽象的問題變得更加形象，并學會利用空間圖形解決問題. 在教學中，教師要引導學生在空間事物中感受元素關系，在圖形描述中進行數形結合，利用空間圖形建構數學模型，使學生發現知識、圖形以及數學模型之間的聯系，從而提升綜合素養.

［關鍵詞］ 直觀想象；核心素養；空間圖形；數學模型

培養學生的核心素養，提升學生的綜合素質是新課程改革的目標和發展趨勢. 核心素養是學生適應社會的綜合品質與關鍵能力，數學學科的核心素養主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等方面的能力. 其中直觀想象能力對于轉變學生的思維方式，提升學生的思維能力，助力學生建構數學模型都具有非常重要的作用. 下面筆者結合教學實踐，談一談在教學中培養學生直觀想象能力的具體教學策略.

直觀認識事物，感受空間關系

數學概念是從具體事物中歸納出來的抽象的性質和特征，理解抽象的數學概念需要借助具體事物和空間想象能力. 學生通過觀察具體事物，能提升對空間關系的認識；通過作圖、識圖，能提升幾何語言的轉化能力.

案例1理解“角”的概念.

教學過程如下.

師：我們生活中有哪些實物具備角的形象？你能舉幾個例子嗎？

教師根據學生的回答在課件中展示一些實物圖片，如圓規、鐘面、剪刀，使學生了解生活中的事物與角之間的密切關系，感受角的具體形象，認識到學習的必要性.

師：我們已經學習過直線、射線、線段的一些知識，你們還記得哪些內容？根據直線、線段、射線的相關內容，你們能猜出我們會研究角的哪些知識嗎？

學生通過類比線的學習經驗，猜想會學習角的哪些知識，從而建構學習內容，如圖1所示.

師：請大家拿出三角尺，摸一摸三角尺的邊，你感受到了什么？

生1：我摸到三角尺的頂端有一個點.

生2：要組成一個角，需要兩條邊和一個點.

師：你們能將角畫出來嗎？根據你們自己的畫法，跟大家說一說你的理解. 你們能描述出角的定義嗎？

學生動手畫角，感受角由兩條射線和一個公共頂點組成，從而歸納出角的定義.

師：現在讓我們把各自畫好的角表示出來. 觀察圖2，從角的頂點出發，在角的內部引出一條射線，請問圖2中一共有幾個角，應該如何表示這些角. 可以用一個大寫字母將這些角表示出來嗎？

生3：我們之前學習過用字母表示直線，現在同樣可以用字母表示角，但是角的表示要注意與角的頂點和邊相結合.

師：非常好，所以我們認識角可以從生活中的實物出發，先用文字表示，再用圖形表示，最后用符號表示，這三種表示方式可以相互轉化.

設計意圖在本案例中，教師從學生的認知水平出發，首先帶領學生觀察身邊的事物，對角產生初步感受，進而引導學生說一說對角的認識，再通過摸三角尺對角產生直觀認知，最后將自己的認識畫下來形成角的圖形. 這樣的過程使學生通過多種感官認識到角是由點和射線組成的，理解了角的組成元素為公共頂點和兩條射線.

培養直觀想象能力的第一步是從實物中抽象出幾何圖形，在幾何圖形中研究問題的數學本質. 教師通過活動引導學生在直接觀察、實踐操作和空間想象、相互交流中學習角的概念，培養學生的直觀想象能力. 數學概念的學習不能進行強行灌輸和記憶，教師教學時要遵循概念形成的過程. 學生將實物模型抽象為幾何圖形，先學會用文字表示角，再理解用圖形表示角，最后掌握用符號表示角，經歷了語言、圖形、符號之間的轉化，發展了直觀想象能力.

借助圖形理解問題，建構數形聯系

圖形能夠幫助學生通過直接觀察形成直覺判斷，從而使數學結果被直接“看出來”，這種直覺判斷建立在學生長期有效的思維訓練基礎上. 因此，在教學中教師運用圖形描述問題，可以有效提升學生的觀察能力，助力學生形成直覺判斷. 函數是中學數學中的難點知識，在解決代數和幾何問題中都有非常重要的意義. 理解函數概念的核心是建構數形聯系，教師可以用“學函數用圖象”的觀念來引導學生學習函數知識，通過圖象引導學生從“形”的角度理解函數的概念、函數的性質，滲透數形結合思想.

案例2基礎課：數形結合思想.

教學過程如下.

情境創設：大家看一下代數式x2-3x，你們能否從二次函數、因式分解以及幾何圖形的角度進行聯想？

生1：這個代數式可以作為二次函數的解析式，即y=x2-3x，它的圖象是一條拋物線，根據圖象我們可以知道這個二次函數的對稱性、增減性，以及最值等.

生2：可以將這個代數式進行因式分解，得到x2-3x=x（x-3）.

生3：因式分解后的代數式可以作為長方形的面積計算式，x為長方形的長，（x-3）為長方形的寬.

師：數形是結合在一起的，它們是同一個知識點的不同描述方式，一種是通過數學符號來描述，另一種是通過圖形來描述，解決實際問題時它們可以相互轉化. 數能夠精確表述數量關系，具有抽象性，圖形則直觀形象，兩者結合有助于我們理解函數的概念. 下面我們一起來看一道例題.

例題：如圖3所示，已知△ABC的頂點A，B，C的坐標分別為（0，2），（1，0），（2，1）.

問題1：假設反比例函數y=的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數k的取值范圍.

問題2：假設一次函數y=kx-2的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數k的取值范圍.

變式訓練：假設一次函數y=kx+k-2的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數k的取值范圍.

問題3：假設二次函數y=x2+bx+1的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數b的取值范圍.

師：剛才我們解決了與函數相關的幾個問題，你們能不能根據數形結合思想總結一下解決這類問題的基本方法？

學生用框架圖將這種方法描述出來，如圖4所示.

設計意圖教師先借助代數式引導學生聯想，從而歸納出代數與圖形各自具有的特點，以及數形結合的必要性與優勢，進而在解決具體問題的過程中滲透數形結合思想，最后歸納出用數形結合思想解決具體問題的方法和策略，實現數形結合思想和方法的內化與升華.

培養直觀想象能力的第二步是通過圖形描述具體的數學問題，使代數與圖形建立聯系. 函數的表示方式包括函數解析式、函數圖象、表格，從函數的圖象中可以得到該函數的相關性質與特點，因此，函數本身就具有數形結合特征，是培養學生直觀想象能力的最佳載體. 在本案例中，教師利用例題及其變式，使學生能夠直觀地通過觀察函數圖象與陰影部分交點的變化情況，并在分析圖形特殊點變化的趨勢中理解圖形的特征，將特殊點的坐標轉化為方程或不等式，從而解決問題. 整個解決問題的過程包含從圖形的分析到代數的解析，從定性分析到定量研究，實現了“以形助數，以數解形”的目標.

利用圖形解決問題，建構數學模型

利用數形結合思想研究問題的核心是數與形的順利轉化與有效聯系. 因此，在教學中教師要注重探源開流，找尋知識的背景與生長點，從而拓寬學生的視野，發展學生的逆向思維，增強學生的創新意識. 如可以根據代數式進行圖形聯想，找到解題思路，或根據圖形直觀想象并構建數學模型，從而使無形的代數問題變成有形的幾何問題，使抽象問題變得具體、形象.

案例3拓展課：數形結合思想.

【教學課例1：數軸】

問題1：求x-2+x+3的最小值.

學生交流、討論后一致認為需要對x進行分類討論，從而找到最小值.

師：這種解決問題的方法是對的，但有些煩瑣. 能不能進行數形結合，將代數式轉化為幾何圖形來解決呢？大家想一想絕對值的定義，覺得可以轉化為什么圖形呢？

生：絕對值代表的是數軸上點與原點之間的距離，所以我們可以把這道題轉化為數軸上兩點之間的距離之和.

接著，師生一起解決問題1，并歸納出此類問題的解決策略——用代數式的幾何意義表達數量關系，或用圖形的性質來分析數量關系，具體解題步驟如圖5所示.

變式1：x-1+x-2+x-3的最小值是多少？

變式2：x-1+x-2+x-3+x-4的最小值是多少？

變式3：x-1+x-2+x-3+x-4+…+x-2018的最小值是多少？

設計意圖把含絕對值的代數式求最值問題轉化為數軸上兩點之間的距離之和，能強化學生對絕對值的理解. 將絕對值問題與數軸相結合，實現了數與形的相互轉化. 將復雜的代數問題轉化為通過直觀觀察可以解決的幾何問題，彰顯了數形結合的意義.

【教學課例2：平面直角坐標系】

問題2：已知平面直角坐標系中點A的坐標為（2，1），點P是x軸上的一個動點，坐標為（x，0），你能用含有x的代數式表示線段PA嗎？

追問：假設點B的坐標為（-1，3），請用含有x的式子表示線段PB.

問題3：當+取得最小值時，x的值是多少？代數式的最小值是多少？

教師引導學生解題，并歸納解題策略，根據勾股定理把所求的代數式轉化為求線段的和，最終求得最小值.

設計意圖教師將代數式求最值問題轉化為求兩點之間的距離，根據勾股定理確定代數式的幾何意義，從而根據線段和探討數量關系. 直觀的圖形能使復雜的代數問題變得簡易.

【教學課例3：方程、函數、圖象的結合——換個角度看問題】

問題4：假設方程1-（x-a）（x-b）=0的兩個根分別是m和n（m

變式1：假設關于x的方程x2-4x+3=m有4個不同的實數根，請求出m的取值范圍.

變式2：假設關于x的方程x2-4x+3=m有4個不同的實數根，請求出m的取值范圍.

解決上述問題后，教師引導學生歸納解決此類問題的策略——換一個角度，將研究方程的問題轉化為研究方程兩邊的函數圖象關系問題.

設計意圖教師將方程問題轉化為函數圖象相交問題，能讓學生感受到數形結合的優勢，學生能夠通過直觀的函數圖象看到方程根的變化，這對于解決復雜的函數問題來說具有非常重要的意義，能鍛煉學生思維的靈活性.

在本案例中，教師根據學生的認知規律，從數軸中的數形結合到平面直角坐標系中函數圖象的應用，實現了思想認識的飛躍；從研究直線上兩點之間的距離到平面上兩點之間的距離，進而到函數的具體應用，由淺入深，由易到難，引導學生深入思考.

培養直觀想象能力的第三步是構建數學模型，深化數形結合思想，通過探索圖形解決問題. “案例3”把抽象的代數式與形象的圖形聯系起來，發揮了圖形的直觀優勢，使學生建構起了直觀的形象，從而達到以圖形解決代數問題的目的. 如x-2結合數軸表示數x對應的點與數2對應的點之間的距離. 我們在解決絕對值問題時可以結合數軸采用數形結合思想建構數學模型. 運用數形結合思想解決代數問題，能讓學生對代數與幾何之間的關系有更深入的理解.

綜上所述，培養學生直觀想象能力需要教師先引領學生從具體實物中感受幾何元素，接著解析圖形幫助學生理解問題，最后讓學生在圖形探索中解決問題，建構數學模型. 在教學中，教師要立足學生的認知水平，引導學生展開想象，在數形結合中尋找新舊知識的聯結點，力求做到代數問題幾何化，幾何問題代數化，進而培養學生的數形結合意識.