高等數學混合式教學的設計與實踐
——以離散型第二個重要極限為例

王鋒葉，黃元元，李靈曉

（河南科技大學數學與統計學院 河南 洛陽 471000）

高等數學是非數學專業理工科學生的一門必修基礎課，它是學生后繼專業課的基礎，對學生的邏輯思維、演繹思維、歸納思維等數學思維方法的培養以及研究問題能力的提高非常重要。混合式教學是一種將傳統教學與網絡化教學結合的教學模式，在學習過程中凸顯學生的主體性與教師的引導性。第二個重要極限是高等數學中函數、極限和連續這一章非常有用的極限之一[1]，利用它可計算一些特殊未定式的極限，它在實際生活中也有相應的應用，比如銀行復利模型、設備折舊問題、元素衰變模型等等。文章以離散型第二個重要極限的講授為例，結合銀行復利模型，給出在高等數學中實施混合式教學的課程設計思路。

1 教學目標和設計思路

教育部印發了《高等學校課程思政建設指導綱要》，要求通過立德樹人的根本任務，實現知識傳授、能力培養、價值塑造三位一體的教學目標[2]。我們針對第二個重要極限的主要內容制訂了如下教學目標：在知識目標上，讓學生掌握第二個重要極限的理論推導，知道第二個重要極限的極限結構，會利用第二個重要極限求解一些具有相同結構的數列極限；在能力目標上，通過案例式教學，培養學生應用數學的意識，提高學生分析和解決實際問題的知識遷移能力；在思政目標上，結合數學文化中數學家的事例和教學中的案例，引導學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。

根據《教育部關于一流本科課程建設的實施意見》，課程設計要求具有高階性、創新性和挑戰度[3]。針對具體教學內容，教學設計思路為：采用混合式教學方式，通過課前、課中和課后的多元教學活動，調動師生、生生互動，實現學生為學習的主體；在教學方法上，采用案例式和啟發式教學，融合信息化技術，從易到難，從直觀到理論，啟發學生進行探究式學習；在案例選擇上，采用與學生生活息息相關的實際問題，激發學生學習的欲望，通過解決問題增強學生的成就感；在內容設計上，從簡單到復雜，實現教學的高階性和挑戰度，通過課后環節實現課堂內容的創新性遷移。教學設計思路大致概況見圖1。

圖1 教學設計思路圖

2 教學過程

2.1 課前

根據教學目標和教學內容設計課前任務單，目標是讓學生具備學習新知識的理論基礎，對新知識有大致了解，明確重難點，讓學生做到有的放矢。課前任務單為：復習單調有界準則，預習第二個重要極限，觀看證明其極限存在的視頻；查找資料，了解何為銀行單利和復利；結合數學史，談談對數學家歐拉的認識。為了讓學生對新知識有初步的了解，課前指出課程的重難點：重點是第二個重要極限及其應用，難點是第二個重要極限的應用。

教師通過主題討論的教學活動檢查學生的預習情況。利用學習通后臺的學情統計，實時有效地掌握學生課前任務單的完成情況，并通過平臺督促提醒學生按時完成課前任務。

2.2 課中

2.2.1 問題引入

首先，教師結合課前關于銀行復利的主題討論，讓學生展示個性化學習結果，調動其學習的自信心。提出問題：何為銀行復利？銀行復利如何計算？教師通過隨機選人，讓學生總結出復利是一種計息方式，就是把利息計入本金中重復計息，即“錢生錢”“利滾利”。學生具備了理論基礎，給出生活實例中的一個簡單貸款問題，具體問題為：向借貸公司借了1 萬元，年利率是100%，1 年后要還的本息和是多少？拋出問題，讓學生覺得所學知識是有用且是有趣，激發其學習欲望。

2.2.2 分析問題，建立模型

利用復利分析以下問題，如借貸公司1 年后結息，1 年后要還的本息和是多少？如借貸公司一年結2 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果借貸公司1 年結3 次息，1年后要還的本息和又是多少？如果1 年結4 次、5 次，甚至n 次息，要還的本息和是多少？

教師通過隨機選人、學生搶答等方式，讓學生從簡單到一般、循序漸進地接受以下兩點：實例中本息和的表示形式，復利產生的真實效應。比如，如果借貸公司1 年結兩次息，1 年后的本息和公式是什么？其中前半年的利息是多少？后半年的利息是多少？讓學生能總結出，隨著結息次數增多，要還的本息和增多。讓學生發問，如果結息次數無限增多，本息和是否也無限增多？

最后，教師引導學生將問題轉化，討論n 趨于無窮大時，數列{xn}的極限是否存在，其中xn=(1+1/n)n，引出第二個重要極限。

2.2.3 解決問題

首先，借助可視化軟件呈現隨著n 的增大，本息和的數值變化情況。讓學生從直觀觀察到理論推導的過程，引導學生開展探究式學習。通過學生搶答或隨機選人等教學活動讓學生總結出，數列{xn}是單調遞增的，且增長速度前快后慢。分析出實例中要還的錢不會無限增大。

然后，利用可視化軟件呈現動點的變化趨勢，通過搶答或隨機選人的教學方式，引導學生總結出，動點在向一個常數無限逼近，且動點都在直線y=3 的下方，說明數列{xn}有上界，從而分析出實例中要還的錢永遠不會超過3萬元。引導學生利用復習的單調有界準則，分析并得出數列{xn}的極限存在，從而提高學生的邏輯推理能力。

當學生以為問題已經解決時，教師及時提出，觀察不能代替證明，要具有說服力，必須證明。讓學生在解決問題的過程中感受數學的抽象性、嚴謹性和應用的廣泛性。

2.2.4 核心知識講解

首先，結合預習單中視頻的觀看，通過分組討論的教學活動完成數列{xn}極限存在的證明。具體討論的主題是，總結預習單視頻中數列{xn}極限存在的證明過程，其中單調性的證明你還有其他方法嗎？目的是讓學生能理解極限存在性的證明思路。

由于學生的基礎知識在目前只能解決第二個重要極限是存在的，還解決不了其極限值就是無理數e，所以，教師結合數學家歐拉的研究介紹該極限值，并將歐拉孜孜不倦、勤奮探索的科學精神融入課程教學，激發學生的學習動力，幫助學生樹立正確的人生觀和價值觀。

然后，分析第二重要極限的極限結構。教師通過課堂搶答或隨機選人的教學活動，引導學生分析出第二個重要極限是一個什么形式的未定式？在底上出現的無窮小1/n與指數的無窮大n 形式上有什么聯系？通過觀察，讓學生總結出第二個重要極限是1∞型的未定式，無窮小1/n 與無窮大n 互為倒數。

進一步，教師引導學生思考，當n趨于無窮大時，如果a也是無窮大，那么，數列(1+1/a)a的極限是多少？教師通過變量代換推導出與數列{xn}的極限相等，也等于無理數e。

最后，教師詳細解釋應用第二個重要極限如何求1∞型的數列極限，并通過隨堂練習提高學生對第二個重要極限的應用能力。

2.2.5 學以致用

應用第二個重要極限解決一般貸款問題。教師將引例由易到難，啟發學生分析復雜問題。

基于引例中1 年后要還的本息和不會無限增多，教師讓學生結合實際思考，是否可以任意貸款，不管貸多少錢，多少年。通過以下問題引導學生進行啟發式探討，如果貸款額為A0元，年利率為r，1 年結n 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果其他條件不變，問k年后要還的本息和是多少？如果每時每刻都結息，問k年后要還的本息和是多少？最終問題轉化為求趨于無窮大時，數列A0(1+r/n)nk的極限，通過變量代換a=n/r，利用第二個重要極限可知結果為A0erk。

教師總結分析：①k年后連續復利的本息和與n無關，這就說明本息和不會隨著計息次數的增多而無限增大，但是它和貸款額、利率和時間都是有關系的。

②當貸款額和利率不變時，利用可視化軟件呈現本息和隨著時間k 的變化趨勢。引導學生觀察發現，本息和剛開始增長緩慢，但后面本息和呈爆炸式指數級增長。這就是“利滾利”生成的復利效應，這個模型就是指數增長模型。該模型還可用于細菌繁殖、人口增長等實際問題。

③通過模型分析可知，切勿隨意貸款。切入課程思政，提醒學生遠離網絡貸和校園貸。短期貸款好像還的錢不多，但長期積累特別是還不了利息后，要還的錢是指數級增長，教育學生警惕貸款背后的可怕陷阱，引導學生樹立正確的消費觀。

2.2.6 小結和討論

教師總結課堂教學思路，讓學生從宏觀上掌握課程脈絡，并提示學生短期貸款和長期貸款問題都是銀行復利問題，再次強調課程的重、難點。

為培養學生在生活中發現數學、應用數學并感悟數學的能力，教師課下通過主題討論的教學形式引導學生結合生活實際繼續探討連續復利問題。具體討論主題為：觀察復利公式（1+0.01）365≈37.78，1365=1，（1-0.01）365≈0.00255，從每天進步或退步一點的角度，結合生活與學習，談談以上式子對你的啟發。

2.3 課后

課堂教學結束后，教師利用學習通平臺發布教學活動幫助學生總結與提高。通過主題討論幫助學生自我總結課堂內容，具體內容為，這節課學到了什么？關于這節課學到的極限都知道些什么？怎么應用這節課學到的極限？

為了鞏固課堂效果，教師通過題庫進行在線測試，提高學生利用第二個重要極限的解題能力，強化學生的解題技巧。

課后拓展指數增長模型，如果r<0，稱之為指數衰減模型，該模型可用于元素衰變、設備折舊等問題。討論區教師引導學生思考問題：已知一種放射性物質，其每年的連續復合衰變率是100%，求10kg 的該物質經過一年衰變后還剩多少？[4]

3 教學總結

本課程采用混合式的教學模式，通過學習通平臺的多元化教學活動，師生充分互動，教師時時有效地掌握學生的學習狀態，讓學生真正成為學習的主體，從而發揮混合式教學模式在高等數學課程中的優勢。教師通過有趣、有用的數學應用案例吸引學生的注意力，引導學生分析問題并解決問題，將數學理論與實際應用相結合，培養了學生知識遷移的建模能力，從而讓學生通過課程學習感受到能力與素質提高的成就感。在分析問題中，教師借助可視化軟件輔助教學，通過直觀圖形幫助學生分析問題，將現代信息技術與數學教學深度融合。另外，在教學中，教師引入數學文化，鹽融于水式地開展課程思政，激發學生的學習動力，并結合案例提醒學生遠離網絡貸款，幫助學生樹立正確的價值觀和消費觀，將知識傳授與價值引領相統一。