基于2022 年版課標的初中數學反證法教學

蘇州大學實驗學校(215131) 朱佳煒

蘇州大學數學科學學院(215006) 周 超*

數學學習不是羅列更多的現象,也不是追求更妙的技巧,而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案[1]. 反證法就是解決諸多常規證明方法不易推理的一般推理方式,反證法是通過證明論題的否定命題的不真實,從而肯定原論題真實的證明方法. 既是證明數學命題(猜想)的常用方法,也是解決數學探索性問題的通性通法,還具有發現數學知識的功能. 反證法不僅具有廣泛的應用價值,而且具有良好的思維訓練價值,被譽為“數學家最精良的武器”[2]. 英國著名數學家哈代(G.H.Hardy)對于這種證明方法做過一個很有意思的評論:“棋手犧牲的是幾個棋子,而數學家可以犧牲的卻是整個一盤棋.”[3]它應成為我們推理證明教學中的普遍的、一般的、精良的證明方法. 但中小學教學中普遍缺乏對反證法的關注,且部分初高中教科書對這一內容的處理莫衷一是[4],基于對蘇科版教科書反證法內容的分析,并結合實踐中積累的一些做法,對反證法的教學提出了一些看法.

1 反證法的教材與教學現狀: 基于2012 年版蘇科版教科書

1.1 教材內容

現行蘇科版初中數學教科書中沒有將反證法單獨成節,分別在七年級下冊第7 章“平面圖形的認識(二)”第16 頁“讀一讀”中證實平行線性質定理(圖1)、八年級上冊第4 章“實數”第105 頁“閱讀”中證明是無理數(圖2)時先使用了,而后才在八年級下冊第9 章“中心對稱圖形——平行四邊形”第69-71 頁正文中給出了反證法的概念并進行了延展閱讀(圖3、圖4)、最后在九年級上冊第2 章“對稱圖形——圓”第66 頁“思考探索”欄目(圖5)以及九年級下冊第6 章“圖形的相似”第64 頁“讀一讀”欄目(圖6)中再次應用.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

反證法是一種非常重要的證明方法,它用其獨特的推理角度,解決了許多特殊的問題. 蘇科版教科書將反證法分散在三個年級開展教學,解決了初中數學推理證明中的諸多難點: 平行性質、是無理數、平行四邊形判定的否命題、三角形內角只有一個鈍角、切線的性質、直覺誤導等,足見其重要性.

七年級上學期的教學任務是基于生活經驗對數與式,一元一次方程、進一步認識簡單圖形并初步感受構造一些比較復雜的圖形,整冊未涉及證明推理. 而從七年級下學期開始,伴隨著推理教學要求的提高,反證法便如影隨形. 但七年級下學期時,學生對推理證明還很陌生,所以,圖1 中用“證實”替代“證明”. 這是學生第一次接觸反證法,感受到用反證法可以對圖形形成更深入的認識.

八年級下冊第九章明確提出反證法后,本單元對七年級下冊第7 章“平面圖形的認識(二)”的“讀一讀”再次進行了解讀,并通過趣談“反證法”,對基本事實的“同位角相等,兩直線平行”的否命題“同位角不相等,兩直線不平行”“一個三角形中最多有一個鈍角”進行了證明,這時應該說蘇科版對反證法有了較為系統的闡述. 在本章的小結與思考中除了總結章節知識及證明的途徑,還對學生提出“. . . 你能舉出用反證法證明命題的例子嗎? ”對學生學習掌握反證法的要求比較高,讓學生進一步體會反證法是證明的一種重要方法.

九年級上冊圓切線的性質“切線垂直于經過切點的半徑”盡管理解上簡單,但常規的推理方法卻很難說清楚,這體現了反證法的必要性. 圖5 將我們的視野重新投射到七年級下冊第12 章證明,從反證法、相似證明的角度很好說明了“對于數學結論,完全憑借直覺判斷是不行的,還需要推理加以證實”.

1.2 教學現狀

翻閱近年來各省市中考試卷, 反證法證明題難覓蹤跡,對該證明方法的應用大有弱化和淡化,在初中數學教學過程中,大多數教師未能充分認識反證法的教育價值,采取一帶而過或直接忽視的現象常有發生.

通常只在九年級講解切線的性質時因常規推理方法很難說清楚而“迫不得已”進行簡單介紹, 且部分老師只講性質,僅觀察得出結論,而不進行推理. 據了解,在某縣級市初中數學教師解題能力大賽中,“請證明是無理數”這道題難住了不少教師,或反證法的證明過程不規范,這也從一個側面反映出部分一線教師對反證法的認識不到位,未能給予足夠重視.

數學教材承載著知識、能力、活動經驗和思想方法,蘊含了問題解決一般策略. 實踐表明,教材中的例題、習題、閱讀材料、圖片等是中考命題的“聚寶盆”,并且以教材為藍本命制中考試題體現了考試評價的公平性[6]. 蘇科版教科書用了很大的篇幅,埋設了一條長線,通過讀一讀、閱讀、思考探索、正文等不同欄目由淺入深、層層推進地展開,指引著教師對反證法形成足夠的重視,圍繞反證法認真“挖掘”,用好教材這一寶庫,精心備課,補好教學短板.

1.3 課標要求

新頒布的《義務教育數學課程標準(2022 年版)》(下稱新課標)針對過去義務教育階段數學課程不重視代數推理的現象,明確提出“增加代數推理,加強幾何直觀”的主張,這與2017 年版普通高中數學課程標準保持一致,體現了通過幾何建立直觀、通過代數予以表達的現代數學的基本特征[5].

新課標在附錄1 課程內容中的實例74“感悟反證法”中明確指出反證法是一種重要的數學證明方法,平行線性質定理的證明是學生第一次接觸到反證法的證明. 在教學過程中,在讓學生感知反證法作用的同時,還要讓學生感悟反證法的邏輯和論證流程,感知矛盾律和排中律,形成初步的推理能力[5].

新課標提出第四學段(7-9 年級)能夠知道解決問題方法的多樣性,具備一定的應用意識和模型意識,初步會用數學語言表達與交流. 感悟數學的價值,能夠從問題解決的過程中獲得數學活動經驗,產生對數學的好奇心和求知欲,增強學習數學的興趣,建立學習數學的自信心.[5]證明推理的方法除了由因得果、執果索因,還有反證法,這是推理證明問題方法的多樣性. 掌握反證法也有利于學生在解決問題的過程中,學會獨立思考、合作探究,形成批判質疑、克服困難、勇于擔當的科學精神,具備一定的創新意識[5].

2 反證法的教學設計與實踐: 基于新課標的微專題復習課

為更好開展反證法教學,加深對該證明方法的理解,熟悉反證法的一般步驟,能夠靈活應用反證法進行推理,本文以中考復習微型專題課“反證法的再認識”為例,本節課僅一課時,本課例將結合新課標理念進行教學設計,以提升學生推理能力核心素養.

微專題課是教師根據學生學習情況、作業反饋出來的突出問題而組織進行的課堂教學,微專題課通常是用一節課時間解決一個重要知識點或一類題型. 微專題課以為“微”漸進,具有很強的針對性和可操作性,課堂指向知識點體系生成、數學思想方法生成,著力發展學生的數學思維能力[7].

2.1 生動情境趣憶反證法

問題1請閱讀材料: 中國古代有一個叫“路邊苦李”的故事: 王戎7 歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子. 小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動. 有人問王戎為什么? 王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下,果然是苦李.

回答問題: 王戎是怎樣知道李子是苦的呢? 他運用了怎樣的推理方法?

設計意圖通過貼近生活的、生動的、真實的事例,引入反證法,并總結反證法的一般步驟,1. 假設: 先假設命題的結論不成立(路邊甜李);2. 歸謬: 從這個假設出發(路邊甜李),應用正確的推論方法(路邊甜李應少子),得出與定義,公理、已證定理或已知條件(路邊的李樹結滿了果子)相矛盾的結果;3. 結論: 由矛盾的結果判定假設不正確,從而肯定命題的結論(樹在道邊而多子,此必苦李)正確.

問題1 的設計也是為了引導學生通過數學的思維,建立數學與現實世界之間的邏輯聯系,能夠根據已知事實或原理,合乎邏輯地推出結論.

問題2證明一個圓只有一個圓心.

設計意圖問題2 直接證明是無從下手的,本問題可假設一個圓存在兩個圓心,即除了圓心O外還有圓心Q,聯接OQ并延長交圓于點P(圖7),顯然OP ＞QP,這與圓中半徑相等矛盾,所以假設不成立,即一個圓只有一個圓心. 問題1 和問題2 的設計很好回答了“反證法是什么? ”同時,問題2 還能有效激發學生興趣,規范反證法的推理格式,培養學生的數學語言表達能力.

圖7

2.2 舊例重做 感悟反證法

問題3用反證法證明等腰三角形的判定定理: 有兩個角相等的三角形是等腰三角形.

設計意圖新課標對“等腰三角形的概念”從“了解”上升到“理解”, 問題3 屬于舊例重做, 它可折疊實驗操作發現AB=AC; 也可作AD⊥BC(圖8) , 證明ΔADBΔADC得AB=AC. 還可通過反證法證明,讓學生認識到反證法是證明的一般方法. 問題3 的設計也是為了呈現數學知識與方法的層次性和多樣性.

圖8

圖9

問題4一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.

設計意圖問題4 是問題3 的變式,屬于原命題的否命題. 問題3 用常規方法“由因得果”直接證明也可用反證法,但問題4“由因得果”直接證明有困難的, 必須使用反證法.假設這兩個不相等的角所對的邊相等,得到與已知條件矛盾,輕松得證. 問題4 的設計有助于學生理解“反證法怎么樣? ”即感悟反證法的一般性、特殊性、必要性.

2.3 老題新證 活用反證法

問題5證明√是無理數.

設計意圖證明是無理數方法大致有8 種,分別是尾數證明法、奇偶分析法、代數基本性質證明法、連分數法、構圖法等,以上諸多方法大多是反證法,其中教科書上的奇偶分析法比較經典,本課除了簡單回顧本法之外,還采用構圖法進行教學,方法如下:

圖10

2.4 系統構建 領悟反證法

本節專題復習課精心挑選例題,其目的不僅在于總結反證法一般步驟,還在于梳理適合使用反證法的題型,讓學生知道何時使用反證法,可以更好、更快地解題.

問題5已知a+b+c=0,abc ＞0 求證:a、b、c中有兩個非零偶數.

問題6若關于x的一元二次方程(a+1)x2+b(x+1)+a+1=0 有兩個相等實數根,試著判斷x=±1 是否為x2+bx+a=0 的解?

問題7求證: 對任意實數a,點A(a,-a2)都不在二次函數y=(x+1)2+2 的圖象上.

設計意圖 中考復習課的設計要全面系統幫助學生構建知識網絡,這節課通過繪制小而精致的微型思維導圖,讓學生能夠參與、樂于參與,把知識、方法進行整合“聚焦”,梳理解題思路,整合知識結構,引導學生透過數學問題感悟數學思想[7]2.

反證法適用于數、形的推理,在不等式、一元二次方程、二次函數中都有應用,當“由因得果”正向推理有困難時都可以使用反證法(如圖11).

3 反證法的教學反思與收獲

3.1 反證法的“散”與“聚”

因反證法在蘇科版教材中“散”性特征,在教學過程中通常是得不到重視,建議以中考微專題復習課的形式開展教學.專題課形式可以將散落在各個年級段中的反證法“聚”起來,厘清其教材編寫的邏輯、看清知識框架、弄清推理特征. 并根據學生實際情況,合理安排課時,在“新課標”視角下認真“挖掘”,讓反證法在代數推理、邏輯推理中占有一席之地.

3.2 反證法的“利”與“力”

反證法學習有利于引導學生從數學角度出發思考問題,發展批判性思維能力,而批判性思維是數學精神的精髓,這種精神將利于發展學生的探究能力與創新意識;反證法學習有利于幫助學生構建高層次規律的思維方法,它有特殊的思維方式,不同于“由因得果”,類似于“執果索因”;反證法學習有利發展學生解決問題的多維思維方向,從另一個角度切入問題,進行邏輯推理,從而提升學生的數學語言表達能力、數學思維能力、數學解題能力.

反證法教學有利于提升教師對課標的理解力,課標是教學的底線,不是天花板,中考有其基礎性和選拔性雙重特征;反證法教學有利于提升教師對教材的挖掘力, 教材是寶藏,我相信除了反證法,教材中還有更多的財富有待挖掘;反證法教學有利于提升教師對學科的駕馭力,從數學學科的整體結構、核心內容和重要思想上重新把握和認識數學教學內容;反證法教學有利于提升教師對學生的認識力,學生對反證法非常陌生,是學生學習初中數學中的知識盲區和生長點.

反證法教學必有利于“精準打擊”學生的問題和困難,促進數學課堂教學效益與品質的提高,促進學生全面、和諧、可持續發展[8].

3.3 反證法的“舍”與“得”

“反證法是數學家最有力的一件武器,比起象棋開局時犧牲一子以取得優勢的讓棋法,它還要高明. 象棋對弈者不外犧牲一卒或頂多一子,數學家索性把全局拱手讓予對方! ”[9]反證法的假設是充滿數學智慧的“舍”,正是這種有“舍”便會“得”的證明策略,凝聚成反證法的精髓.

數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能. 反證法的“舍”與“得”與中華人文思想契合,對學生形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用,將有助于學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀.