跨越時空的賬單*
——以“正數與負數”為例

廣東省東莞市南城陽光實驗中學(523000) 譚新艷

美國數學史家卡約黎在為數學教師所撰寫的《初等數學史》中指出,數學史乃是數學教學的工具. 我國數學史家錢寶琮認為“數學史研究的一個重要目標是為中學數學教師服務. ”教師對知識理解通透,教學便會通透,學生就更容易理解知識. 數學史融入我國數學教材有著悠久的歷史,那么如何體現數學史對數學的教育價值? 下面筆者以人教版教材七年級上冊第一章第一節“正數與負數”教學為例,就如何進行數學與歷史學科融合教學與讀者交流.

1 問題提出

人教版教材七年級上冊第一章“有理數”中有一個數學活動: 幫助家庭記錄一個月的生活收支賬目,收入記為正數,支出記為負數,計算當月的總收入、支出、總結余[1]. 它是本章內容的延伸和拓展,目的在于引導學生運用本章所學知識為解決實際問題提供方法. 學生要完成這個活動,需要掌握有理數的運算. 怎樣運算? 那要知道正數、負數的概念及使用方法,所以負數的概念是本章的重頭戲. 我們知道,在數與代數的大單元學習中,學習的是各種表示(數量和模型)、運算方法. 然而事實上,在教學中,很多教師認為“正數與負數”這一節知識很簡單,學生通過閱讀教材,便會明白,所以教師對于負數的概念也是結論性的講解. 他們忽略了歷史上曾經遇到相似難題,美國數學家克萊因曾斷言學生在學習負數時必定會遇到困難:“毋庸置疑,歷史上大數學家所遇到的困難,恰恰正是學生會遇到的學習障礙. 從一流的數學誕生開始,數學家花了1000 年才得到負數概念,又花了1000 年才接受負數概念,因此我們可以肯定,學生學習負數時必定會遇到困難[2].”所以系統學習負數是一個必不可少的過程.

2 教學實踐

基于教科書、已有教學設計以及歷史素材,我們設定本節課的教學目標如下:

(1)了解本單元學習的方向;

(2)通過數學史的學習,知道負數由來,體會負數表示及轉化過程;

(3)掌握負數的概念和表示,以及0 的意義.

具體教學流程如圖所示.

2.1 布置任務,引領方向

問題1下面是一頁賬單(圖1),但有一部分沾了水,你能根據上面殘余的數字算出這一頁最后的結余嗎?

圖1

教學分析“正數與負數”為一章的起始課,統領著整章知識脈絡,筆者采用大單元教學方式,首先向學生提出本單元需要完成的大任務,通過逆向設計任務,驅動學生學習,引領單元方向. 教師出示任務后,留出一分鐘給學生思考——如何計算? 表格中的數字“-120、-150、-315、-540、-470”是什么? 學生帶著疑問、好奇學習新知識.

2.2 創設情境,提出問題

問題2數的產生和發展離不開生活和生產的需要. 你們知道這些圖片(圖2)介紹的是什么內容嗎?

圖2

教師: 在遠古時代,人類靠捕獵為生,為了統計獵物的個數,產生了正整數,1、2、3、…,如果獵人在這一天什么獵物也沒有打到,他們又如何計數? 為了表示沒有和空位產生了數字零,如果分配獵物時,兩個人分三件東西,每個人該得多少呢? 于是分數就產生了. 隨著社會的發展,商業經濟越來越發達,物品種類越來越多,這些數能滿足實際生活的需要嗎?

答案是不能.

下面列舉一些實際生活中會遇到的案例.

教師: 小明有100 元錢,他想買一個籃球,籃球的售價是168 元/個,請問小明還差多少錢?

學生: 168-100=68 元

教師: 小悅今天掙了200 元錢,但買衣服花了230 元,請問小悅今天凈收入多少?

學生1: 200-230

學生2: 好像不對. 小數怎么能減大數呢?

教師: 大家能不能也想一種數字來解這道題呢?

學生3: 負數.

教師: 其實早在很多年前,人們在生活中已經開始使用負數. 戰國時期,《法經》中記載了這樣一句話“衣五人終歲用千五百不足四百五十”. 這里的“不足”就是負數的意思.

教學分析數學與社會生活的發展是相互促進的,數學的產生源于社會生活的需要,數學的發展促進了社會的進步.回顧正整數、0、分數的產生,學生也能大膽地提出一種數字解決實際問題. 這三幅圖學生不僅學習了數的產生和發展,也可以學習歷史,培養歷史學科的核心素養(歷史解釋和時空觀念). 通過歷史,我們能更好地了解過去,認識現在,預知未來.

2.3 探究方法,解決問題

問題3去年冬天的某一天,哈爾濱的平均氣溫是零下13°C,長沙的平均氣溫是8℃,東莞的平均氣溫是13°C,請問這天東莞的平均氣溫比長沙高多少? 比哈爾濱的平均氣溫高多少[3]?

這里特意設置了兩個13°C,讓學生產生思考.

得到解題過程如下:

學生1: 東莞比長沙氣溫高5°C,算式13-8=5°C.

學生2: 東莞比哈爾濱氣溫高0°C,算式13-13=0°C.

學生3: 不對,不是0°C.生活經驗告訴我們,哈爾濱零下13°C 很冷,會下雪;東莞13°C 雖然有點冷,但不會下雪;不可能兩個溫度一樣.

教師: 同學們已經觀察到“零下13°C 與13°C”的不同了,東莞氣溫13°C,意思是零上13°C.這兩個13°C,最大的區別是加有前綴的一對反義詞“零下與零上”,你能用什么方法表示“零下13°C 與零上13°C”嗎?

小組合作交流,碰撞出思維的火花.

學生4: 用顏色區分,紅色表示零上13°C,黑色表示零下13°C.

學生5: 用正斜字體區分,正立的13°C 表示零上13°C,斜體的13°C 表示零下13°C.

學生6: 標記號區分,沒有標記的13°C 表示零上13°C,帶框的表示零下13°C.

學生7: 用“+、-”號區分,+13°C 表示零上13°C,-13°C表示零下13°C.

教師: 同學們提出的不同表示方法,就是我們歷史上偉大的數學家們曾經的想法. 我國魏晉時期的數學家劉徽在其著作《九章算術》中用不同顏色分別表示正數和負數(紅色為正,黑色為負)或者說用直立的木棍表示正數,用斜的木棍表示負數. 印度數學家婆羅摩笈多將小圓點或小圓圈標記在數字上面表示負數. 直到1629 年,荷蘭數學家吉拉德的負數符號“-”得到公認. 人類對負數的認識經歷了漫長的歷程.

教學分析為了真正實現自主探究,變“接受答案的教育”為“創造答案的教育”,筆者大膽嘗試,重構負數的表示.在探究過程中,學生仿佛成了數學家,獲得了成就感,提升了自信心. 在數與代數的學習中,主要的數學方法是表示(數量和模型),運算方法. 抓住本質教學,加入史料,讓學生對負數有了進一步的理解,同時體會到學習的樂趣.

2.4 整理材料,構建概念

問題4請閱讀你們自己收集的材料、結合自己的生活經驗,選擇其中的例子(圖3),讀一讀,想一想,并在小組內交流感想.

圖3

據國家數據統計: 今年我國的GDP 總量比上一年同期增長

思考: 你知道上面紅框中的數字代表什么意義嗎?

學生根據生活經驗很快回答出前面三個例子數字代表的意義. 但對第四個例子增長-2.7%感到疑惑.

學生1: 都說增長了,怎么還有負數呢?

教師: 正負數表示意義相反的量,增長的反義詞是下降,“增長-2.7%”意思是“下降2.7%”. 數學上,像3,1.8%,13 這樣大于零的數叫做正數,有時為了明確表達意義,在正數前面也加上“+”(讀作正)號. 例如+3000,+13,+0.5…像-3,-2.7%,-15.8…這樣在正數前面加上符號“-”(讀作負),小于零的數叫做負數. 那么我們在寫“+”“-”有什么要注意的嗎?

學生2: 一個數前面的“+”“-”叫做它的符號. 其中“+”可以省略不寫,而“-”不能省略不寫.

教師: 一個數,不是正數就是負數嗎?

學生3:“0”既不是正數,也不是負數;“0”是正數與負數的分界;“0”不是最小的數,它小于任何正數,大于所有負數.

教師:“0”只表示空或沒有嗎?

學生4: 好像不是這樣的,比如溫度計顯示0°,是有溫度的.

教師: 0 是正負數的分界點. 它不再簡簡單單的只表示沒有,它具有豐富的意義,它常用來表示某些量的基準量. 如“0 點”不表示沒有時間,而是指特定的時刻,即半夜12 點或24 點.

教學分析課前有一個前置作業: 請同學們結合自己的生活經驗,收集生活中出現正負數的材料,并解釋其正負數的意義. 將自己搜集到的資料拍攝成1 分鐘以內的視頻. 學生對這個作業熱情非常高,上交了有質量的作品,筆者發現不少家長也擔任了視頻中的角色,和孩子一起參與,增添了不少歡樂的親子時光. 學生自己在生活中找到的負數材料變成了課堂上的教學材料,學生學習的投入度更高,專注力更強,效果更佳.

2.5 應用方法,深化認知

問題5一個暑假, 小虹體重增加2kg, 小明體重減少1kg,小花體重無變化,寫出小虹、小明、小花三人這個假期的體重分別增加多少?

教學分析這道題提問的是體重增加了多少,所以即使體重減少,也要表達增加了“負多少”,因此小虹、小明、小花三人的體重分別增加2kg,-1kg,0kg. 之后,和學生一起對本節課所學知識進行歸納總結: (1)數的擴充,正數與負數、0;(2)負數產生的必要性;(3)負數的概念及表示.

3 教學反思

3.1 妙用數學史架起數學與歷史學科的橋梁

縱觀多版本初中數學教材,均在“讀一讀”以及“思考與閱讀”板塊中給出了負數的發展歷史,將其融合到數學教學中,激起了學生學習的求知欲. 負數的引入是數學發展史上的一大飛躍,使數的家族得到了擴張,為人們提供了更多認識世界的工具. 中國是世界上最早認識和應用負數的國家(比西方早一千多年). 通過歷史的滲透,培養學生家國情懷,民族自豪感. 另外,負數的產生和社會的發展息息相關,從數學的角度看,數系得到了擴充;從歷史的角度看,反映了人類歷史上商業的階段歷程. 多學科教學能夠打破學科界限,有利于培養學生用多維度的思維看問題,提升對事物的整體認識,提高學生綜合的知識素養.

3.2 創設自然生成的情景是建構負數概念的起點

英國哲學家斯賓塞曾說:“一般教起來使人覺得枯燥甚至討厭的知識,依照自然的方法就成為極其有趣和有益的. ”本案例中,教師從史料記載和學生已有的知識出發引入概念,情境的創設將學生的注意力引向數學概念的本質特征.

依托于日常生活,從實際應用中,理解正負數是比較容易達到的,即指意義相反的量. 但數學家們思考如何用文字語言清楚地定義正負數的概念,再用簡潔的數學語言表達正負數,這是數學的本質. 數與代數的主要思想“歸納”與“轉化”. 創設自然生成的情景,每一位學生不知不覺中成為數學家. 進行跨越時空的對話,讓每一位學生都為自己的表現感到驕傲.

3.3 提高教師專業發展是有效教學的途徑

韓愈說:“師者,所以傳道、受業、解惑也. ”在數學教學中,教師常常會遇到學生問“為什么”,比如為什么三角形內角和等于180°? 明明一想就明白. 為什么要學習乘法公式?但有些問題是邏輯推理不能回答的. 教師便要借助數學史來解釋. 任何數學概念、公式、定理、思想都不是天上掉下來的,都有順其自然發生發展的過程. 以史為鑒,符合學生的認知發展規律. 教師對知識理解通透,他的教學才通透. 在本案例中,引導學生感受負數的發展歷程,借助數學史料,使學生更好的理解負數的定義和性質,幫助學生建立數感,增強學生的符號意識. 因此,教師學習必要的數學史能促進教學質量提升.

數學與歷史跨學科教學離不開數學史. 但僅僅是數學史還不夠,我們要在教學中融入歷史學科的核心素養、思想方法. 本節課,將人類社會的商業發展歷程融入到課堂教學中,培養了歷史學科的核心素養,獲得認識歷史的思想和方法.