聚焦圓錐曲線問題中的“同構(gòu)法”
——以近五年高考圓錐曲線試題為例

焦永垚

(甘肅省蘭州市第六中學(xué))

1.問題的提出

高中平面解析幾何中的圓錐曲線問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,是高考考查學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體,對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求.對于此類問題,學(xué)生通常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,再利用韋達(dá)定理求解.但在具體解答過程中,往往計(jì)算量非常大且繁雜,使很多考生半途而廢.筆者發(fā)現(xiàn),對于很多圓錐曲線高考題,如果運(yùn)用“同構(gòu)法”解決,可以簡化運(yùn)算步驟,優(yōu)化解題過程,提高解題的成功率.

2.初探“同構(gòu)法”

(Ⅰ)求l的斜率;

設(shè)直線PQ的方程為mx+ny=1(2m±n≠1),將點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)代入化簡得

反思：上述解題過程中蘊(yùn)含著一種重要的思想方法,就是“同構(gòu)”思想.同構(gòu)思想是高中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法,在數(shù)列、不等式、方程、函數(shù)及解析幾何中都有著非常廣泛的應(yīng)用,是解決數(shù)學(xué)問題的一把利器.在數(shù)學(xué)上,我們把結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)式子稱為“同構(gòu)式”,把不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想方法稱為同構(gòu)法.在解析幾何中,我們通?？梢岳靡恍c(diǎn)、線所具有的“形”的共同特征構(gòu)造同構(gòu)式,再利用“整體消元”解決問題.此題中由于點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)結(jié)構(gòu)相同,且都在直線l上,所以將P,Q的坐標(biāo)代入l的方程,得到兩個(gè)同構(gòu)式,將“k”視作主元整理成一元二次方程,再利用韋達(dá)定理得到結(jié)果.可以看出,在解析幾何中,“同構(gòu)法”的中心思想就是“設(shè)而不求” “整體消元”,從而避免復(fù)雜的運(yùn)算,這是解決解析幾何復(fù)雜問題的基本思路.本題中“點(diǎn)P,Q都在直線l上”這一“形”的“對等”性是構(gòu)造同構(gòu)式的關(guān)鍵.

下面筆者以近五年部分圓錐曲線高考題為例,從四個(gè)方面闡述“同構(gòu)法”的解題應(yīng)用.

3.“同構(gòu)法”在高考圓錐曲線題中的應(yīng)用

3.1 根據(jù)“圓錐曲線上的兩點(diǎn)在同一直線上”構(gòu)造同構(gòu)式

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N.當(dāng)|MN|=2時(shí),求k的值.

由直線AB,AC的方程可得M(-m1,0),N(-m2,0),

解得k=-4.

【評注】從上述解法可以看出,此題本質(zhì)上與例1相同,根據(jù)“橢圓上的兩點(diǎn)B,C在同一直線上”構(gòu)造同構(gòu)式,大大簡化了運(yùn)算過程.將直線AB,AC的方程設(shè)為x=m1(y-1)和x=m2(y-1)的形式而非斜截式,成功避免了對其斜率存在性的討論,從而減少了運(yùn)算量.

3.2 根據(jù)“兩個(gè)點(diǎn)在同一圓錐曲線上”構(gòu)造同構(gòu)式

【例3】(2018·北京卷·19)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;

解析：(Ⅰ)直線l的斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(過程略)

設(shè)直線l的方程為y=kx+1(由(Ⅰ)知k≠1),

【例4】(2018·浙江卷·21)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.

(Ⅰ)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;

【評注】例3中的點(diǎn)A,B在直線l上,從而點(diǎn)A,B的坐標(biāo)結(jié)構(gòu)相同,再根據(jù)“點(diǎn)A,B都在拋物線C上”這一“形”的對等構(gòu)造出關(guān)于λ和μ的同構(gòu)方程.例4則是根據(jù)“PA,PB的中點(diǎn)都在拋物線C上”這一“形”的對等構(gòu)造出關(guān)于y1和y2的同構(gòu)方程,最后運(yùn)用韋達(dá)定理完成解答.此解法擺脫了“將直線方程與拋物線C的方程聯(lián)立”的思維定式,運(yùn)用“設(shè)而不求”和“整體代換”的思想優(yōu)化了解題過程.

3.3 根據(jù)“兩條直線與圓錐曲線有相同的位置關(guān)系”構(gòu)造同構(gòu)式

【例5】(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(Ⅰ)求p;

(Ⅱ)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

解析：(Ⅰ)p=2.(過程略)

【評注】此題為拋物線中的阿基米德三角形問題,“聯(lián)立切線方程與圓錐曲線方程,消元,則Δ=0”,這是解決此類問題的通法.由兩條切線得到兩個(gè)判別式,從而構(gòu)造出關(guān)于k1和k2的同構(gòu)方程,再利用韋達(dá)定理求解.由于該題為開口向上的拋物線切線問題,所以也可用求導(dǎo)的方法解決,通過求導(dǎo)得到切線的斜率,再利用斜率公式得同構(gòu)方程x0x1-2y1-2y0=0和x0x2-2y2-2y0=0,從而得到直線AB的方程.同為同構(gòu)法,但同構(gòu)法二比同構(gòu)法一思維更為靈動(dòng),過程更為簡捷.

【例6】(2021·全國甲卷理·20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且⊙M與l相切.

(Ⅰ)求C,⊙M的方程;

(Ⅱ)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由.

解析：(Ⅰ)C的方程為y2=x,⊙M的方程為(x-2)2+y2=1.(過程略)

當(dāng)A1,A2,A3三點(diǎn)都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),如圖,

綜上所述,直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系為相切.

【評注】此題是一道以彭賽列閉合定理為背景的高考題,由于直線A1A2和A1A3與⊙M有相同的位置關(guān)系(相切),所以它們的方程結(jié)構(gòu)相同,由“圓心到直線的距離等于1”構(gòu)建出點(diǎn)A2和A3所滿足的同構(gòu)方程,思路新穎獨(dú)特,過程簡便快捷.

3.4 根據(jù)“兩條直線過同一個(gè)點(diǎn)”構(gòu)造同構(gòu)式

對于前文的例5,我們也可根據(jù)“切線PA和PB過同一點(diǎn)P”構(gòu)造同構(gòu)方程.

我們再來看一道以拋物線中的阿基米德三角形為背景的高考題.

(Ⅰ)證明:直線AB過定點(diǎn);

【評注】能夠用“同構(gòu)法”解決的圓錐曲線高考題還有很多,如2022年浙江卷第21題、2020年全國Ⅰ卷理科第20題、2020年山東卷第22題等等,有興趣的讀者可以自己嘗試,本文不再贅述.

4.結(jié)束語