掌握圖形圖像表征策略,提升解決真實情境復雜問題的能力

黎國勝 羅 恒

(四川省雙流中學)

本文結合典型例題介紹利用圖形圖像表征的兩種策略,可以幫助學生打通思維堵點,快速高效地解決復雜問題。

1.利用點線等幾何圖形表征物體的運動過程

1.1 原題呈現

將圖1(a)中的蹦床簡化為圖1(b)所示的彈簧,當質量50 kg的運動員站在蹦床上靜止時,彈簧的上端由O點壓縮到A點。現將比賽過程分為兩段,過程1：運動員從A點開始,通過多次起跳,在空中完成動作,且越跳越高,直至重心達到距O點高為6 m的最高點(此時運動員的速度為零);過程2：運動員在最高點結束表演,此后不做任何動作,多次往返,最后靜止在蹦床上,彈回過程中重心與O點最大高度差為4.1 m。若整個過程中運動員所受空氣阻力大小恒為重力的0.2,重力加速度大小為10 m/s2。則 ( )

圖1

A.過程1中運動員能夠越跳越高,是因為彈簧對運動員不斷做正功

B.在過程2的每一次單向向上運動過程中,運動員的速度最大時彈簧的上端都處于A點下方

C.過程2中從開始下落到彈至重心距O點高4.1 m處,運動員克服空氣阻力做的功為1 010 J

D.過程2中,彈簧的最大彈性勢能為2 280 J

1.2 試題疑難分析

(1)對蹦床模型的認識與理解,即對運動員在蹦床上的大致運動階段以及各階段臨界狀態模糊不清;

(2)各選項所涉及問題無法與所學知識有效聯系,即問題表征與解題策略的選擇,比如A選項彈力做功正負情況的判斷,B選項運動員速度最大時彈簧的上端位置以及CD選項中力所做的功和最大彈性勢能與所學的什么知識有聯系等;

(3)對題目中運動員的“重心”的理解,尤其是與“重心”相關的幾個位置,比如,運動員腳底的位置、在蹦床上靜止時的平衡位置、彈簧原長的位置以及運動員重心的位置與變化(尤其是重心的最高與最低位置及其變化)等,對于學生是否能正確、有效表征問題有重要影響。但解決此題并非所有條件都是必要的,因此,學生還應具備從眾多信息中抓住“主要矛盾”,忽略“次要因素”的能力。

圖2為利用圖形表征該問題的步驟。分析運動員的運動過程時,首先要明確運動員不能看成質點,因為運動員有身高,而且題目中明確了重心的變化。在畫運動過程示意圖時,我們重點關注幾個關鍵位置：重心的最高位置和最低位置(用幾何點表征),彈簧原長位置(O點)及彈簧的最低位置(用點表示),運動員靜止時的位置(A點)。本題的難點在于,初始時刻運動員的重心位置在彈簧原長的上方還是下方,無法判斷,可以假設。

圖2 利用圖形的問題表征過程及解題方法的選擇

A選項：“運動員能夠越跳越高”,對應的過程不止一次地上下運動,而應是多次落下來再彈上去。下落過程從接觸彈簧到速度減為零,彈簧對運動員做負功,運動員的機械能轉化為彈簧的勢能。反彈上升的過程,彈簧對運動員做等量的正功,彈簧的勢能又全部轉化為運動員的機械能。因此,運動員越跳越高的原因肯定不是彈簧做正功的結果,從能量轉化的角度看只能是運動員內力做功的結果,消耗了運動員的生物能。一些學生想當然地認為上升過程,彈簧對運動員做了正功,所以運動員越跳越高,說明這些學生能量轉化的物理觀念還沒有真正建立起來,也缺乏應用能量轉化的觀念去分析生活現象的能力。

B選項：運動員靜止時,重力與彈力等大反向,二力平衡。運動員向上運動的過程中,速度最大時受重力、彈簧的彈力、豎直向下的空氣阻力,三力平衡,畫出受力如圖3所示,易知彈簧彈力變大了,彈簧壓縮量更大,此位置應該在A點的下方,B正確。

圖3 運動員向上運動的受力示意圖

1.3 利用圖形表征求解CD選項

根據題意,將蹦床簡化為彈簧,運動員站在蹦床上靜止時,彈簧的上端由O點壓縮到A點,示意圖如圖4所示,其中W表示運動員重心的位置,由于現在尚不清楚重心的位置,暫假設靜止時運動員的重心位于O點上方。再將題目中所描述的運動員比賽過程1與過程2簡化為如圖5所示的運動過程示意圖,其中B點為重心距O點的最高點,H=6 m,C點為彈回過程中重心距O點的最高點,h=4.1 m。

圖4 構建蹦床的彈簧模型

圖5 點線等表征運動員的運動過程

對于C選項,在過程2中,根據圖5,運動員從B到C過程,由動能定理有mg(H-h)-Wf=0,代入數據可得運動員克服空氣阻力做的功Wf=950 J,C錯誤。

對于D選項,由于運動員從B處下落至壓縮彈簧到最低點處時,運動員重心位置暫不能確定,可假設運動員從B處至重心與O點齊平后,重心繼續下落至D點且O、D兩點高度差為Δh,并將從B到C的運動示意圖簡化為如圖6所示。運動員從B到D,根據功能關系有mg(H+Δh)-f(H+Δh)=Ep彈。運動員從B到C,根據動能定理有mg(H-h)-f(H+h+2Δh)=0,代入數據,可解得Ep彈=2 280 J,D正確。值得注意的是Δh=-0.3 m,其中負號表示運動員運動到最低點時,其重心位置位于彈簧原長位置O點上方,因此,運動員靜止時重心W也位于O點上方。

圖6 運動員從最高點下落至彈回最高點的圖形表征

2.用速度—時間圖像表征物體的運動規律

2.1 原題呈現

如圖7,用水平傳送帶向右運送貨物,傳送帶左、右端點A、B間距為L=24.5 m,木箱質量M=1 kg、長度d=1.5 m。現將質量m=2 kg的貨物放入靜止的木箱,木箱左側位于A端,貨物恰與木箱左側壁接觸。放入貨物后,傳送帶由靜止開始依次做勻加速運動、勻速運動和勻減速運動直到靜止,木箱在傳送帶勻速運動中的某時刻與傳送帶共速,且停止運動時其右側剛好在B端,該過程中,傳送帶減速段、加速段的加速度大小均為a0=4 m/s2,最大速度v0=4 m/s。已知木箱與貨物間的動摩擦因數μ1=0.1,木箱與傳送帶間的動摩擦因數μ2=0.2,重力加速度大小g=10 m/s2。貨物可視為質點,貨物與木箱間的碰撞為時間不計的完全非彈性碰撞,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。求：

圖7

(1)傳送帶加速運動過程中,貨物對木箱側壁的壓力大小;

(2)傳送帶減速運動過程中,系統因摩擦產生的熱量;

(3)傳送帶勻速運動的時間。

2.2 試題疑難分析

(1)貨物、木箱和傳送帶運動狀態以及各個運動階段分界點的判斷;

(2)貨物、木箱以及傳送帶各自對地位移與相對位移(或相對路程)的計算。

上述疑難點均可通過利用圖形、圖像進行表征,使問題更加清晰與明確。

圖8為利用圖形表征該問題的步驟。解決該問題時,首先應該明確研究對象,即傳送帶(以傳送帶上A端的點為研究對象)、木箱與貨物。其中傳送帶由電動機帶動,其運動狀態分為勻加速、勻速與勻減速三個階段。對于木箱與貨物的運動狀態必須結合受力分析進行判斷,而受力分析時應靈活選用整體法與隔離法對運動狀態進行確定。

圖8 圖形、圖像表征過程

對于第(1)小問,根據受力分析示意圖,利用牛頓運動定律即可順利解決。第(2)小問將研究過程聚焦于傳送帶勻減速階段,而對貨物與木箱的運動情況的分析是解題的突破口,由于題設條件尚無法明確判斷二者的運動情況,故而采用了假設法,這是一種常用且有效的方法。對于第(3)小問,在解決(1)(2)小問的基礎上,利用題設已知條件,作出全過程、各階段,貨物、木箱以及傳送帶的位形圖,傳送帶勻速運動的位移由幾何關系可快速得到,問題便迎刃而解。

2.3 利用圖形、圖像表征的具體解題過程

(1)解法一

Ⅰ.傳動帶勻加速運動階段

傳送帶啟動后向右做勻加速運動,貨物和木箱一起相對于傳送帶向左滑動,對于貨物和木箱,分別采用整體法與隔離法對貨物和木箱整體以及貨物進行受力分析,其受力分析示意圖如圖9所示。對于貨物和木箱整體,由牛頓第二定律有μ2(M+m)g=(M+m)a,代入數據解得a=2 m/s2。對于貨物,因μ1=0.1,僅靠靜摩擦力提供的最大加速度為μ1g=1 m/s2,所以木箱對貨物的靜摩擦力不僅達到最大值,且左側壁對貨物還施加有壓力F。對于貨物,由牛頓第二定律有μ1mg+F=ma,根據牛頓第三定律,貨物對木箱側壁的壓力大小為F′=F=2 N。

木箱與貨物整體受力分析示意圖

貨物受力分析示意圖

圖10 傳送帶與木箱和貨物均加速結束時位置示意圖

Ⅱ.傳動帶勻減速運動階段

欲求解此過程中,系統因摩擦產生的熱量,必須清楚貨物、木箱以及傳送帶之間的相對運動情況。在此過程中,可知貨物一定相對于木箱向右滑動,而木箱是否相對傳送帶滑動需進行判斷,不妨假設木箱會相對傳送帶滑動,分別對木箱以及傳送帶進行受力分析,示意圖如圖11所示。根據牛頓第二定律,對木箱、貨物分別有μ2(M+m)g-μ1mg=Ma2,μ1mg=ma1代入數據解得a1=1 m/s2,a2=a0=4 m/s2,故而木箱相對傳送帶靜止且一起做減速運動。

木箱受力分析示意圖

圖12 傳送帶靜止時位形圖

Ⅲ.傳動帶勻速運動階段

(2)解法二：利用v-t圖像

通過受力分析與運動分析,在同一坐標軸上分別做出傳送帶、木箱、貨物以及木箱與貨物的v-t圖像,如圖14所示。其中OA段表示傳送帶勻加速運動階段,OB段表示木箱與貨物一起勻加速運動階段,BC段表示三者共速且勻速運動階段,CD段表示木箱與傳送帶一起勻減速運動階段,CE段表示貨物減速運動階段,EF段表示貨物與木箱完全非彈性碰撞瞬間,FG段表示貨物與木箱一起勻減速運動階段,G點所對應時刻木箱右側恰好位于傳送帶右端B點處。根據v-t圖像與橫坐標所圍成的面積可得傳送帶、木箱及貨物各個過程運動位移,其余步驟同解法一。

圖14 全過程v-t圖像