從試驗到論證

金永濤

數學試驗，是在綜合解決學習任務時，根據問題情境，構造出具體的實例或反例、發現或猜測實例蘊含的性質，通過進一步檢驗、歸納與推廣等過程，實現對學習任務的深刻理解的數學學習活動.數學試驗，要從觀察數學對象開始，是數學學習、數學探究與數學研究的基礎.

高中階段對數列的研究是以“背景——概念（定義、表示、分類）——性質——特例”為基本架構，其中“特例”是指等差數列、等比數列這兩類有明確的現實背景、可以給出精確的規律表達、在解決實際問題和數學問題中有重要應用價值的數列，對它們的研究按照“背景——概念——表示——性質——求和公式——應用”的路徑展開.在研究一個具體的數列時，先要識別它是否為等差數列或等比數列；如果不是，可否將其轉化為這兩類特殊數列；問題中的數列與兩類特殊數列具有哪些聯系，怎么應用它們之間的聯系思考、解答問題；如何應用數列的研究方法，探究與思考數列問題等.數列是一類特殊的函數，在思考數列問題時，要關注自變量的離散性和有序性，重視應用數學試驗探究，積累數學活動經驗并解答問題.

三、思考與感悟

數學試驗是研究數列的重要方式，對于復雜的數列問題，直接進行推理論證是困難的.數學試驗，既是準確把握題目信息、深入認識數列規律的重要方式，也是探索研究思路和具體解決方法的基礎.數學試驗不能只停留在對數學對象的感性認知層面，還要對數學對象的內在規律進行深層次的探究，并借助推理論證、數學運算實現對數學對象的性質、規律的嚴謹說理.

在求解數列問題時，要重視對數列基本特征的認識和理解，這是有效解答數列問題的根本.通過將數列的遞推關系轉化為特殊數列（等差數列、等比數列）的關系，或構建起其與特殊數列的內在關聯，進而應用典型方法（如公式法、迭代法等）求解數列的通項公式及前n項和.在解題過程中，不僅要準確掌握并應用遞推關系、通項公式與前n項和公式思考并解答問題，還要有意識地構建、形成數列的學科觀點——遞推關系與前n項和也是一個數列，以數列的視角看待遞推關系與前n項和，系統掌握數列問題的研究方法.