一道2022年山東省預賽試題的探究

盛龍

題目 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.證明：存在圓心在原點的定圓，使該圓上任意一點的切線與橢圓C恒有兩個交點A，B，且OA·OB=0.（2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽第12題）

試題設計平凡、樸實、常規(guī)，是學生最熟悉的題型，入手比較容易且解題的思路很多.考查了直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，檢驗了學生分析問題和解決問題的能力，是一道有探究性的好題.

參考答案：（1）x26+y23=1；（2）32.

設計思路：題3的進一步深化，S△PMN=2S△OPN，性質3的特殊化.

基于以上對3到題目的設計，解析幾何試題考查學生用解析幾何方法解決解析幾何問題的能力，使學生體會到對于幾何問題，“解析化”的途徑必須進行認真的研究探索和選擇，同時強調運算的準確性對于解析幾何是十分必要的.