從2021年一道高考題談圓錐曲線上四點共圓問題

李婧　盧榮亮

本文從2021年一道高考題談起，用從特殊到一般的方法探究圓中的相交弦定理、割線定理以及切割線定理在圓錐曲線中的表現形式，進而發現圓錐曲線上四點共圓的一個更為一般的充要條件［3］［4］.

圓中的切割線定理可以進一步推廣到圓錐曲線中嗎？

4.再推廣

推廣5 已知點T在圓錐曲線C外，過點T的直線l與圓錐曲線交于C，B兩點，過點T的直線m與圓錐曲線切于點D，若這兩條直線的斜率都存在，分別設為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|·|TB|=|TD|2.

推廣6 已知點T在圓錐曲線C外，過點T的直線l與圓錐曲線C切于點A，過點T的直線m與圓錐曲線C切于點B，若這兩條直線的斜率都存在，分別設為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|=|TB|.

以上推廣1-4，實際上我們可以用一個定理表述，即

定理 若四個不同的點A，B，C，D在圓錐曲線（標準方程）上，則四點共圓的充要條件是存在兩條分別經過其中兩點的相交直線的傾斜角互補.

注：因為從圓錐曲線（標準方程）上四個不同的點中任意選取兩點，一共可以構成六條不同的直線，則必存在兩條斜率都存在的相交直線，所以此定理的證明由本文中的“推廣1-4”易得.

點評：該定理是文獻［3］中定理更為一般的形式，它有一個妙處：我們可以基于此，把四點共圓這一條件隱藏起來，即用數學的符號語言去表達它，編制不同的試題讓學生解決；除了本文中的相交弦定理的逆定理和割線定理的逆定理可以刻畫四點共圓，還可以用西姆松線定理的逆定理［2］與托勒密定理的逆定理［2］等來刻畫四點共圓.

問題：我們知道圓的切割線定理以及它們的逆定理都是用純幾何法證明，那本文中圓錐曲線的切割線定理能否用純幾何法證明呢？

筆者至今沒有解決這個問題，希望讀者朋友能給予指導.

結語：經筆者查閱文獻，發現本文中的定理與文獻［4］和文獻［5］類似，有些遺憾，但是筆者的想法和他們又有些不同；因此，筆者把從發現這個問題、分析這個問題到解決這個問題，進而提出新問題的心路歷程完整地展現給大家，供相互學習、共同進步.

參考文獻

［1］坐標系與參數方程（普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4，A版）［M］.北京：人民教育出版社，2020：38.

［2］張希營，李建華. 托勒密定理與西姆松線定理的等價性及折射定律的一個初等證明［J］.數學通報，2012，51（10）：49-50.

［3］孔繁文.圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件［J］.數學通訊，2016（10）：42-43.

［4］張乃貴.圓錐曲線上四點共圓充要條件的研究［J］.數學教學，2012（07）：8-10.

［5］羅碎海.2021年新高考全國Ⅰ卷第21題賞析與圓錐曲線的切割線定理［J］.中學數學研究（華南師大），2021（13）：11-13.