2022年新高考Ⅱ卷解幾題的多解、推廣及變式

胡芳舉

一、試題呈現(xiàn)

（2022年新高考Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為-3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M，請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

二、一題多證

（1）易得C的方程為x2-y23=1，解略；

（2）選取①③②.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，顯然成立.下面只考慮直線AB的斜率存在的情況.

證法一：（以線參為主）易知直線AB的斜率不為零，故設(shè)直線AB方程為x=ty+2，代入雙曲線的漸近線方程x2-y23=0得（3t2-1）y2+12ty+12=0.

設(shè)線段AB中點M（m，n），則n=yA+yB2=-6t3t2-1，m=tn+2=-23t2-1①.

由題設(shè)知直線PM的方程為y=-3（x-m）+n，代入雙曲線方程x2-y23=1，解得點P的橫坐標(biāo)xP=1233n+3m+n+3m.

又直線QM的方程為y=3（x-m）+n，同上可得xQ=[JP3]-1233n-3m+n-3m，

∴xP-xQ=n33n2-3m2+1，xP+xQ=m（-3n2-3m2+1）②.[JP]

∴直線PQ的斜率kPQ=yP-yQxP-xQ=＼[-3（xP-m）+n＼]-＼[3（xQ-m）+n＼]xP-xQ=-3（xP+xQ-2m）xP-xQ，將②代入上式化簡得kPQ=3mn，又由①知3mn=1t=kAB，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

證法二：（以點參為主）設(shè)點A（x1，3x1），B（x2，-3x2），則點M（x1+x22，3（x1-x2）2，直線PM的方程為

y-3（x1-x2）2=-3（x-x1+x22），即y=-3x+3x1，與雙曲線方程x2-y23=1聯(lián)立解得點P的坐標(biāo)xP=x21+12x1，yP=3（x21-1）2x1，同上可得點Q的坐標(biāo)xQ=x22+12x2，yQ=

3（x22-1）2x2，

∴xP-xQ=[JP3]（x1x2-1）（x1-x2）2x1x2，yP-yQ=3（x1x2-1）（x1+x2）2x1x2，

∴kPQ=yP-yQxP-xQ=3（x1+x2）x1-x2，又kAB=3x1-（-3x2）x1-x2=3（x1+x2）x1-x2，[JP]

∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

評注：證法一、二雖然思路簡單自然，但運算非常復(fù)雜，學(xué)生一般有始無終.

證法三：（以距離為主參）

設(shè)點M（m，n），點P（m+tPcosθ，n+tPsinθ），θ=23π，代入x2-y23=1得3m2-n2-3=2ntPsinθ-6mtPcosθ，將θ換成π-θ得Q（m-tQcosθ，n+tQsinθ），且3m2-n2-3=2ntQsinθ+6mtQcosθ，∴2ntPsinθ-6mtPcosθ=2ntQsinθ+6mtQcosθ，∴n（tP-tQ）sinθ=3m（tP+tQ）cosθ，∴kPQ=tP-tQsinθ（tP+tQ）cosθ=3mn.

設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則x21-y213=0，x22-y223=0，∴x21-y213=x22-y223，

∴（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2）3，∴kAB=y1-y2x1-x2=3（x1+x2）y1+y2=3mn，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

證法四：（運用曲線系）

設(shè)線段AB中點M（m，n），則直線PM、QM的方程分別為y-n=-3（x-m），y-n=3（x-m），∴曲線PM×QM的方程為3（x-m）2-（y-n）2=0，又雙曲線的方程為3x2-y2-3=0，兩式相減得6mx-2ny=3m2-n2+3，易知該方程表示直線PQ，故kPQ=3mn，又由證法三知kAB=3mn，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB.

評注：證法三、四根據(jù)題設(shè)已知，靈活運用直線的參數(shù)方程、曲線系知識，簡化計算，證明過程簡潔巧妙，令人回味無窮.

三、試題推廣

推廣 設(shè)A，B兩點（異于原點）分別在雙曲線x2a2-y2b2=1（a，b>0）的兩漸近線上，過線段AB的中點M（點M不在雙曲線上），分別作兩漸近線的平行線，交雙曲線于P，Q兩點，則PQ∥AB.

四、兩個變式

變式1 如圖2，過不在雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線上一點M，分別作兩漸近線的平行線，交雙曲線及其漸近線于點P、C，Q、D，則PQ∥CD.

證明：設(shè)點M（m，n），則直線PM、QM的方程分別為y-n=-ba（x-m），y-n=ba（x-m），∴曲線PM×QM的方程為（x-m）2a2-（y-n）2b2=0.

設(shè)雙曲線或其漸近線方程為x2a2-y2b2=λ，

兩式相減得2mxa2-2nyb2=m2a2-n2b2+λ，易知當(dāng)λ=1該方程表示直線PQ，當(dāng)λ=0該方程表示直線CD，∴PQ∥CD.

評注：過點M作直線交雙曲線的兩漸近線于點A，B，若點M為線段AB的中點，則C，D分別為線段OA，OB的中點，∴CD∥AB，又PQ∥CD，∴AB∥PQ，所以推廣成立.

變式2 過不在雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線上一點M，分別作兩漸近線的平行線，交雙曲線于點P、Q，設(shè)N為線段PQ的中點，則O，M，N三點共線（其中O為坐標(biāo)原點）.

證明：設(shè)點R為線段CD的中點，由變式1易知R，M，N共線，又OCMD為平行四邊形，所以O(shè)，R，M共線，故O，M，N三點共線.