2022年高考全國甲卷圓錐曲線試題探究與變式

李賢江　黃信

圓錐曲線一些解答題常常含有極點與極線的背景.極點與極線是高等幾何的重要理論，是解決圓錐曲線一些復(fù)雜問題的巧妙方法.學(xué)生如果了解極點與極線理論，那么就可預(yù)知結(jié)果并且減少大量繁瑣運算.

極點與極線的定義：如圖1，圓錐曲線外一點S，過點S作圓錐曲線的兩條割線SA和SC，分別交圓錐曲線于A、B，C、D四點，直線AD和BC交于點E，直線AC和BD交于點T，直線ST是點E關(guān)于該圓錐曲線的極線.

定理1 圓錐曲線Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0內(nèi)一定點E（x0，y0），過點E作圓錐曲線的兩條割線SA和SC，分別交圓錐曲線于A、B，C、D四點，直線AD和BC交于點E，直線AC和BD交于點T，則點E關(guān)于該圓錐曲線的極線ST的方程為Ax0x+B·x0y+y0x2+Cy0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0.顯然，圓錐曲線的準線即為對應(yīng)焦點關(guān)于該曲線的極線.

定理2 如圖2，過圓錐曲線內(nèi)一定點E作兩直線分別交圓錐曲線于A、B兩點和C、D兩點，點E關(guān)于該圓錐曲線的極線是直線MN，若直線AD過定點F，直線EF與直線BC和直線MN分別交于點H和S，則點H為定點，并滿足EFEH=SFSH.特別地，若E是線段FH的中點，則點S在無窮遠處.

例1 （2022高考數(shù)學(xué)全國卷甲卷理科改編）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，D（2，0），MD交拋物線于另一點A，ND交拋物線于另一點B，設(shè)直線AB、直線MN的傾斜角分別為α，β，當α－β取最大值時，求直線AB的方程.

分析：設(shè)AB的延長線與NM的延長線交于點S，且AN的延長線與BM的延長線交于點H，連結(jié)SH，記SH與x軸的交點為E，記AB與x軸的交點為G，記直線AM與SH交于點K.由極點極線的定義可知，D關(guān)于該拋物線的極線是SH.再由定理1知，極線的方程是x=－2，所以E（－2，0）.由定理2知G是定點，且DGDF=EGEF.于是G的坐標為（4，0）.其次，tanα=SEEG，tanβ=SEEF，于是可知2tanα=tanβ，由S在y軸的左側(cè)可知tanα，tanβ同號，所以，要使α－β取最大值，應(yīng)使tanα，tanβ<0.