巧用齊次化　妙解圓錐曲線斜率問題

劉艷江

摘? ?要：在高三復習備考中，很多學生在處理從一點出發的兩條直線的斜率之和或斜率之積的問題時，常采用將方程齊次化的方式巧妙解決問題，但也不是絕對的，也有優缺點，在此從定值、定點等幾個方面進行淺析。

關鍵詞：斜率之和；斜率之積；齊次化；一元二次方程；韋達定理

中圖分類號：G633.6? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009-010X（2023）20/23-0075-04

2022年普通高等學校招生全國統一考試新高考數學1卷的第21題，有不少學生抓住題干中有“直線AP，AQ的斜率之和為0”這一條件，采用了將方程齊次化的方法巧妙解決第一問的直線斜率問題。回顧我們的高三備考，常有學生利用平移圖象，然后聯立方程實現齊次化，即在方程兩邊同除x2后，再利用韋達定理巧妙解決一類圓錐曲線遇到斜率之和或斜率之積的問題。下面筆者結合2022年的高考題及備考復習中遇到的幾道題，介紹這種方法的優點和注意事項，以為高三備考的學子們提供一點經驗之談。

比較例4的兩種處理方法我們不難看出，用齊次化聯立反而比傳統聯立計算量要大一些，因為齊次化聯立勢必要進行平移，平移后的橢圓方程不是很簡潔，常數項需要利用“1”的平方來升冪以達到齊次的目的。同時直接用傳統聯立已經很簡單了，所以像這類題型，使用齊次化聯立就有點得不償失。

關于直線與圓錐曲線方程的傳統聯立與齊次化聯立，雖然都是解決問題的一種方法，但各自有各自的優點，因此必然會有其局限性。其實齊次化能解決的問題，傳統聯立也同樣能解決，所以每種方法都不是萬能的。希望師生們在具體的解題實踐中，不斷積累解題經驗，具體情況具體分析，以選擇出最適合的方法。

【責任編輯 韓梁彥】