電子輸運(yùn)過(guò)程的確定論計(jì)算方法研究

李曉英,李云召,邵睿智,徐 寧

(西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

電子輸運(yùn)過(guò)程在電子元件對(duì)輻射環(huán)境的響應(yīng)、醫(yī)療輻射治療、食品殺菌等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。目前,功能強(qiáng)大的蒙特卡羅程序,如MCNP[1]、Geant4[2]等,已經(jīng)能準(zhǔn)確模擬許多場(chǎng)景中的電子輸運(yùn)過(guò)程。但是,由于電子輸運(yùn)過(guò)程中的短平均自由程和高度前向峰等特點(diǎn),蒙特卡羅方法計(jì)算效率比較低、計(jì)算成本非常大。相比之下,在解決分布式計(jì)算、深穿透過(guò)程模擬和低概率事件概率估計(jì)上,確定論計(jì)算方法的優(yōu)勢(shì)更加明顯[3]。

已有研究表明,電子輸運(yùn)的確定論方法可有效代替蒙特卡羅方法[4]。由桑迪亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室Lorence等[5]開(kāi)發(fā)的截面生成程序CEPXS可生成用于電子-光子耦合輸運(yùn)計(jì)算所需的多群勒讓德截面,基于這些截面,可直接利用一維確定論粒子輸運(yùn)計(jì)算程序ONEDANT[6]進(jìn)行電子-光子的耦合輸運(yùn)計(jì)算。CEPXS/ONELD[7]程序包已達(dá)到了很高的復(fù)雜精度,并已廣泛用于一維幾何的問(wèn)題。研究人員在CEPXS的基礎(chǔ)上后續(xù)開(kāi)發(fā)了截面生成程序CEPXS-BFP[8],適用于使用離散縱標(biāo)法的確定論電子輸運(yùn)程序,用于求解Boltzmann-Fokker-Planck(BFP)[9-10]形式的電子輸運(yùn)方程。確定論柵格計(jì)算程序DRAGON-5.0.8也增加了電子輸運(yùn)計(jì)算功能,基于CEPXS-BFP生成的FMAC-M格式電子庫(kù),利用高階菱形差分法求解一維、二維[11]、三維[12]笛卡爾幾何下的電子輸運(yùn)問(wèn)題,Hébert等還在NJOY12[13]中開(kāi)發(fā)了與DRAGON-5.0.8中電子輸運(yùn)計(jì)算相匹配的ELECTR[14-15]模塊。

考慮到電子輸運(yùn)過(guò)程的蒙特卡羅模擬方法計(jì)算效率低,確定論方法的研發(fā)尚未成熟,本文在已知電子發(fā)射源分布的條件下,基于Boltzmann方程,設(shè)計(jì)一套針對(duì)EPICS2017中的電子截面數(shù)據(jù)(EEDL)[16]的多群電子截面庫(kù)處理流程,以NECP-Atlas[17]程序的多群光子截面數(shù)據(jù)庫(kù)處理模塊為平臺(tái)基礎(chǔ),對(duì)電子反應(yīng)多群總截面和散射矩陣進(jìn)行加工,直接利用壓水堆堆芯分析軟件NECP-Bamboo的柵格計(jì)算程序Bamboo-Lattice[18]中基于特征線方法的中子輸運(yùn)計(jì)算核心,構(gòu)建確定論電子輸運(yùn)計(jì)算程序。

1 理論模型

1.1 電子輸運(yùn)方程

穩(wěn)態(tài)線性Boltzmann輸運(yùn)方程可以描述中子、光子、電子等粒子在介質(zhì)中的輸運(yùn)過(guò)程。由于電子輸運(yùn)過(guò)程和中子輸運(yùn)過(guò)程在輸運(yùn)方程形式上的一致性,Bamboo-Lattice中的中子輸運(yùn)計(jì)算核心可以在不改變計(jì)算模型的基礎(chǔ)上直接用于電子輸運(yùn)過(guò)程的計(jì)算,只是需要為其提供多群電子截面數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)。對(duì)于不同類(lèi)型的粒子,Boltzmann輸運(yùn)方程碰撞項(xiàng)的具體形式有所不同,它敏感地依賴(lài)于粒子的類(lèi)型以及粒子與介質(zhì)原子相互作用的微觀機(jī)制與特點(diǎn)。針對(duì)電子輸運(yùn)過(guò)程,散射產(chǎn)生項(xiàng)主要考慮電離、激發(fā)、軔致輻射、彈性散射等的影響,相應(yīng)的多群形式Boltzmann方程如下:

(1)

(2)

1.2 電子截面數(shù)據(jù)庫(kù)

電子-光子相互作用截面(EPICS)是ENDF/B[19]系統(tǒng)的一部分,用于補(bǔ)充ENDF/B的中子數(shù)據(jù),開(kāi)展工程應(yīng)用中的耦合計(jì)算。EEDL是其中以ENDF-6格式存儲(chǔ)的電子截面數(shù)據(jù),具體內(nèi)容列于表1,可以作為計(jì)算所需的核數(shù)據(jù)。表1中MF為數(shù)據(jù)類(lèi)型標(biāo)號(hào),MT為反應(yīng)道類(lèi)型標(biāo)號(hào)。

表1 EEDL中的數(shù)據(jù)列表

1.3 多群電子截面數(shù)據(jù)處理

NECP-Atlas是由西安交通大學(xué)核工程計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室(NECP)自主研發(fā)的多功能核數(shù)據(jù)處理程序,可將評(píng)價(jià)核數(shù)據(jù)庫(kù)轉(zhuǎn)化為多種形式的核數(shù)據(jù)庫(kù),為中子-光子耦合輸運(yùn)、燃耗計(jì)算、輻照損傷計(jì)算、屏蔽計(jì)算、釋熱計(jì)算以及不確定度量化等分析提供高精度的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)[20]。本文基于NECP-Atlas程序,處理EEDL[21],生成電子多群總截面和散射矩陣。

多群電子反應(yīng)總截面的表達(dá)式為:

(3)

式中:σ501,g為MT501的第g群微觀截面;σ501(E)為MT501中能量E下的微觀點(diǎn)截面;φ0(E)為0階典型電子權(quán)重譜。

電子的彈性散射不向外輻射能量,只改變其運(yùn)動(dòng)方向,可由EEDL中的525反應(yīng)道獲得饋送函數(shù)如下:

f525,l(E→g′)=

(4)

式中:f525,l(E→g′)為大角度彈性散射的饋送函數(shù);Pn(μLAB)為勒讓德多項(xiàng)式;f525(E,μLAB)為電子與原子發(fā)生大角度彈性散射后的實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下的角度分布,在26/525中給出;μLAB為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下的散射余弦。

激發(fā)和軔致輻射的處理類(lèi)似,假定自由電子與介質(zhì)原子發(fā)生激發(fā)或軔致輻射后仍沿著原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向前進(jìn),則饋送函數(shù)形式如下:

(5)

式中:fx(E→E′)為x反應(yīng)道中入射能量為E的自由電子與介質(zhì)原子反應(yīng)后能量變?yōu)镋′的概率分布;ΔE為反應(yīng)后的電子能損,其分布在MF26中給出;反應(yīng)道x的取值為527或528。

入射能量為E的快電子與原子核外電子發(fā)生非彈性碰撞,使核外電子擺脫束縛能Ei成為自由電子的過(guò)程被稱(chēng)為電離。假定自由電子和反沖電子都沿入射電子原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向繼續(xù)前進(jìn),且入射電子的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移給剩余原子。一般認(rèn)為電離后能量較大的電子((E-Ei)/2

(6)

式中:i為電離殼層的索引;Er為反沖電子的能量;Eg′與Eg′+1為g′能群的上下限;fi(E→Er)為電子與介質(zhì)原子的第i層亞殼層發(fā)生反應(yīng)后的反沖電子能量分布,在26/534～26/572中依次給出。

由饋送函數(shù)fx,l(E→g′),可進(jìn)一步求得多群電子散射矩陣:

(7)

式中:σx,l,g→g′為x反應(yīng)道第g群到第g′群的l階多群轉(zhuǎn)移矩陣;φl(shuí)(E)為入射能量為E的l階注量率;σx(E)為x反應(yīng)道下入射能量為E時(shí)的微觀截面。

2 數(shù)值結(jié)果

本文通過(guò)對(duì)單核素均勻問(wèn)題、化合物均勻問(wèn)題、化合物非均勻問(wèn)題等算例的計(jì)算,使用蒙特卡羅程序?qū)υ摯_定論程序進(jìn)行驗(yàn)證,代表性算例問(wèn)題的幾何均如圖1所示。所采用的源均勻分布在半徑0.235 6 cm的圓域內(nèi),能量分布在0.001～10 MeV,共分為60個(gè)能群,能群的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖2所示,在低能區(qū)域時(shí)分布較多,在高能區(qū)域時(shí)較少。本文的電子源項(xiàng)是通過(guò)蒙特卡羅程序計(jì)算AP1000堆芯中D類(lèi)組件[22]內(nèi)SPND發(fā)射體處產(chǎn)生的電子源項(xiàng)。在確定論程序Bamboo-Lattice計(jì)算過(guò)程中,特征線條數(shù)設(shè)置為50,收斂準(zhǔn)則設(shè)置為10-4。

圖1 代表性算例問(wèn)題的幾何

圖2 源項(xiàng)能群的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2.1 單核素均勻問(wèn)題

所有單核素均勻問(wèn)題中,核素的核數(shù)密度均為4.293 54×10-2barn-1·cm-1,只統(tǒng)計(jì)圓域內(nèi)的通量分布,計(jì)算的歸一化通量分布曲線及其與蒙特卡羅程序的對(duì)比如圖3所示。計(jì)算各類(lèi)單核素均勻問(wèn)題時(shí),Bamboo-Lattice程序和蒙特卡羅程序所需時(shí)間列于表2。由圖3和表2結(jié)果可知,H、B、O、Al、S、Cl的Bamboo-Lattice結(jié)果與蒙特卡羅程序結(jié)果符合得較好,但Bamboo-Lattice的計(jì)算耗時(shí)明顯比蒙特卡羅程序計(jì)算耗時(shí)少,計(jì)算效率可提高83～571倍。

a——H;b——B;c——O;d——Al;e——S;f——Cl

表2 單核素均勻問(wèn)題計(jì)算時(shí)長(zhǎng)

2.2 化合物均勻問(wèn)題

化合物均勻問(wèn)題計(jì)算了Al2O3與含硼水兩類(lèi),其中Al2O3中O、Al元素的核數(shù)密度分別為3.396 898×10-2和2.264 599×10-2barn-1·cm-1,含硼水中H、O、B 3種元素的核數(shù)密度分別為4.624 176×10-2、2.315 550×10-2、2.307 683×10-5barn-1·cm-1。該類(lèi)問(wèn)題只統(tǒng)計(jì)了圓域內(nèi)的通量分布,歸一化通量分布如圖4所示。計(jì)算化合物均勻問(wèn)題的時(shí)長(zhǎng)比較列于表3?？梢钥闯?化合物均勻問(wèn)題中Al2O3和含硼水的Bamboo-Lattice結(jié)果與蒙特卡羅程序結(jié)果符合得較好,但計(jì)算效率提高了82～109倍。

a——Al2O3;b——含硼水

表3 化合物均勻問(wèn)題計(jì)算時(shí)長(zhǎng)

2.3 化合物非均勻問(wèn)題

化合物非均勻問(wèn)題為1個(gè)兩層結(jié)構(gòu)柵元問(wèn)題,內(nèi)層為Al2O3,外層為含硼水,材料的元素構(gòu)成列于表4。該問(wèn)題的歸一化通量譜對(duì)比如圖5所示,計(jì)算時(shí)長(zhǎng)列于表5?？梢钥闯?僅由較小核素構(gòu)成的Al2O3層和含硼水層的Bamboo-Lattice結(jié)果與蒙特卡羅程序結(jié)果的趨勢(shì)相一致,且在計(jì)算時(shí)長(zhǎng)上效率提高約169倍。

a——Al2O3層;b——含硼水層

表4 非均勻問(wèn)題構(gòu)成元素及密度

表5 化合物非均勻問(wèn)題計(jì)算時(shí)長(zhǎng)

3 結(jié)論與展望

本文基于核數(shù)據(jù)處理程序NECP-Atlas將EEDL中連續(xù)能量的電子截面數(shù)據(jù)加工為多群形式,利用柵格計(jì)算程序Bamboo-Lattice中的中子輸運(yùn)計(jì)算核心進(jìn)行電子輸運(yùn)計(jì)算。對(duì)單核素均勻問(wèn)題、化合物均勻問(wèn)題和化合物非均勻問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算,并與蒙特卡羅程序計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明,該確定論程序可正確模擬電子輸運(yùn)過(guò)程,且計(jì)算效率比蒙特卡羅程序快80倍以上。后續(xù)研究將利用該確定論電子輸運(yùn)計(jì)算軟件計(jì)算實(shí)際壓水堆中自給能中子探測(cè)器(SPND)的響應(yīng)電流,用以替換現(xiàn)有的蒙特卡羅程序[23]。